高考数学核心考点专题训练专题19解三角形(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题19解三角形(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acsC=b，则△ABC的形状是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD，则AD的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A. 103海里B. 1063海里C. 52海里D. 56海里
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3，a=3b，则c的值为( )
A. 3B. 72C. 473D. 23
如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（ ）m
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )
A.
B. 3−64km2
C.
D. 6−34km2
已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=23，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为( )
A. 1010B. 105C. 31010D. 3105
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycs A+cs B=0与ax+ycs B+cs A=0平行，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形
海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，csA=23，则该三角形内切圆半径( )
A. 2B. 3C. 10D. 5
在ΔABC中，若1sinA+1sinB=21tanA+1tanB，则( )
A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3
C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6
二、单空题（本大题共4小题，共20分）
如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．
在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．
海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．
如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4 km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccsB+bcsC=3acsB．
(1)求csB的值；
(2)若|CA−CB|=2，△ABC的面积为22，求边b．
在①2acsC+c=2b，②cs2B−C2−csBcsC=34，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，m=(csC2,sinC2)，n=(csC2,−sinC2)，m与n的夹角为π3．
(1)求角C的大小；
(2)已知c=72，△ABC的面积S=332，求a+b的值．
某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．
(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；
(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？
专题19 解三角形
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acsC=b，则△ABC的形状是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】C解：∵b=2acsC，
∴由正弦定理得sinB=2sinAcsC，
∵B=π−(A+C)，
∴sin(A+C)=2sinAcsC，
则sinAcsC+csAsinC=2sinAcsC，
sinAcsC−csAsinC=0，
即sin(A−C)=0，
∵A、C∈(0,π)，
∴A−C∈(−π,π)，则A−C=0，
∴A=C，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD，则AD的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】解：设AD=t，可得BD=2t，BC=4t2−25，
在直角三角形BCD中，可得csB=4t2−252t，
在三角形ABC中，可得csB=4t2−25+9t2−752⋅3t⋅4t2−25，
即为4t2−252t=4t2−25+9t2−752⋅3t⋅4t2−25，
即2(4t2−25)=9t2−75，解得t=5，
可得AD=5，
故选：B．
海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A. 103海里B. 1063海里C. 52海里D. 56海里
【答案】D
【解析】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°−60°−75°=45°
根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°∴BC=10×3222=56故选D.
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若角A、C、B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3，a=3b，则c的值为( )
A. 3B. 72C. 473D. 23
【答案】C
【解析】解：由题意，得
由S△ABC=S△ACD+S△BCD，
得，
所以ab=a+b，
所以3b2=4b，解得b=43(b=0舍去)，
故a=3b=4
故c=a2+b2−2ab·csC=473，
故选C．
如图，要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是π4，在D点测得塔顶A的仰角是π6，水平面上的，则电视塔AB的高度为（ ）m
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
【答案】A
【解析】解：由题题意，设AB=x，则BD=3x，BC=x
在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，
∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠DCB
即：(3x)2=(40)2+x2−2×40⋅x⋅cs60°
整理得x2+20x−800=0，解之得x=−40(舍去)或x= 20
即所求电视塔的高度为20米．
故选A．
为测出小区的面积，进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积为( )
A.
B. 3−64km2
C.
D. 6−34km2
【答案】D
【解析】解：如图连接AC，
根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BCcsB=3，
即AC=3，
由于AC2+BC2=AB2，
所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，
所以∠DAC=45°−30°=15°，∠DCA=105°−90°=15°，
所以∠DAC=∠DCA
所以△ADC为等腰三角形，
设AD=DC=x，∠D=150°，
由余弦定理x2+x2+3x2=3⇒x2=32−3，
故所求面积为12×1×3+12×32−3×12=6−34．
故选D．

已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，AB=23，D是侧面BCC1B1的中心，球O与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD被球O截得的弦长为( )
A. 1010B. 105C. 31010D. 3105
【答案】D
【解析】解：因为球O与直三棱柱ABC−A1B1C1的所有面均相切，且直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，
所以球心O为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，
如图所示，设球O的球心为O，底面三角形ABC的重心为O'，连接OO'，
则OO'⊥底面ABC．
设BC的中点为E，连接AE，易知点O'在AE上，
连接OD、DE，因为D是侧面BB1C1C的中心，所以四边形OO'ED为正方形，
设球O的半径为r，则由AB=23，
可得r=23×32×13=1，易得AD=r2+(23×32)2=10，
连接OA，可得OA=r2+(23×32×23)2=5，
∴cs ∠ADO=DO2+AD2−AO22⋅DO⋅AD=31010，
故所求弦长为2r⋅cs ∠ADO=3105．
故选D．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若直线bx+ycs A+cs B=0与ax+ycs B+cs A=0平行，则△ABC一定是( )
A. 锐角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰或者直角三角形
【答案】C
【解析】解：∵直线bx+ycsA+csB=0与ax+ycsB+csA=0平行，
∴ba=csAcsB，
解得bcsB=acsA，
∴利用余弦定理可得：b×a2+c2−b22ac=a×b2+c2−a22bc，
整理可得：c2(b2−a2)=(b2+a2)(b2−a2)，
∴解得：c2=a2+b2或b=a，
而当a=b时，两直线重合，不满足题意；
则△ABC是直角三角形．
故选C．
海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)，这里p=12(a+b+c)，a，b，c分别为▵ABC的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知▵ABC中，p=12，c=9，csA=23，则该三角形内切圆半径( )
A. 2B. 3C. 10D. 5
【答案】D
【解析】解：因为p=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，
因为p=12，c=9，所以a+b=15，
三角形的内切圆半径r=2Sa+b+c，
由余弦定理得cs A=b2+c2−a2 2bc=23，
所以(b−a)(b+a)+81=12b，即b−5a=−27，
所以a=7，b=8，
所以S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12×12−712−812−9=125，
所以r=5，
故选D
在ΔABC中，若1sinA+1sinB=21tanA+1tanB，则( )
A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3
C. C的最小值为π3D. C的最小值为π6
【答案】A
【解析】解：因为1sin A+1sin B=2(1tan A+1tan B)，
所以1sin A+1sin B=2(csAsinA+csBsin B)，
所以sin A+sin Bsin Asin B=2·sin BcsA+csBsinAsin Asin B
=2·sin(A+B)sin Asin B=2·sinCsin Asin B，
所以sinA+sinB=2sinC，
由正弦定理得到：a+b=2c，
所以csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−a+b222ab=34a2+34b2−12ab2ab⩾34·2ab−12ab2ab=12，
当且仅当a=b时“=”成立，
所以，
则C的最大值为π3．
故选A．
二、单空题（本大题共4小题，共20分）
如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为______m．
【答案】300
【解析】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，
∴AM=MDsin45°=2002．
∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°−45°−60°=75°，
∴∠MCA=180°−∠AMC−∠MAC=45°，
由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA=2002×3222=2003，
在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=2003×32=300m．
故答案为300．
在四边形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，则四边形ABCD的面积的最大值是______．
【答案】83
【解析】解：如图所示，
AB=6，BC=CD=4，DA=2，
设BD=x，在△ABD中，
由余弦定理可得x2=22+62−2×2×6csA=40−24csA，
在△BCD中，由余弦定理可得x2=32−32csC，
联立可得3csA−4csC=1，①
又四边形ABCD面积S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，
即4sinC+3sinA=12S，②
①2+②2可得9+16+24(sinAsinC−csAcsC)=1+14S2，
化简可得−24cs(A+C)=14S2−24，
由于−1≤cs(A+C)≤1，∴−24≤14S2−24≤24，
∴0≤S2≤192，解得S≤83，
当cs(A+C)=−1即A+C=π时取等号，
∴S的最大值为83．
故答案为：83．
海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D，测得CD=45m，∠ADB=135∘，∠BDC=∠DCA=15∘，∠ACB=120∘，则AB两点的距离为______．
【答案】455
【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，
∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，
在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°=135°，
所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=452，
在△ABD中，由余弦定理得
=452+(452)2−2×45×452×(−22)=452×5，
所以AB=455，即A，B两点的距离为455，
故答案为455．

如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD=4 km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，则A，B两点间的距离是_______km．
【答案】22
【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30∘，∠ACD=60∘，∠ACB=45∘，
所以∠DAC=180°−30°−30°−60°=60°，
∠DBC=180°−30°−60°−45°=45°，
在三角形ADC中，由正弦定理得4sin∠DAC=ADsin∠ACD，所以AD=4sin60°sin60°=4，
在三角形BCD中，由正弦定理得BDsin∠BCD=4sin∠DBC，
所以BD=4×sin(60°+45°)sin45°=23+2，
在三角形ABD中由余弦定理得到AB2=42+(23+2)2−2×4×23+2cs30°=8，
所以AB=22，
故答案为22．
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccsB+bcsC=3acsB．
(1)求csB的值；
(2)若|CA−CB|=2，△ABC的面积为22，求边b．
【答案】解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC，
即ccsB+bcsC=3acsB，
得sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB，
则有3sinAcsB=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA．
又A∈(0,π)，则sinA>0，
则．
(2)因为B∈(0,π)，则sinB>0，
．
因为|CA−CB|=|BA|=c=2，
所以S=12acsinB=12a×2×223=22，得a=3．
由余弦定理，
则b=3．
在①2acsC+c=2b，②cs2B−C2−csBcsC=34，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
【答案】解：
(1)选①，由正弦定理得2sin Acs C+sin C=2sin B，
所以2sin Acs C+sin C=2sin (A+C)=2(sin Acs C+cs Asin C)，
即sin C(2cs A−1)=0，又C∈(0,π)，所以sin C>0，所以cs A=12，
又A∈(0,π)，从而得A=π3．
选②，因为cs2 B−C2−csBcsC=1+csB−C2−csBcsC
=1−csBcsC+sinBsinC2=1−cs(B+C)2=34，
所以cs(B+C)=−12，
csA=−cs(B+C)=12，又因为A∈(0,π)，所以A=π3．
选③因为(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC，
所以sin2B+sin2C+2sinBsinC=sin2A+3sinBsinC，
即sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC，
所以由正弦定理得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理知csA=b2+c2−a22bc=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)由(1)得A=π3，又a=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccs A=b2+c2−bc⩾2bc−bc=bc，
所以bc⩽4，当且仅当b=c=2时取得等号，
，所以△ABC面积的最大值为3．
设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，m=(csC2,sinC2)，n=(csC2,−sinC2)，m与n的夹角为π3．
(1)求角C的大小；
(2)已知c=72，△ABC的面积S=332，求a+b的值．
【答案】解：(1)由已知，得．
又∵|m|=|n|=1，
．
又∵0(2)由面积公式，得
由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcsC，
即494=a2+b2−ab.②
①②联立，解得a+b=112．
某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．
(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；
(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？
【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PMsin45∘=PBsin75∘，化简得PM=(3−1)PB，同理可得PN=(3−1)PC，
∴PM+PN=(3−1)(PB+PC)=(3−1)BC=(3−1)×400为定值．
(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2−2PM⋅PNcs60°=(PM+PN)2−3PM⋅PN
=160000(3−1)2−3PM⋅PN≥160000(3−1)2−3×(PM+PN2)2=160000(3−1)2−3×[400(3−1)2]2=40000(3−1)2，
∴MN≥200(3−1)，当且仅当PM=PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200(3−1)，
∴P为BC的中点时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小，且最小值为600(3−1).