专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

这是一份专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版），文件包含专题428图形的相似全章知识梳理与考点分类讲解北师大版教师版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx、专题428图形的相似全章知识梳理与考点分类讲解北师大版学生版-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】比例线段定义在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【知识点二】比例线段的性质(1)基本性质：；(2)合比性质：⇔＝； (3)等比性质：；【知识点三】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，. 【知识点四】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【知识点五】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【知识点六】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点七】相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．(4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点八】相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【知识点九】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.【知识点十】常见模型“A”型斜“A”型“母子型”字型 “X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一线三直角型一线三等角【知识点十一】位似图形的定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.【知识点十二】位似图形性质位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.【知识点十三】位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用比例基本性质求值（含黄金分割）【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求；（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ）A．1 B． C．1或 D．2【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．【题型2】平行线分线段成比例定理求值与证明（含构造平行线分线段成比例）【例2】（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．  （1）求证：． （2）若，，CD=32，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．2【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．   【题型3】探索三角形相似的条件三种判定方法【例3】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点A−2,0，，所在直线的方程为，连接．  （1）求的值； （2）求证：．【变式1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　）A． B． C． D．【变式2】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．【题型4】相似三角形的性质与判定求值与证明【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点．（1）若，且，求的度数；（2）若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值． 【变式1】如图，是的高，是的中点，交于于．若则的长为(  )  A． B．383 C． D．【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ．【题型5】图形的位似【例5】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．（2）证明和相似． 【变式1】（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ．【题型6】相似三角形综合（含图形的旋转、平移与折叠）【例6】（2024·湖南岳阳·二模）综合与实践问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．  （1）探究发现：若，求．（2）探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ． ①求的长；②连接，若，求的长．(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．【变式1】（2024·山西太原·三模）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、BD，当在AD的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在AD上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在BD上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．【变式2】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．①画出此时所在位置的示意图；②的长度的最大值为 cm．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．（1）求证：；（2）若．①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；②若，，求的长． 【例2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．【模型建立】（1）求证：；【模型应用】（2）若，，，求的长；【模型迁移】（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．2、拓展延伸【例1】（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．【例2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ．