苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.2 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（基础篇）（专项练习）（附答案）

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专题7.2 锐角三角函数 正弦 余弦与正切（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　A．0.4 B．0.5 C． D．0.62．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（　　）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（    ）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（    ）A．4 B．6 C．8 D．25．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么sin∠BAC的值为（    ）A． B． C． D．6．若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（    ）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°7．如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于（    ）A． B． C． D．8．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是(       )A．＜tanα＜ B．＜tanα＜C．＜tanα＜ D．＜tanα＜9．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ）A．3 B． C． D．10．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（    ）A． B． C． D．二、填空题11．比较大小：______（填“”“”）．12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，，AB＝10，AC＝6，则BC的长为_____．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则的正弦值为______________．14．如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin∠BAC的值等于_____．15．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．16．如图，在矩形中，点在边上，于点，若，，则的值为________．17．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．18．如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，；……依此类推，当（为正整数）时，_____．三、解答题19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．20．如图，在△ABC中（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．21．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，求tanB'的值．22．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE，（1）求证：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1) 求证：四边形AEBF是菱形；(2) 若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图象交于、两点，点为线段的中点，且；(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；(2) 点关于原点的对称点为点，连接、，求的面积；(3) 请直接写出的解集．参考答案1．D【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可．解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故选：D．【点拨】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．C【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．解：，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+(4x)2＝(5x)2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键．3．C【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，再利用勾股定理，求得AD的长，那么在直角△ABD中根据三角函数的定义求出tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是tan∠BDE=tan∠BAD．解：连接AD，∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BDBC＝6，∴AD，∴tan∠BAD．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴tan∠BDE=tan∠BAD，故选：C．【点拨】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．4．C【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴点B的坐标为（2，4），∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，∴，故选C．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标．5．C【分析】过点C作CM⊥AB于M，利用等面积法求出CM，然后利用正弦是定义求解即可．解：如图，过点C作CM⊥AB于M，由题意得，，，即，解得，．故选：C．【点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6．B【分析】，，由此判断得到正确答案．解：∵，， ∴∴ 故选：【点拨】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．7．A【分析】先利用正方形的性质得到BD=2，再根据旋转的性质得=BD=2，根据勾股定理计算的长，然后利用三角函数的定义即可求解．解：∵正方形ABCD的边长为2，∴BD==2，∵线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的处，∴=BD=2，在Rt△中，=．∴．故选：A．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和三角函数的定义．8．C【分析】根据特殊角的三角函数值，及正切函数随角度的增大而增大解答．解：∵tan30°=，tan60°=，30°＜α＜60°，∵当0°＜α＜90°，tanα随α的增大而增大，∴＜tanα＜．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．9．D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．解：连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将沿折叠得到∴与关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选 D【点拨】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．10．D【分析】过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，先求出AE，然后根据已知证得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，从而证得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入数据解答即可．解：如图，过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，则在△ABE中，，，，∵∠ABE＝∠ACD＝90°，∴△ABE∽△ACD，，∴∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，，即，，，即BD的最大值为．故选：D．【点拨】本题考查了锐角三角形的应用、三角形相似的判定及性质，解题的关键是灵活运用锐角三角函数知识并根据题意正确添加辅助线．11．【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．解：∵．在锐角范围内，随的增大而增大，∴，∴．故答案为：＜．【点拨】本题考查三角函数值的大小比较，利用正弦余弦的关系进行大小比较即可．12．##【分析】在Rt△ACD中，利用，可求CD，利用勾股定理求得AD，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得BD，则BC=CD+BD，结论可得．解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°．∵，∴∴．∴．在Rt△ADB中，．∴BC=CD+BD=3+．故答案为：3+．【点拨】本题主要考查了解直角三角形．选择合适的直角三角形利用边角关系和勾股定理求出线段的长度是解题的关键．13．【分析】根据题意得出，利用求出，再利用勾股定理求出，在根据正弦的定义：对边比斜边即可得解．解：∵，∴，∴，由题意得：，∴，∴∴；故答案为：．【点拨】本题考查求角的正弦值．熟练掌握正弦的定义：，是解题的关键．14．【分析】利用CDAB，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，可得sin∠ACD==，从而可得答案．解：如图：∵CDAB，∴∠BAC＝∠DCA．∵同圆的半径相等，∴AC＝AB＝3．在中，sin∠ACD＝．∴sin∠BAC＝sin∠ACD＝．故答案为：．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．15．解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a==5，∵PH⊥x轴于H，∴PH=5，OH=12，∴tan∠POH=，故答案为．16．【分析】先证得△ABE≌△FCB，可得BE=BC=2，AE=BF，再证得△ABF∽△EBA，可得，然后由勾股定理可得，即可求解．解：在矩形中，∠BAE =90°，AE∥BC，AD=BC=2，∴∠CBF=∠AEB，∵，∴∠BFC=∠BAE=90°，∵，∴△ABE≌△FCB，∴BE=BC=2，AE=BF，∵∠AFB=∠BAE=90°，∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴．故答案为：【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．17．1【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．解：解：连接，由网格可得 ，，即，∴为等腰直角三角形，∴，则，故答案为1.【点拨】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．18．【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，，，中的中间一个．∴.故答案为．【点拨】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.19．．【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可．解：由勾股定理得，，所以，答：．【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．20．(1)见分析;(2)【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的一半长为半径画弧，两弧交于两点，再过两点画直线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根据余弦定义可求解．解：（1）如图所示，直线DE即为所求；（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝＝＝．【点拨】本题考查基本作图，三角函数定义，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．21．tanB'＝【分析】根据旋转的性质得tanB'＝tanB即可求出tanB'的值.解：根据旋转的性质可得：∠B＝∠B′，∴tanB'＝tanB．∵tanB＝，∴tanB'＝．【点拨】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知三角函数的定义.22．（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠AEB．再结合一对直角相等即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．解：(1)在矩形中，，．，,．．(2)由(1)知．．在直角中，，．在Rt中，，．23．(1)见分析(2)【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；（2）先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC =8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．（1）解：∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形；（2）解：∵四边形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴．【点拨】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．24．(1)一次函数的解析式为y1=−2x−2；反比例函数的解析式为y2=；(2)△ABE的面积为6；(3)的解集为：-2＜x＜0或x>1．【分析】（1）先求得点C的坐标，利用tan∠ACO=，求得点D的坐标，利用待定系数法可求得一次函数的解析式；利用点D为线段AC的中点，求得点A的坐标，再利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；（2）求得CE的长以及点B的坐标，利用三角形面积公式即可求解；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．（1）解：令x=0，则y=-2，∴点C的坐标为(0，-2)，OC=2，∵tan∠ACO=，∴，∴OD=1，∴点D的坐标为(-1，0)，把(-1，0)代入y1=k1x−2得：0=-k1−2，解得k1=−2，∴一次函数的解析式为y1=−2x−2；∵点D为线段AC的中点，∴点A的坐标为(-2，2)，把(-2，2)代入y2=得：k1=−4，∴反比例函数的解析式为y2=；（2）解：点C关于原点的对称点为点E的坐标为(0，2)，∴AE∥x轴，且AE=2，联立：−2x−2，解得：，∴点B的坐标为(1，-4)，∴△ABE的面积为：AE×(yA-yB)=6；（3）解：∵点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(1，-4)，∴的解集为：-2＜x＜0或x>1．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式等，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．