高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学课件ppt

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知识梳理1.圆的定义圆是平面上到定点的距离等于 定长 的点的集合.在平 面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一 确定 了 .2.圆的标准方程(1)如图，在平面直角坐标系中，OA的圆心A的坐标为(a,b),半径为r,M(x,y)为圆上任意一点，OA就是以下点的集合P={M||MA|=r}.
(2)(x-a)²+(y-b)²=r².①若点M(x,y) 在OA上，点M的坐标就满足方程①;反过来， 若点M的坐标(x,y) 满足方程①,就说明点M与圆心A间的 距离为r, 点M就在OA上.把方程①称为圆心为A(a,b), 半径为r的圆的 标准方程[问题] 确定一个圆的最基本几何要素是什么? 答案：圆心与半径.
预习自测1.圆P(x-2)²+(y+1)²=3的圆心坐标为( B )A.(2,1) B.(2,-1)C. (-2,1) D. (-2,-1)
2.方 程(x-a)²+(y-b)²=0表示的图形是( C )A.以(a,b) 为圆心的圆B. 以(-a,-b) 为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)解析：因为(x-a)²+(y-b)²=0,所以 所以
3.圆(x+2)²+y²=5 关于直线y=-x对称的圆的方程为(B)A.(x-2)²+y²=5 B.x²+(y-2)²=5C. (x+2)²+(y+2)²=5 D.x²+(y+2)²=5
对称圆的圆心为(0,2),半径为 √5,所以所求对称圆的方程为x²+(y-2)²=5.
解析：由圆的方程知，圆心(-2,0),半径r= √5.设圆心(-2,0)关
于y=-x 的对称点为(a,b), 则
4. (多选题)以直线2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( AD )A.x²+(y-4)²=20 B.(x-4)²+y²=20C.x²+(y-2)²=20 D.(x-2)²+y²=20 解析：令x=0,则 y=4;令y=0,则 x=2,所以直线2x+y-4=0与两
坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).2 √5,以A 为圆心，过点B 的圆的方程为x²+(y-4)²=20.以 B 为 圆心，过点A 的圆的方程为(x-2)²+y²=20.
5.已知直线l ₁:3x+y-6=0与圆心为M(0,1) ,半径为 √ 5的圆M相 交于A,B两点，则圆M的方程为 x²+(y-1)²=5 ,| AB|= √ 10解析：因为圆的圆心为M(0,1),半径为√5,所以圆的方程为x²+(y-1)²=5,
根据圆心M(0,1) 到直线3x+y-6=0的距离为
探 究 点 一，求圆的标准方程[例1] 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在点C(3,4) 处，半径是 √5;解：(1)所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)²=5.(2)经过点(2,5),圆心为(3,1).
解：(2)设圆的标准方程为(x-3)²+(y-1)²=r²(r>0),
所以圆的标准方程为(x-3)²+(y-1)²=17.
方 法 总 结要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量): 圆的圆心坐标和半径长；反之如果已知圆的标准方程也 能直接得到圆的圆心坐标和半径.
解：( 2)因为圆心是两直线的交点，由 得 所以圆心为
[针对训练] 写出下列各圆的标准方程.(2)圆心是直线x+y-1=0 与 2x-y+3=0 的交点，半径为
又因为半径为 所以圆的标准方程为
探究点二，判断点与圆的位置关系[例2] 已知两点P₁ (3,8)和P₂ (5,4),求以线段P₁P₂ 为直径 的圆的方程，并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5) 是在此圆 上、圆内，还是在圆外?
解：设圆心C(a,b),半径长为r,则 由C 为线段P₁P₂ 的中
即圆心坐标为C(4,6).
故所求圆的标准方程为(x-4)²+(y-6)²=5.分别计算点M,N,P 到圆心C 的距离：
所以点M在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.
又由两点间的距离公式得
方 法 总 结点与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较.(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x₀-a)²+(y₀-b)²>r²,点在圆外.②(x₀-a)²+(y₀-b)²=r²,点在圆上.③(x₀-a)²+(y₀-b)²解 ：该圆的方程为(x-3 )2+(y-4)²=25, 把A,B两点的坐标分别代入圆的方程得(0-3)2+(0-4)2=25,(1-3)2+(3-4)²=5<25.所以点A在圆上，点B在圆内.
[针对训练] 写出圆心为(3,4),半径为5的圆的方程，并判断点A(0,0),B(1,3) 与该圆的位置关系.
探究点三，圆的标准方程的综合应用[例3] 求过点A(1,-1),B(-1,1), 且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.
解：法一 设所求圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0) .,解此方程组，由已知条件知
故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
法二 设 点C 为圆心，因为点C 在直线x+y-2=0 上，所以可设点C 的坐标为( a,2-a). 又因为该圆经过A,B 两点，所以|CA|=|CB|,所)解得a=1,所以圆心坐标为C(1,1),半径r=|CA|=2.故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
弦 AB 的垂直平分线的斜率为k=1, 所以 AB 的垂直平分线的方程为y-0=1×(x-0),即 y=x,则圆心是直线 y=x 与 x+y-2=0 的交点.由得 即圆心坐标为(1,1),圆的半径为 (1-1)²+[1-(-1)]²=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
法 三 由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0), ,所以
方 法 总 结确定圆的标准方程有两种方法：几何法和待定系数法.(1)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直 接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆 的标准方程.(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程 组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标 准方程.
[针对训练]求经过A(6,5),B(0,1) 两点，并且圆心C在直线1:3x+10y+9=0 上的圆的标准方程.解：法一(直接法)由题意得AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0.
故所求圆的标准方程是(x-7)²+(y+3)²=65.
则圆心C 为(7,-3).
2 么 业 人
法二(待定系数法)设圆C的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0),则有 解得a=7,b=-3,r= √65.故所求圆的标准方程是(x-7)²+(y+3)²=65.
课堂达标1.已 知A(0,-5),B(0,-1), 则以线段AB为直径的圆的标准方程是( B )A.(x+3)²+y²=2 B.x²+(y+3)²=4C.(x+3)²+y²=4 D.(x-3)²+y²=2
解析：圆的圆心坐标是(0,-3), 半径是 故圆的标准方程为x²+(y+3)²=4.
2. (多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆 上，且圆的半径为 √5,则圆的方程可能是( AD )A.x²+y²=5 B.(x-1)²+y²=5C.x²+(y+1)²=5 D.(x-1)²+(y+1)²=5 解析：因为圆上的点A(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在 这个圆上，所以圆心在直线x+y=0上，设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)²=5,解得a=0或a=1,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)²=5或x²+y²=5.
3.与圆(x-2)²+(y+3)²=16的圆心相同，且过点P(-1,1)的圆的标准方程是(x-2)²+(y+3)²=25解析：圆 (x-2)²+(y +3)²=16的圆心为(2,-3),设所求圆的标准方程为(x-2)²+(y+3)²=r²(r>0), 由点 P(-1,1)在圆上可知(-1-2)2+(1+3)²=r²,解得r²=25.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)²=25.
4.直线1: 与x轴、y 轴分别相交于点A,B,0为坐标原 点，则△A0B 内切圆的标准方程为 (x-1)²+(y-1)²=1 ;此圆的面积为 兀解析：由题意，设△A0B内切圆的圆心为M(m,m)(m>0),则半径为m,直 线I 的方 可化为3x+4y-12=0,由 得 由题意 得m=1或m=6(舍去),所以△A0B内切圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=1,此圆的面积S=π r²=π.
在Rt△A0C中 ， .设点C 坐标为(a,O),则|c|=|a|=3,所以a=±3.
备用例题[例1] 已知某圆圆心在x轴上，半径为5,且截y轴所得线 段长为8,求该圆的标准方程.
解 ：如图，因为|AC|=r=5,| AB|=8,所以|AO|=4.
所以所求圆的标准方程为(x+3)²+y²=25或(x-3)²+y²=25.
[例2] 写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.(1)(x-2)²+(y-5)²=9;
解：(1)圆心坐标是(2,5),半径是3.
解：(2)圆心坐标是(0,0),半径是16.
(2)x²+y²=256;