人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第06讲 拓展二：数列求和方法归纳（原卷版+教师版）

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拓展二：数列求和方法归纳知识点1 公式法公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.②等比数列的前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))③数列前项和重要公式：（1） （2）（3） （4） （5）等差数列中，；（6）等比数列中，.知识点2 分组转化法有一类数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和(3)正负相间求和：①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。注：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.知识点3 倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 注：倒序求和，多是具有中心对称的知识点4 裂项相消法裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项在利用裂项相消求和时应注意：善于识别裂项类型（1）在把通项裂开后，是否恰好能利用相应的两项之差，相应的项抵消后是否只剩下第一项和最后一项，或者只剩下前边两项和后边两项，有时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项;（2）对于不能由等差数列，等比数列的前n项和公式直接求和问题，一般需要将数列的结构进行合理的拆分，将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差或系数之积与原通项相等.转化成某个新的等差或者等比数列进行求和。应用公式时，要保证公式的准确性，区分是等差还是等比数列的通项还是前n项和公式。（3）使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项保留了哪些项，切不可漏写末被消去的项，末被消去的项前后对称的特点，漏掉的系数裂项过程中易出现丢项或者多项的错误，造成计算结果上的错误，实质上也是造成正负相消是此法的根源目的。(4)常见的裂项技巧①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）②根式型（1）（2）（3）（4）（5）③指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）④对数型⑤幂型（1）（2）（3）⑥三角型（1）（2）（3）（4），则⑦常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（11）．知识点5 错位相减法错位相减求和方法(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．　 知识点6 数列应用问题常见模型(1)单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr). (2)复利公式：利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x. (3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝N(1＋p)x. (4)递推型：有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类. (5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数(含三角函数)、数列与解析几何等. 考点一 公式法求和1．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差，前项和为，若______，数列满足，，，．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．2．已知为等差数列的前项和，若．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前50项和．3．等差数列{}满足，其前n项和为.(1)求数列{}的通项公式；(2)求的值.4．设正项数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)数列满足.设在数列且不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.5．已知数列的前项和为，且满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，数列的前项和为，求证：.6．设为数列的前项和，，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．考点二 分组转化法求和考法(一)　等差+等比型求和7．已知等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)设是等比数列，，求数列的前n项和．8．已知是公差的等差数列，其中，，成等比数列，13是和的等差中项；数列是公比q为正数的等比数列，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．9．已知数列满足，，是公差为1的等差数列.(1)证明：是等比数列；(2)求的前项和.10．已知公差为2的等差数列的前项和为，且满足.(1)若，，成等比数列，求的值；(2)设，求数列的前项和.11．已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．考法(二)　奇偶型求和12．已知为数列的前n项和，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求前项的和.13．已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)令 ，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.14．已知数列的前项和为，，，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.15．已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.(1)求和的通项公式；(2)设，，求数列的前项和；(3)设，求数列的前项和.16．已知等差数列的前项和为，公差且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．考法(三)　正负相间求和17．已知是等差数列的前项和，，，设为数列的前项和，则______．18．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，则使得的n的最小值为___________.19．已知公差大于0的等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前21项和．20．已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列.(2)设，求数列的前项和.21．在数列中，且，则＝______，＝______．22．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，的前n项和为，，则________，数列的前n项和________．23．已知各项不相等的正项数列满足，且，.(1)求的通项公式；(2)求.24．已知数列满足：，若，则数列的前20项和___________.考点三 倒序相加法求和25．已知为等比数列，且，若，求的值．26．已知函数，则______．27．设函数，，．则数列的前n项和______．28．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）A． B． C． D．29．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）A．230 B．115 C．110 D．10030．设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；考点四 错位相减法求和31．已知数列满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．32．已知数列中，，且满足.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.33．已知数列的前n项和为，是等差数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．34．已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，记为数列的前n项和，求，并证明：当时，．35．设数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前n项和．36．已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和．37．已知数列的前n项和为且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.38．已知等差数列{an}满足：，，a1＋2，a2＋2，a3＋5成等比数列，an＋3log2bn＝－2．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．39．若数列的前n项和为，且，等差数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.40．已知数列是等差数列，其前n项和公式为，数列是等比数列，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前n项和，求证：(3)令，求数列的前n项和；41．数列（）的前项和满足.(1)求；(2)设（）的前项和为，求.考点五 裂项相消法求和考法(一)　等差型等差型是裂项相消法中最常见的类型，也是最容易掌握的。设等差数列的各项不为零，公差为，则常见的类型有：特别注意拓展： 42．已知等差数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.43．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求数列的前项和．44．已知等差数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)，求数列的前项和.45．已知正项数列的前项和为，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和，求证：.46．已知数列满足，为数列的前项和，恒成立，则的最小值为______________．47．数列满足，其前项和为若恒成立，则的最小值为______________．48．已知公差为正数的等差数列的前项和为，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①成等比数列，②．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．49．已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①，，成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求的通项公式；(2)若，且，设数列的前项和，求证．50．若数列的通项公式为，数列满足 ，则（　　）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣51．为数列的前项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．52．已知数列的各项均为正数，是其前项的和.若，且（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.53．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.54．记是公差不为零的等差数列的前项和，若，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前20项和.55．已知数列满足，设，若，则正整数的最大值为（    ）A．672 B．673 C．674 D．675考法(二)　无理型该类型的特点是，分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的，有时在证明不等式时，常常把分母放缩成两个根式之和，来达到消项化简的目的。常见的有eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))=特别注意56.已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝eq \f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018＝(　　)A.eq \r(2 017)－1　　B.eq \r(2 018)－1 C.eq \r(2 019)－1 D.eq \r(2 019)＋157．从①；②；③三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列，满足，且，，______，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 考法(三)　指数型由于，因此一般地有常见的有：（3）差指综合类型 58．已知数列，，满足，，且.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求证：．59．已知正项等比数列前项和为，当时，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.60．已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值.61．已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足.(1)求数列、的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)设，求证：.62．已知为正项数列的前n项的乘积，且．(1)求的通项公式；(2)若，求证：．63．已知数列的前项和满足，(1)求的通项公式；(2)设，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.64．已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________.65．设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列.(1)求数列、的通项公式；(2)令，求数列的前项和.66．已知等差数列中，前项和为，，为等比数列且各项均为正数，，且满足，.(1)求与；(2)设，，求的前项和.67．已知数列的前n项和为，，，（且）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．(3)设，，其中，求．68．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)若的前项和为，求证：.考法(四)　对数型由对数的运算法则可知：若则69．已知数列的前n项积为，且，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和．70．已知数列满足，．(1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和．71．已知数列满足(1)证明：数列为等差数列：(2)设数列满足，求数列的前项和.考法(五)　幂型72．等比数列中，首项，前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．73．已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．(1)求出，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．74．已知数列的前项和为，，是公比为的等比数列.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.75．数列满足，．(1)证明：数列为等差数列．(2)若，求数列的前项和．考法(六)　通项与前n项和关系型利用数列的前n项和与通项的关系裂项，如数列的通项可化为76．已知数列{an}是递增的等比数列，且a2+a3＝12，a1•a4＝27．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．考法(七)　正负相间型裂项1、形如型，可构造，化为，利用正负相间裂项相消求和2、形如型，可构造，化为利用正负相间裂项相消求和。注意构造过程中指数幂的运算。77．若数列的通项公式，则它的前n项和 ________．78．已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足(1)求数列{}的通项公式：(2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值.79．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.(1)求；(2)若对于，恒成立，求的取值范围.80．设数列满足.(1)求的通项公式(2)记数列的前项和为，求考法(八)　先放缩后裂项求和81．的整数部分是（    ）A．3 B．4 C．5 D．682．已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，是公差为1的等差数列，是公差为2的等差数列．(1)若b2=2，求{an}，{bn}的通项公式；(2)若，，证明：．83．已知数列的前项和为，且， .请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：．考点六 数列求和的实际应用84．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.85．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，）86．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款______．87．近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底把除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元）88．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元．(1)求，，并写出与的关系式；(2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：，）89．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，一旦某年发放的燃油型汽车牌照数为0万张，以后每一年发放的燃油型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列，写出这两个数列的通项公式；(2)从2013年算起，求到2029年（包含2029年）累计各年发放的牌照数.