北京市八一学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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2023.10
本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两种特殊命题的否定即可求出结果.
【详解】根据存在量词命题的否定知，命题“”的否定为，
故选：A.
3. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，即方程组的解的个数，再联立方程求解即可.
【详解】由题意，即方程组的解的个数，即，解得或.故，则中元素的个数为2.
故选：B
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】或或；
；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知命题.若为假命题，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意为真命题，再根据一次函数恒成立性质求解即可.
【详解】由题意为真命题，故，恒成立，故，即.
故选：C
6. 设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解.
【详解】因为，，又是的必要不充分条件，
所以，解得，经检验满足题意.
故选：D.
7. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】原方程等价于，求解即可.
【详解】解：因为，
解得或(舍)，
由，解得或，
所以原方程的解集为.
故选：C.
8. 要使二次三项式在整数范围内可因式分解，为正整数，那么的取值可以有（ ）
A. 2个B. 3个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设得，从而得到，再利用为正整数，即可求出结果.
【详解】由题可设，则，
所以，
又为正整数，所以都是负整数，
故或，此时；
或，此时；
，此时；
所以满足题意的的取值有3个，
故选：B.
9. 已知，且，则的值为（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
分析】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，得到，
当时，由，解得或，所以，
故，得到，所以，
故选：C.
10. 设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ）
A. 集合中至多有2个元素
B. 集合中至多有3个元素
C 集合中有且仅有4个元素
D. 集合中至少有5个元素
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点.
【详解】因若，则，所以，，
则，
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合中有且仅有4个元素，
故选：C
二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 已知集合有且只有两个子集，则实数________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题设条件可得为单元素集合，就分类讨论后可得实数的值.
【详解】因为有且只有两个子集，故为单元素集合.
当时，，符合；
当时，则有即.
综上，或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查集合中元素个数与其子集个数之间的关系以及集合含义的正确理解，一般地，如果有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为，对于集合，它表示方程的解的集合，讨论含参数的方程的解的时，要考虑二次项系数是否为零.
12. 集合，，，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】
【分析】由，易得。
【详解】由，可知。
故答案为：
【点睛】此题考查通过集合的并集求参数，属于简单题目。
13. 设、，则“”是“”的__________条件.（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】利用不等式的性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可的结论.
【详解】当时，；当时，.
所以，，
由可得，即“”“”，
取，，此时，，即“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
14. 若关于的方程组与的解集相等，则__________；__________.
【答案】 ①. ②. ##-0.5
【解析】
【分析】根据条件得的解，也是两个方程组的解集，从而得到，进而可求出结果.
【详解】因为方程组与的解集相等，
所以的解集也是它们的解集，
由，得到，
所以，解得，
故答案为：.
15. 1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系.全集，集合的关系如图所示，其中区域I，II构成，区域II，III构成.若区域I，II，III表示的集合均不是空集，则实数的取值范围是__________.

【答案】
【解析】
【分析】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，进而可得在与时的正负即可求解.
【详解】由题意与交集不为空，且互不为包含关系，
故或，即无解或.
综上有.
故答案为：
三､解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答．
已知集合．
（1）若，求；
（2）若________，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据集合的运算直接计算即可得到结果.
（2）根据条件分集合为空集与集合不为空集分别讨论计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
当时，，所以或
所以或
【小问2详解】
由(1)知，
若选①：由，得
当，即时，，符合题意；
当时，，解得.
综上所述，实数的取值范围是
若选②：当时，，即；
当时，或
解得或不存在.
综上所述，实数的取值范围是
17. 已知命题：方程有两个不相等的负实数根，命题：方程无实数根.
（1）若均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若中有一个真命题，一个是假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次方程根的分布分别列式求解即可；
（2）分析“真假”和“真假”两种情况分别求解即可.
【小问1详解】
方程有两个不相等的负实数根，则，解得.
方程无实数根，则，解得.
综上有
【小问2详解】
由（1），当真假时，，解得；
当真假时，，解得；
综上有.
18. 已知、是方程的两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）求、.（结果用表示）
（3）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2），
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出且，可求出实数的取值范围；
（2）根据韦达定理可得出、关于的表达式；
（3）根据结合韦达定理定理可得出关于的等式，求出的值，结合可得出结论.
【小问1详解】
解：因为、是方程的两个实数根，
则，且，解得
所以，实数的取值范围是.
【小问2详解】
解：因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，，
所以，，
.
【小问3详解】
解：若存在实数，使，
即，解得，不合乎题意，舍去.
因此，不存在实数的值，使得.
19. 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？
（2）市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数.
【答案】（1）甲车型8辆，乙车型10辆
（2）甲，乙，丙三种车型分别为或
【解析】
【分析】（1）分别设出需甲车型辆，乙车型辆，再根据条件得到方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，根据条件得到，再利用均为整数这一条件即可求出结果.
【小问1详解】
设需甲车型辆，乙车型辆，
由题得，解得，
所以需甲车型8辆，乙车型10辆.
【小问2详解】
设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，
由题得，，消得到，所以，
又均为正整数，得到或，
当时，，当时， ，
所以，甲，乙，丙三种车型分别为或.
20. 已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由.
（2）若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合.
【答案】（1）集合为“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由见解析.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据“完美集合”的定义判断集合、，可得出结论；
（2）分析可知，则，可知集合中的另一个元素为，则为、、、、中的某个数，求出的可能取值，然后对的取值进行分类讨论，结合“完美集合”的定义判断即可得解.
【小问1详解】
解：对于集合，取集合、、，则，
三个集合、、两两没有公共元素，且，故集合为“完美集合”，
对于集合，若集合，则存在集合、、，
使得，，且，
记集合所有元素之和为，集合中所有元素之和为，集合所有元素之和为，
则，可得，
故集合不是“完美集合”.
【小问2详解】
解：因为集合为“完美集合”，由（1）可知，则，
根据定义可知，为中的最大元素，故，
又因为集合中各元素之和为，
所以，集合中的另一个元素为，且为、、、、中的某个数，
所以，的可能取值有、、、、，
当时，则，或，满足定义要求；
当时，则，或，满足定义要求；
当时，则，或，满足定义要求；
当或时，在、、、、中任取两个数，这两个数之和的最大值为，
此时，集合不是“完美集合”.
综上所述，当时，或；
当时，或；
当时，或.
【点睛】关键点点睛：本题考察集合的新定义，解题时要紧扣“完美集合”的定义，分析集合元素之间的关系，解本题第（2）问的关键就是找出集合中的两个元素，确定的可能取值，然后逐一结合定义分析讨论求解.
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600