专题4.36 图形的相似（中考考点真题分类专题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题4.36 图形的相似（中考考点真题分类专题）（专项练习）【考点目录】【考点1】比例基本性质......................................................................................................1【考点2】黄金分割..............................................................................................................3【考点3】平行线分线段成比例...........................................................................................5【考点4】相似多边形..........................................................................................................8【考点5】相似三角形的性质...............................................................................................11【考点5】相似三角形的判定...............................................................................................15【考点7】图形的位似..........................................................................................................16【考点8】图形的相似综合...................................................................................................20【考点1】比例基本性质1-1.（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ）A．6 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据等式的性质即可得出结果．解：等式两边乘以，得，故选：A．【点拨】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．1-2.（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可．解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，∴，则，故答案为：．1-3.（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：     【答案】【分析】根据题意得出，进而即可求解．解：∵∴∴，故答案为：．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．1-4.（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．【答案】【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．解：∵，过点作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：，【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．【考点2】黄金分割2-1.（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．【答案】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，点是靠近点的黄金分割点，设，则，∴，解方程得，，∴之间的距离为，故答案为：．【点拨】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2-2.（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．【答案】/【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．解:∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．故答案为：（）．【点拨】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．2-3.（2022·湖南衡阳·中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m， ∴  ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．【考点3】平行线分线段成比例3-1.（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．  【答案】【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.解:，   ，，，，，，；故答案为：.【点拨】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.3-2.（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合题意；C．∵是边的中点，∴，∵，∴，∴一定成立，故C不符合题意；D．不一定成立，故D符合题意．3-3.（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．    【答案】【分析】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案．解：由题意可知，射线是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”得是边中点，，由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点，是梯形的中位线，，在中，，，则，故答案为：．【点拨】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．3-4.（2023·河南·中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ．【答案】2或【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．解：当时，  ∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，    ∵M为对角线的中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点拨】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．【考点4】相似多边形4-1.（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）  A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．4-2.（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．解：，由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，故选：C．【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．4-3.（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为 ．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．解：所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；故答案是：1．【点拨】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．4-4.（2019·四川内江·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ．【答案】．【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答解:设，则，，∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即，，∵，，∴，，∴，故答案为．【点拨】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形【考点5】相似三角形的性质5-1.（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，故选：D．5-2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．解：∵两个相似三角形的相似比为，∴这两个三角形面积的比是，故选：D．5-3．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．解：∵与相似，且相似比为，∴与的周长比为，故选B．5-4．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．【答案】【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝()2＝，故答案为： ．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．5-5．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．【答案】【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．解:由题意得：，∴，如图，过作于点，交于点，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距离为，故答案为：．5-6．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为 ．【答案】【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答．解:如图，设、分别与交于点、 ，则 ，∴ ,∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ，由图可知： ， ∴ ，即与的相似比为 ，∴与的周长比为故答案为：【点拨】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．【考点6】相似三角形的判定6-1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．  【答案】【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可得：，，，，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键．6-2．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．解：，，，四边形是正方形，，，，，又，．【考点7】图形的位似7-1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为O0,0，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）    A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是故选：D．7-2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．解：∵与是位似图形，点的对应点为，∴与的位似比为，∴点的对应点的坐标为，即，故选：．7-3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，，∴，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，∵三角形硬纸板的面积为，∴，∴的面积为．故选：D．7-4．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是 ．  【答案】【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．解∶设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为，∴，解得，，∴故答案为：【点拨】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．7-5．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．    【答案】或/或【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，，当在第一象限时，点的坐标为，即；当在第三象限时，点的坐标为，即；综上可知，点的坐标为或，故答案为：或．【点拨】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．7-6．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．  【答案】【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，∴四边形和四边形的相似比为，∵，∴第一象限内点 ，即，故答案为：．【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【考点8】图形的相似综合8-1．（2024·湖南·中考真题）如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵点分别为边的中点，∴，，故正确；∵，∴，故正确；∵，∴，∴，故错误；故选：．8-2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定．解：由作图可知，为的角平分，∴，故A正确；∵四边形为平行四边形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正确；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D错误；∵，∴，故C正确，故选：D．8-3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．8-4．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．解：如图，过D作，交延长线于H，则，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．（法二：同理，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．8-5．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可．解∶∵四边形是平行四边形，∴，∵点E为的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：B．8-6．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，对角线，BD交于点，点在上，点在CD上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解．解：∵四边形是平行四边形，∴A. 若，即，又，∴∴∴，故A选项正确，B. 若，，，∴是的角平分线，∴∵∴∴∴∴四边形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B选项正确，C. ∵，∴∵，∴∴∴∴四边形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C选项正确；D. 若，则四边形是菱形，由，且时，可得垂直平分，∵∴，故D选项不正确故选：D．8-7．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可．解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵点E，F分别为对角线的三等分点，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．8-8．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ．【答案】80【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可．解：过点B作交的延长线于N，  ∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴另一端B离地面的高度为．故答案为：80．8-9．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ．【答案】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，，∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．8-10．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．  【答案】/0.5【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．解：，，，故答案为：．8-11．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．【答案】 2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．解：∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴；∵，∴，即，整理得：，设，∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，∵，∴，即，整理得：，故答案为：2，．8-12（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．【答案】【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解．解:如图，过作轴于点，则，由平移性质可知：，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，，∴，设，则，，∴，解得：，∴，，∴，∵点在第四象限，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．8-13．（2024·湖北·中考真题）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则 ， ．【答案】 30°/30度 /【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合可求得；作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．解：∵为等边三角形，，∴，，∴，，，作交的延长线于点，∴，，∵，∴，∴，∴，即，解得，故答案为：，．