初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系随堂练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．不能确定
2．（22-23九年级下·江苏南通·期末）已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为，，则 的值为：（ ）
A．2B．C．D．
4．（23-24八年级下·山东东营·期末）若，，则以，为根的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值（ ）
A．4045B．4044C．2022D．1
7．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）菱形两条对角线的长是方程的两个根，则菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·广东广州·一模）关于的方程有两个相等的实数根，若是的三边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
9．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
10．（2024九年级上·全国·专题练习）中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·吉林松原·二模）一元二次方程的根的判别式的值是 ．
12．（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ．
13．（2024·山东济南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
14．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ．
15．（2024·江西抚州·模拟预测）已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ．
16．（22-23九年级上·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ．
17．（2024·湖南永州·模拟预测）已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ．
18．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两根，则k的值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值．
(1)； (2)．
20．（8分）（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）已知．
（1）化简P；
（2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求P的值．
21．（10分）（24-25九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．
（1）求证：无论取什么实数，方程总有实数根．
（2）方程的解都为正整数，求满足条件的所有正整数的值．
22．（10分）（24-25九年级上·全国·课后作业）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根．
（1）求n的取值范围；
（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
23．（10分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
24．（12分）（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）阅读材料，根据材料解决以下问题．
材料1：若一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根．
理解：一元二次方程两个根为，，则______，______．
探究：已知实数m，n满足，，且，求的值．
拓展：已知实数s，t分别满足，，其中且．求的值．
参考答案：
1．C
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．只需求得的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程没有实数根；，方程有两个相等的实数根，进行分析判断．
【详解】解：
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到且，即，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
且，即，
解得，
故的取值范围是且．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键．
【详解】解：∵方程 的两根为，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴以，为根的一元二次方程是，
故选：A．
5．D
【分析】根据题意，，，，化简代入计算即可．
本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，，
∴
∴
，
故选：A．
7．B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出两条对角线之积，再利用菱形的面积公式解答即可．本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：设菱形的两条对角线长为，
∵菱形两条对角线的长是方程的两个根，
∴，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，整理得，
∴是直角三角形，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了根的判别式．方程化为一般式为，根据根的判别式的意义得到，所以，于是可计算出，，然后消去得到与的关系．
【详解】解：方程化为一般式为，
根据题意得，
∴，
∴，
即，
，，
．
故选：A．
10．D
【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到，然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：∵的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，
∴，
∴对角线长的取值范围是．
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13．且
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
方程有两个不相等的实数根，，
，，
即：
解得：，
且．
故答案为：且．
14．2
【分析】直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【详解】解：根据题意得一元二次方程的两根分别为a，b
∴．
故答案为：2
15．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意可知，即，然后根据根与系数的关系代入求值即可；熟知一元二次方程根与系数的关系是关键．
【详解】解∶∵是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为∶．
16．3
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：12．
17．27
【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的面积是，
故答案为：27．
18．/ /3.75
【分析】根据可知，根据一元二次方程跟与系数的关系，可得到的值，联立两式，求出两根之积即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程跟与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．
（1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可．
（2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）
；
20．(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是熟练掌握根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据关于x的方程有两个相等的实数根，求出m的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
∴，
即．
21．(1)见解析
(2)满足条件的正整数有1和2．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．
（1）利用一元二次方程根的判别式求得，从而即可得证；
（2）利用求根公式求得，，根据题意得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
∴无论取什么实数，方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵方程的解都是正整数，
∴，
解得，
∴满足条件的正整数有1和2．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式、以及等腰三角形的定义，注意要分类讨论．
（1）根据根的判别式列出方程求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分①或，②两种情况讨论．
【详解】（1）由题意，得．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴，
∴．
（2）∵三角形是等腰三角形，
∴有①或，②两种情况．
①当或时，
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴是方程的一根．
把x=2代入，
得，
解得．
当时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，舍去；
②当时，方程有两个相等的实数根，
∴，解得．
综上所述，．
23．(1)；
(2)的值为．
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键．
（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
24．理解：2；探究：拓展：
【分析】理解：直接根据根与系数的关系可得答案；
探究：由题意可得m，n是的两个根，则，，再代入求值即可；
拓展：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根，可得，，再整体代入求值即可．
【详解】解：理解：一元二次方程两个根为，，
，；
故答案为：2，；
探究：∵，，且，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴；
拓展：将等式两边同时除以，
得，即，
∵且，
∴实数s和是方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键．