初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质第1课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.3 角的平分线的性质第1课时教学设计及反思，共4页。教案主要包含了新课导入，新知探究，课堂小结，课堂训练等内容，欢迎下载使用。
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）
2.探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
3.能运用角平分线的性质解决简单的几何问题.（重点）
4.初步体验如何将文字语言转化成数学语言.
一、新课导入
【复习导入】1.什么是点到直线的距离？
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
2.角平分线的概念是什么？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
3.什么叫做三角形的角平分线？
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
4.在纸上画一个角，怎样能得到这个角的平分线？
方法一：用量角器度量；
方法二：将角对折，使其两边重合，折痕即为这个角的平分线.
教师带领学生复习关于角平分线的定义等相关知识，为本节课做准备.
【提出问题】你还有其他的方法吗？今天就带领大家探寻一种更为准确和重要的找角的平分线的方法.
二、新知探究
知识点1 尺规作角平分线
【提出问题】如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒学生可以想一想判定三角形全等的方法！
根据SSS可证△ADC≌△ABC.∵全等三角形的对应角相等，∴∠DAC＝∠BAC.∵点C在射线AE上，∴AE是这个角的平分线.
【提出问题】根据平分角的仪器的原理，你能用圆规和直尺画出已知角的平分线吗？
【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒学生可从以下两方面考虑：（1）在平分角的仪器中，AD＝AB，怎样在作图中体现这个过程呢？（2）在平分角的仪器中，BC＝DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
【学生回答】教师点名一位学生上台为大家展示他的作图过程，另一位学生进行补充.
教师利用多媒体展示如下作图过程与步骤.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
同时提醒学生作图时应注意以下几点：
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于12MN的长为半径画弧”是因为以小于12MN的长为半径画弧时两弧没有交点，以等于12MN的长为半径画弧时不容易操作.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
【实际操作】学生根据老师的讲解，在准备好的纸张上画出任意一个角的平分线，从而熟悉作图步骤.
知识点2 角的平分线的性质
【提出问题】如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？
【动手操作】学生在刚才做的图形上找到一点P，按要求作出PD和PE，测量PD，PE的长，大多数同学得到PD与PE相等，个别测量不相等，但两者相差不大，此时，应让学生理解测量存在误差.
【提出问题】在OC上再取几个点试一试.
【动手操作】学生按照同样的方法，在刚才做的图形上再找到一点P1，P2等，再次测量，得到了相同的结论.由此可以猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【提出问题】因为测量存在误差，所以我们要来验证结论的准确性.此时，就需要用到“证明”来说明一个几何命题的正确性.首先要分清“已知”和“求证”，为了更直观、清楚地表达题意，通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证，你会写吗？
【学生回答】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.之后点名一位学生回答，其他学生补充.
教师利用多媒体展示如下证明过程，并叙述“证明一个几何命题”的步骤：
如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD＝PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
【归纳总结】角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
该性质定理的几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.
（1）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再证三角形全等.
（2）使用该性质定理的前提条件是图中有角平分线，点在该平分线上，有垂直，三者缺一不可.
【跟踪训练】
判断下列结论是否成立，不成立的请说明原因.
①如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD＝PE.
不成立.因为PD不垂直OA，PE不垂直OB，即PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离.
②如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD＝PE.
不成立.因为OC不是∠AOB的平分线.
三、课堂小结
角的平分线的性质尺规作角平分线➡属于基本作图，必须熟练掌握性质定理内容➡角的平分线上的点到角的两边的距离相等常见辅助线的添加➡过角平分线上一点向两边作垂线段证明几何命题
四、课堂训练
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ B ）
A. PC＝PD
B.∠CPO＝∠DOP
C.∠CPO＝∠DPO
D. OC＝OD
2.求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.
已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）.∴BE＝CF.