初中数学北师大版（2024）九年级上册3 用公式法求解一元二次方程课时练习

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【知识点一】公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2.一元二次方程根的判别式
用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；
若，则原方程无实根.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用公式法解一元二次方程
【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列万程：
(1)． (2)．
(3)． (4)．
【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【题型2】公式法解一元二次方程的应用
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段AB于点，以点为圆心，AD长为半径画弧，交线段于点设，，则线段AD的长是方程的一个根吗？请说明理由．
【变式1】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，，点是上一点，将沿翻折，使点落在上，得到．下列哪条线段的长度是方程的一个根（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
【题型3】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【解题方法】一化：化为一般形式；二找：找出abc,并确定其值；三算：算的值；四判：判断根的情况。
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）不解方程，判断关于x的方程的根的情况．
【变式1】（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等实根B．有两个相等实根C．没有实根D．无法确定
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ．
【题型4】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例4】（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【题型5】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例5】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论．
（1）方程一定有实数根，请你加以证明；
（2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．且D．且
2、拓展延伸
【例1】若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【例2】（21-22九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（ ）
A．35B．30C．26D．21