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第17讲 锐角三角函数的应用（4大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）
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这是一份第17讲 锐角三角函数的应用（4大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版），文件包含第17讲锐角三角函数的应用4大考点解析版docx、第17讲锐角三角函数的应用4大考点原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共141页， 欢迎下载使用。
第17讲 锐角三角函数的应用（4大考点）
考点考向
一、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
二、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
三、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
四、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
五、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
考点精讲
一．解直角三角形的应用（共9小题）
1．（2022•娄底模拟）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（ ）
A．4+米 B．4+米
C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米
2．（2022•镇江一模）我们常用角（如图中的∠AOB）的大小来描述一段台阶的陡缓程度，已知图中的每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，则∠AOB的大小接近于（ ）
（参考数据：tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，tan35°≈0.70，，）
A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°
3．（2022•太仓市模拟）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC＝105°，则点A离地面的距离AM为 分米．（结果保留根号）
4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为 m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
6．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
7．（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：≈1.73）
8．（2022•沭阳县模拟）如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．
9．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共10小题）
10．（2022•海陵区一模）一个斜坡的坡度是1：，则这个斜坡的坡角等于 °．
11．（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据；）
（1）求∠DAB的度数；
（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？
12．（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（ ）
A．6m B．12 m C．6m D．6 m
13．（2022•无锡模拟）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（）米 B．12米 C．（）米 D．10米
14．（2022春•江都区月考）如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 m．
15．（2022•常州模拟）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．（2022•姜堰区二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
17．（2022•丹阳市二模）已知一个不等臂跷跷板AB长4米，支撑柱OH垂直地面，如图1，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为；如图2，当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，则支撑柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米
18．（2022春•崇川区校级月考）2022年北京第24届冬季奥运会刚刚圆满结束，很多学校都开展了冰雪项目学习，如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）•
19．（2022•镇江模拟）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共8小题）
20．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
21．（2022•通州区一模）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若CD＝EF＝1.9m，则旗杆AB的高度是 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）
22．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
23．（2022•镇江模拟）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台AB、中部的大跳台腾空起点C、赛道CE、底部的看台区EF组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），CE赛道可近似视作坡度为1：2.4的一段坡面，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即AH）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台AB水平位置D后，遥感测得AD之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则CE赛道长度约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
24．（2022•海门市二模）狼山位于江苏南通城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“中国佛教八小名山”，是江北著名的旅游佳地．如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45°，测得狼山底部点C的俯角为60°，此时无人机与BC的水平距离AD长为40m，那么亮亮同学测得狼山的高度BC约为 m（结果保留整数，≈1.73）．
25．（2022•如东县一模）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，若这栋楼的楼高BC＝100m，则热气球A与该楼的水平距离为 m（结果保留根号）．
26．（2022春•邗江区校级月考）为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是 ．（结果保留根号）
27．（2022•姑苏区校级一模）如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
四．解直角三角形的应用-方向角问题（共9小题）
28．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
29．（2022•淮阴区模拟）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
30．（2022春•亭湖区校级月考）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 km．
31．（2022•徐州一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 海里．
32．（2022•东海县二模）如图轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向80海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶60海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B，C都在码头A的正西方向，求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）
33．（2022•东海县一模）如图，一艘渔船位于观测站A的北偏东53.2°方向的点B处，它沿着点B的正南方向航行，航行15海里后，观察站A测得该渔船位于南偏东63.4°方向的点D处．
（1）求证：BD＝BA；
（2）若渔船从点D处继续按着原方向航行海里后到达点C时突然发生事故，渔船马上向观测站A处的救援队求救，问救援队从A处出发沿着哪个方向航行到达事故地点C的航程最短？
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）
34．（2022•兴化市二模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东20°方向，然后向西走35米到达C点，测得点B在点C的北偏东45°方向．
（1）求∠CBA的度数；
（2）求这段河的宽度约为多少米．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
35．（2022•惠山区校级二模）如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
36．（2022•鼓楼区校级一模）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏崇川·九年级期末）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A．h·sinα B．h·cosα
C． D．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
3．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·盐城市初级中学九年级期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏苏州·九年级专题练习）“大金鹰”雕塑雄居在重庆南山的鹞鹰岩上，水泥浇铸，外敷金箔，内没通道，游客可以直登鹰的头部，上设有观景台，凭栏远跳，重庆临江两岸景物尽收眼底．小南游览时对大金鹰雕塑“身高”突发兴趣，决定利用所学的三角函数的知识测量大金鹰的高度（即示意图中的线段长度）．他先在景区入口处观测到“大金鹰”顶部观景台的仰角是，然后他沿着水平步道前行23.8米后到达坡度的斜坡梯道起点处，拾级而上抵达处后，他一鼓作气直上登临观景台处，在观景台处俯视斜坡梯道起点时，发现此时俯角恰好是，图中点同一平面内，小南通过计算得出大金鹰雕塑“身高”约为（ ）米．（小南身高忽略不计，结果精确到1米，参考数据：．）
A．31 B．32 C．33 D．34
6．（2021·江苏苏州·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（ ）
A．cm B．cm C．27cm D．54cm
7．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至B地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（ ）．（结果保留根号，参考数据：，，）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学九年级月考）如图，在中，，点D为内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，则的长为（ ）．
A． B． C．2 D．3
9．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进16m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2021·江苏通州·二模）如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100 m，A，D，B三点在同一直线上，则A，B两点间的距离是____m．
11．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
12．（2021·江苏连云港·模拟预测）如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并分别测，，又量得，则A、B两点之间距离为____．
13．（2021·江苏如皋·二模）如图，热气球位于观测塔Р的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔Р的南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距____________km．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
14．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为______°
15．（2021·江苏·高港实验学校二模）某人沿着坡度i＝1：的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为____米．
16．（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校九年级月考）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，航程的值为__________（结果保留根号）．
17．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了__平方米．
三、解答题
18．（2021·江苏·景山中学一模）小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现:我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小,楼房的影子会最长,如果这一天正午有太阳照射,那么整年都不会有问题．
（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层,层高3米,南､北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你,你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由．（该市区所在纬度约是32.5°N,冬至日的正午太阳高度角为90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°． sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）
（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y=－60(n－15)2＋16375． 小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元,请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．
19．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
20．（2021·江苏徐州·二模）如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）
21．（2021·江苏连云港·二模）如图，甲船向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船南偏西75°方向的点B处，且乙船从B处按北偏东15°的方向航行，当甲船到达点D处时，乙船航行到甲船南偏西60°方向的点C处，此时两船相距15海里．
（1）求的度数；
（2）若甲船在D处停止不动，乙船沿着原路线继续航行至甲船的正北方E处，试求此时甲船和乙船之间的距离．（，结果精确到0.1海里）
22．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角
13°
28°
32°
0.22
0.47
0.53
0.97
0.88
0.85
0.23
0.53
0.62
23．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
24．（2021·江苏盐都·二模）吾悦广场准备在地下停车场北侧建设一个供小型货车进出的专用入口，如图，入口设计示意图中，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝300 cm，一楼到地平线的距离BC＝90 cm．经调查，送货的小型货车高度都低于268 cm，为了保证货物安全，入口处货车顶部要留有不少于20 cm的安全距离．为尽量减少施工量，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡AD的施工？
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
26．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东方向，C在A的南偏西方向处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
27．（2021·江苏泰兴·九年级期末）为了提升某片区网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为4米，求信号塔PQ的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i＝1：2.4＝5：12）
28．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内．
（1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度．
（2）将图②中的连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：）
29．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
30．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．现在将这个游戏抽象为数学问题，如图2，已知铁环的半径为30cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，，
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC=60cm，求铁环钩MF的长度．
31．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东方向航行至D处，在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD （参考数据：，，，，，）
32．（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．
33．（2021·江苏·泰州中学附属初中九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
34．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，在中，，一次函数图像过点，与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位长度的速度出发，同时，以点P为圆心的⊙P，其半径从6个单位起以每秒1个单位长度的速度缩小，设运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标及直线EG的函数表达式；
（2）在点P运动的同时，若直线EG沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上平移，当⊙P与运动后的直线EG相切时，求此时⊙P的半径；
（3）在点P运动的同时，若线段CD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，以CD为边作等边，当⊙P内存在Q点时，直接写出t的取值范围 ．
第17讲 锐角三角函数的应用（4大考点）
考点考向
一、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
二、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
三、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
四、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
五、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
考点精讲
一．解直角三角形的应用（共9小题）
1．（2022•娄底模拟）如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的长度是（ ）
A．4+米 B．4+米
C．4+4sin40°米 D．4+4cot40°米
2．（2022•镇江一模）我们常用角（如图中的∠AOB）的大小来描述一段台阶的陡缓程度，已知图中的每一级台阶的高为15.5cm，宽为27cm，则∠AOB的大小接近于（ ）
（参考数据：tan27.5°≈0.52，tan32.5°≈0.64，tan35°≈0.70，，）
A．27.5° B．30° C．32.5° D．35°
3．（2022•太仓市模拟）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝10分米，晾衣臂（OA）撑开时与支脚（OC）的夹角∠AOC＝105°，则点A离地面的距离AM为 分米．（结果保留根号）
4．（2022•宝应县一模）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，电梯最大通行高度BC为 m．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
5．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．
参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．
6．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
7．（2022•鼓楼区校级二模）小淇同学在学习了“平面镜反射原理”后，用一个小平面镜PQ做实验．他先将平面镜放在平面上，如图，用一束与平面成30°角的光线照射平面镜上的A处，使光影正好落在对面墙面上一幅画的底边C点．他不改变光线的角度，原地将平面镜转动了7.5°角，即∠PAP′＝7.5°，使光影落在C点正上方的D点，测得CD＝10cm．求平面镜放置点与墙面的距离AB．（参考数据：≈1.73）
8．（2022•沭阳县模拟）如图，一扇窗户垂直打开，即打开到OM⊥OP的状态，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时∠ODB为30°，BO的长为20cm．求滑动支架AC的长．（精确到1cm，≈1.41，≈1.73）．
9．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共10小题）
10．（2022•海陵区一模）一个斜坡的坡度是1：，则这个斜坡的坡角等于 °．
11．（2022•徐州二模）如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m处有一座房屋．（参考数据；）
（1）求∠DAB的度数；
（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？
12．（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（ ）
A．6m B．12 m C．6m D．6 m
13．（2022•无锡模拟）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．（）米 B．12米 C．（）米 D．10米
14．（2022春•江都区月考）如图，已知斜坡AC的坡度i＝1：2，小明沿斜坡AC从点A行进10m至点B，在这个过程中小明升高 m．
15．（2022•常州模拟）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为37°，则坡AB的铅直高度AH约为 m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．（2022•姜堰区二模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
17．（2022•丹阳市二模）已知一个不等臂跷跷板AB长4米，支撑柱OH垂直地面，如图1，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为；如图2，当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，则支撑柱OH的长为（ ）
A．0.5米 B．0.6米 C．米 D．0.8米
18．（2022春•崇川区校级月考）2022年北京第24届冬季奥运会刚刚圆满结束，很多学校都开展了冰雪项目学习，如图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为30°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为 米（结果保留根号）•
19．（2022•镇江模拟）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）
三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共8小题）
20．（2022•南通）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
21．（2022•通州区一模）如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若CD＝EF＝1.9m，则旗杆AB的高度是 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73）
22．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
23．（2022•镇江模拟）2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道S线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的S形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台AB、中部的大跳台腾空起点C、赛道CE、底部的看台区EF组成．为有效进行工程施工监测，现在C处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），CE赛道可近似视作坡度为1：2.4的一段坡面，通过GPS高程测量仪测得A点、E点的海拔高度差（即AH）是160米，从顶峰平台A点俯视C处的标志旗，俯角约为37°．由C处释放的遥控无人机竖直上升到与平台AB水平位置D后，遥感测得AD之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则CE赛道长度约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
24．（2022•海门市二模）狼山位于江苏南通城南的狼山风景名胜区，高不过百余米，却与南岳衡山、中岳嵩山、江西庐山、北京香山等同列“中国佛教八小名山”，是江北著名的旅游佳地．如图，亮亮同学去狼山风景区旅游时，利用无人机从A处测得狼山顶部点B的仰角为45°，测得狼山底部点C的俯角为60°，此时无人机与BC的水平距离AD长为40m，那么亮亮同学测得狼山的高度BC约为 m（结果保留整数，≈1.73）．
25．（2022•如东县一模）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，若这栋楼的楼高BC＝100m，则热气球A与该楼的水平距离为 m（结果保留根号）．
26．（2022春•邗江区校级月考）为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是 ．（结果保留根号）
27．（2022•姑苏区校级一模）如图，有一宽为AB的旗子，小明在点D处测得点B的仰角为60°，随后小明沿坡度为i＝1：的斜坡DE走到点E处，又测得点A的仰角为45°．已知DC＝6米，DE＝4米，求（1）E点到地面DC的距离；（2）旗子的宽度AB．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
四．解直角三角形的应用-方向角问题（共9小题）
28．（2022•工业园区校级一模）一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行60海里到达C处时突然发生故障，位于港口A正东方向的B处的救援艇接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达C处所用的时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
29．（2022•淮阴区模拟）如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上，继续航行1.5小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向，避风港M在北偏东53°方向上．求此时渔船离避风港的距离BM．（参考数据：tan22°≈0.40，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
30．（2022春•亭湖区校级月考）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 km．
31．（2022•徐州一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是 海里．
32．（2022•东海县二模）如图轮船从岛M向岛N行驶，岛M位于码头A的正南方向80海里处，在M处测得码头B在M的北偏西45°方向上，轮船行驶60海里到达岛N，此时测得岛M在岛N的北偏东63°方向上，码头C在N的北偏西30°方向上，已知码头B，C都在码头A的正西方向，求码头B与码头C之间的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，≈1.73）
33．（2022•东海县一模）如图，一艘渔船位于观测站A的北偏东53.2°方向的点B处，它沿着点B的正南方向航行，航行15海里后，观察站A测得该渔船位于南偏东63.4°方向的点D处．
（1）求证：BD＝BA；
（2）若渔船从点D处继续按着原方向航行海里后到达点C时突然发生事故，渔船马上向观测站A处的救援队求救，问救援队从A处出发沿着哪个方向航行到达事故地点C的航程最短？
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）
34．（2022•兴化市二模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东20°方向，然后向西走35米到达C点，测得点B在点C的北偏东45°方向．
（1）求∠CBA的度数；
（2）求这段河的宽度约为多少米．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
35．（2022•惠山区校级二模）如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点A到军港C的距离；
（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达点A′时，测得军港B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
36．（2022•鼓楼区校级一模）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）
巩固提升
一、单选题
1．（2021·江苏崇川·九年级期末）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A．h·sinα B．h·cosα
C． D．
2．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
3．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·盐城市初级中学九年级期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏苏州·九年级专题练习）“大金鹰”雕塑雄居在重庆南山的鹞鹰岩上，水泥浇铸，外敷金箔，内没通道，游客可以直登鹰的头部，上设有观景台，凭栏远跳，重庆临江两岸景物尽收眼底．小南游览时对大金鹰雕塑“身高”突发兴趣，决定利用所学的三角函数的知识测量大金鹰的高度（即示意图中的线段长度）．他先在景区入口处观测到“大金鹰”顶部观景台的仰角是，然后他沿着水平步道前行23.8米后到达坡度的斜坡梯道起点处，拾级而上抵达处后，他一鼓作气直上登临观景台处，在观景台处俯视斜坡梯道起点时，发现此时俯角恰好是，图中点同一平面内，小南通过计算得出大金鹰雕塑“身高”约为（ ）米．（小南身高忽略不计，结果精确到1米，参考数据：．）
A．31 B．32 C．33 D．34
6．（2021·江苏苏州·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（ ）
A．cm B．cm C．27cm D．54cm
7．（2021·江苏·苏州市南环实验中学校二模）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至B地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（ ）．（结果保留根号，参考数据：，，）
A． B． C． D．
8．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学九年级月考）如图，在中，，点D为内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F，则的长为（ ）．
A． B． C．2 D．3
9．（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进16m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2021·江苏通州·二模）如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100 m，A，D，B三点在同一直线上，则A，B两点间的距离是____m．
11．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
12．（2021·江苏连云港·模拟预测）如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者在湖边找到一点C，并分别测，，又量得，则A、B两点之间距离为____．
13．（2021·江苏如皋·二模）如图，热气球位于观测塔Р的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔Р的南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距____________km．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
14．（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为______°
15．（2021·江苏·高港实验学校二模）某人沿着坡度i＝1：的山坡走到离地面25米高的地方，则他走的路程为____米．
16．（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校九年级月考）如图，一海轮位于灯塔的西南方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，航程的值为__________（结果保留根号）．
17．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了__平方米．
三、解答题
18．（2021·江苏·景山中学一模）小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现:我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小,楼房的影子会最长,如果这一天正午有太阳照射,那么整年都不会有问题．
（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层,层高3米,南､北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你,你将建议父母选择第几层以上？说明你的理由．（该市区所在纬度约是32.5°N,冬至日的正午太阳高度角为90°﹣32.5°﹣23.5°＝34°． sin34°≈0.6,cos34°≈0.8,tan34°≈0.7）
（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y=－60(n－15)2＋16375． 小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元,请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．
19．（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
20．（2021·江苏徐州·二模）如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）
21．（2021·江苏连云港·二模）如图，甲船向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船南偏西75°方向的点B处，且乙船从B处按北偏东15°的方向航行，当甲船到达点D处时，乙船航行到甲船南偏西60°方向的点C处，此时两船相距15海里．
（1）求的度数；
（2）若甲船在D处停止不动，乙船沿着原路线继续航行至甲船的正北方E处，试求此时甲船和乙船之间的距离．（，结果精确到0.1海里）
22．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角
13°
28°
32°
0.22
0.47
0.53
0.97
0.88
0.85
0.23
0.53
0.62
23．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
24．（2021·江苏盐都·二模）吾悦广场准备在地下停车场北侧建设一个供小型货车进出的专用入口，如图，入口设计示意图中，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝300 cm，一楼到地平线的距离BC＝90 cm．经调查，送货的小型货车高度都低于268 cm，为了保证货物安全，入口处货车顶部要留有不少于20 cm的安全距离．为尽量减少施工量，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡AD的施工？
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
26．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东方向，C在A的南偏西方向处，学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
27．（2021·江苏泰兴·九年级期末）为了提升某片区网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为4米，求信号塔PQ的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i＝1：2.4＝5：12）
28．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内．
（1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度．
（2）将图②中的连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：）
29．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
30．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．现在将这个游戏抽象为数学问题，如图2，已知铁环的半径为30cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，，
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC=60cm，求铁环钩MF的长度．
31．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东方向航行至D处，在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD （参考数据：，，，，，）
32．（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级月考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，，，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．
33．（2021·江苏·泰州中学附属初中九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是边AB上一点．
（1）如图①，作△ADE的外接圆交DC于F．求证：四边形AEFD是矩形；
（2）将△ADE沿着DE翻折至△GDE，点A与点G重合，且点G落在边BC上．
① 如图②，若AD＝10，求AE的长；
② 如图③，当点G是BC的中点时，求AD的长．
34．（2021·江苏江阴·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，在中，，一次函数图像过点，与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位长度的速度出发，同时，以点P为圆心的⊙P，其半径从6个单位起以每秒1个单位长度的速度缩小，设运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标及直线EG的函数表达式；
（2）在点P运动的同时，若直线EG沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上平移，当⊙P与运动后的直线EG相切时，求此时⊙P的半径；
（3）在点P运动的同时，若线段CD沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，以CD为边作等边，当⊙P内存在Q点时，直接写出t的取值范围 ．
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