【北京八一学校】2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（原卷及解析版）

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注意：本试卷共4页，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题共10小题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合B再求出交集.
【详解】，
∴，则，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2. 已知命题：，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.
【详解】因为命题：，，
所以命题：，，
故选：A.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义及指数函数、对数函数的图像性质判断即可.
【详解】因为为奇函数，函数和函数不具有奇偶性，故排除A，C，D，
又为偶函数且在(0,+∞)上递增，故B符合条件.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、单调性的判断，属于基础题. 掌握幂指对函数的基本性质是关键.
4. 已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的性质，指对数先和0，1比较大小，再比较的大小.
【详解】由函数单调性可知，，
，，
所以.
故选：C
5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.
【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，
所以，则.
故选：A.
【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.
6. 已知定义在上的奇函数在单调递增．若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，解不等式即可求解.
【详解】在上的奇函数且单调递增．
可得在上为增函数，
因为，可得，
由，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D
7. 已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与曲线相切，求出，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．
【详解】设函数和直线的切点坐标为，
则，可得，
所以时，直线与曲线相切；
直线与曲线相切不能推出．
因此“”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件．
故选：．
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
8. 苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知是24位数，则正整数的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据位数定义利用对数运算表可得.
【详解】由题意可知，两边同时取对数可得，
所以，故，
由表中数据可知，
故选：C
9. 先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值.
【详解】由题意可知，则函数的最大值为，最小值为，
又的最大值为，
所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合，
故应平移个单位，所以，
得，故只有C选项符合.
故选：C.
【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：
（1）得出函数的解析式；
（2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合.
10. 已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得在0,+∞上有解，求出在0,+∞上的值域即可求解.
【详解】设，则，
的图象上存在两个点关于原点对称，
则在0,+∞上有解，
即在0,+∞上有解，
由在0,+∞上的值域为，
则实数的取值范围是.
故选：D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知函数，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用对数的运算求解即可.
【详解】，
，得，解得
故答案为：.
12. 函数的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
函数变形为，再利用基本不等式求最小值.
【详解】，，
，
当时，等号成立.
所以函数的最小值为.
故答案为：
13. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.
【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为0,1；
则曲线在处的切线为，
显然，设切点，
由，解得
故答案为：2
14. 已知函数满足，，且f(x)在内不存在零点，则函数f(x)的零点为______．
【答案】，
【解析】
【分析】由题设知f(x)关于中心对称，结合已知可得，且，进而有，，再应用正弦函数的性质求f(x)的零点即可.
【详解】由，知：f(x)关于中心对称，即，，
由，，即，，
∴，又f(x)内不存在零点，
∴，可得，
综上，，易知，.
令，则，，
∴f(x)的零点：，.
故答案为：，.
15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点， 点到船底的距离是（单位：），轮子旋转时间为（单位：s）. 当时，点在轮子的最高点处.
①当点第一次入水时，__________；
②当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出方程，分类讨论即可求解；
（2）求出导数得，，当时，瞬时变化率取得最大值，进而求解
【详解】（1）当时，点在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m，半径3m，设为，则，当点第一次入水时，水面高2.5m，即，代入得，，第一次入水即在满足的情况下满足现实条件后可取的最小值，
（2）瞬时变化率取得最大值，即最大，，当时，瞬时变化率取得最大值，此时，的最小值为
故答案为：①；②
【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出和，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设α＞0，若函数g（x）=f（x+α）为奇函数，求α的最小值．
【答案】（Ⅰ）周期是，单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）
【解析】
【详解】（1）
，所以函数的最小正周期.
由， 得，
所以函数的单调递增区间为.
（注：或者写成单调递增区间为.）
（2）解：由题意，得， 因为函数为奇函数，且，
所以，即， 所以，
解得，验证知其符合题意. 又因为，
所以的最小值为.
考点：三角函数的图象和性质.
17. 已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
【小问1详解】
选择条件①②：
由条件①及已知得，
所以．
由条件②得，
所以，即．
解得．
因为，
所以，
所以．
经检验符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．
由条件③得，
解得．
因为，
所以．
所以．
【小问2详解】
由题意得，
化简得．
因为，
所以，
所以当，即时，的最大值为．
18. 已知函数，其中．
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）若，讨论函数的单调性．
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用极值点列方程求出的值，再回代入导函数进行验证即得；
（2）对函数求导，分解因式后求得导函数的零点，根据参数的范围分类讨论函数的单调性即可.
【小问1详解】
由可得，，且，
因是函数的极值点，故，解得.
当时，，
由f′x>0可得，由f′x0，当或时，f′x0，当或时，f′x