苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.15 锐角三角函数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题7.15 锐角三角函数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（　　）A． B． C． D．2．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．3．如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（    ）A． B． C． D．4．如图，为了测量河岸A、B两地间的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，，那么A、B两地的距离等于（    ）A． B． C． D．5．点关于y轴对称的点的坐标是（    ）．A． B．C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（　　）A．﹣ B． C．﹣ D．7．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（    ）A．米 B．20米 C．米 D．米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE的顶部测得信号发射塔AB顶端的仰角∠FEA＝56°，建筑物DE的底部D到山脚底部C的距离DC＝16米，小山坡面BC的坡度（或坡比）i＝1：0.75，坡长BC＝40米（建筑物DE、小山坡BC和网络信号发射塔AB的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB与水平线DC垂直），则信号发射塔AB的高约为 （　　）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A．71.4米 B．59.2米 C．48.2米 D．39.2米9．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（  ）A． B． C． D．10．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．二、填空题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．12．若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．14．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____． 16．如图，在中，，，，则的长为_____．17．如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1）； （2）．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．(1)求sinα、cosα、tanα的值；(2)若∠B=∠CAD，求BD的长．21．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝2×，故选：D．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt△ABC中，∠B=90°，则．故选：C．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt△ABC中，米，，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵ tanα=，∴AB=，故选A．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．解：∵sin60°＝，cos30°＝，∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．故选：C．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．解：∵A（﹣1，2），∴OA＝，由旋转的性质可知，OB＝OA＝，∴B（﹣，0）．故选：C．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA即可．7．A【分析】根据坡度意思可知，设米，则米，由勾股定理可得：，即，求出h即可．解：如图：由题意可知：，米，设米，则米，由勾股定理可得：，即，解得：米，米（舍去）．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即，设BG＝4x，CG＝3x，则BC＝5x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知： 四边形为正方形， 如图，当落在上时， 由 故选 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．解：如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．∵∠AEF=143°，∴∠AED=37°．在Rt△ADE中，∵sin∠AED，AE=1.2米，∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵，∴∠A＝60°，∴．故答案为．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴ 解得：  ∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a==5，∵PH⊥x轴于H，∴PH=5，OH=12，∴tan∠POH=，故答案为．14．3【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．解：在中，在矩形中，故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：∠1=∠3，故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16．【分析】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．解：过作，在中，，，∴，在中，，∴，即，根据勾股定理得：，故答案为：．．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．解：的坐标分别是轴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．          【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠的性质知EF垂直平分AM，则AF=FM，∴FM⊥BC时，FM长取得最小值，此时DF长取得最大值，过点D作DG⊥BC于点C，则四边形DGMF为矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案为：3；6-3．【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1）；（2）．【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝＝＝．（2）原式．【定睛】此题主要考查实数的运算。解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．20．（1）sinα=，cosα=，tanα=；（2）BD =3．【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．（2）由∠B＝∠CAD＝α和（1）求得的tanα，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD==．（1）sinα===，cosα===，tanα==；（2）在Rt△ABC中，tanB=，即tanα==，∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．【点拨】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．21．（16+5）米．解：设AG=x．在Rt△AFG中，∵tan∠AFG=，∴FG=，在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，∴CG=AG=x，∵DE=10，∴x﹣=10，解得：x=15+5，∴AB=15+5+1=16+5（米）．答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．22．（1）见分析（2）【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，，∴，即．【点拨】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．23．（70﹣10）m．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解得到DF的长度；通过解得到CE的长度，则解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在中，∵AF=80m−10m=70m，  ∴DF=AF=70m．在中，∵DE=10m，  ∴ ∴ 答：障碍物B，C两点间的距离为24．7【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．解：假设点D移到D’的位置时，恰好∠α=39°，过D点作DE⊥AC于E点，作D’E⊥AC于E’∵CD=12，∠DCE=60°∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’∴四边形DEE’D’是矩形∴DE=D’E’=6，∵∠D’CE’=39° ∴CE′=≈13∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．即答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．【点拨】本题考查了解直角三角的应用，锐角三角函数是解题的关键．