苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题7.5 特殊角的三角函数（专项练习）（附答案）

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专题7.5 特殊角的三角函数（专项练习）一、单选题1．tan45°＝（　　）A．1 B． C． D．2．下列三角函数的值是的是（    ）．A． B． C． D．3．点关于y轴对称的点的坐标是（    ）．A． B．C． D．4．已知，则锐角α的度数是（    ）A．60° B．45° C．30° D．75°5．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（    ）A． B． C． D．6．关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（   ）A． B． C． D．7．若，则ABC的形状是（    ）A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形8．在实数，x0（x≠0），cos30°，中，有理数的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，，平分，交于，交于．若，则等于（    ）A．5 B．4 C．3 D．210．如果∠A为锐角，cosA＝，那么∠A 取值范围是（    ）A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45° C．45°<∠A<60° D．60°＜∠A＜90°二、填空题11．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是______．  13．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．14．如图，平行四边形的边在轴正半轴上，，，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象经过点，则________．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，OE⊥CD于点E，则OE的长为 __．16．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．17．如图，在矩形ABCD中，，，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为___________________．18．如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____．三、解答题19．计算：(1) ； (2) ．20．计算(1) ；(2) ．21．计算与化简题(1) 计算：(2) 先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．23．四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接EF，DF．（1）如图1，求∠BDF的度数；（2）如图2，当DB＝3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF是菱形，并说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；参考答案1．A【分析】根据直角三角形中45°角的正切值计算并判断即可．解：tan45°＝1，故选：A．【点拨】本题考查直角三角形中45°角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键．2．A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．解：A、＝，符合题意；B、＝，不符合题意；C、＝，不符合题意；D、＝，不符合题意；故选A．【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．3．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．解：∵sin60°＝，cos30°＝，∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．故选：C．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．4．A【分析】根据得到即可求解．解：∵，为锐角，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5．B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．解：∵∠C=90°，AB=，BC=1，∴sinA=，∴∠A=45°．故选：B．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．6．B【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可．解： ，故选：B．【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键．7．A【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．解：解∶∵，∴，解得：，∴，∴∠C=90°，∴ABC是含有60°直角三角形．故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．8．B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．解：在实数，x0（x≠0）=1，，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B．【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．9．B【分析】过D点作DG⊥AC于G点，通过DF⊥AB，DE⊥DF，可得，进而有∠BAD=∠ADE，∠DAE=∠ADE=15°，即可得AE=DE=8，易证得，即可求解DF=DG=4．解：过D点作DG⊥AC于G点，如图，∵AD平分∠BAC，∠BAC=30°，∴∠BAD=∠CAD=15°，又∵DF⊥AB，DE⊥DF，∴，∠AFD=∠AGD=90°，∴∠BAD=∠ADE，∴∠DAE=∠ADE=15°，∴△AED是等腰三角形，∴AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，在Rt△DEG中，有，∴DG=4，∵∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴，∴DF=DG=4，故选：B．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键．10．C【分析】分别求出60°和45°角的余弦值，由此得到答案．解：∵cos60°＝，cos45°＝，且∴45°＜∠A＜60°．故选C．【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键．11．解：∵OA=OB=AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．故答案是：．12．1【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．解：连接AB，由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，∴AB＝AO，，∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，∴，故答案为：1．【点拨】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．13．或或【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可．解：当BE=PE时，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，∵ BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=．当PB=PE时，根据前面计算，得到BH=PH=3，∴BH=HE=3，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，∴CQ=，∵ BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=．当BP=BE时，∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，∵ BC=10，∴AC=BCsin45°=，∴AQ=AC-QC=，综上所述AQ的长为或或，故答案为：或或．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．14．4【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D的坐标即可求解；解：如图，过点D作DE⊥AB将y=0代入y=x-4中记得x=4∴A(4，0)在平行四边形ABCD中，∵∠OAD=∠CBA∴∵AD=BC=5∴DE=4，AE=3∴OE=OA-AE=4-3=1∴D（1，4）∴故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．15．【分析】连接OB，由菱形的性质得BC＝AB＝8，BO⊥AC，再由等腰三角形的性质得∠ACB＝∠ACD＝30°，然后由锐角三角函数定义求出OC＝4，最后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：连接OB，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，∴BC＝AB＝8，BO⊥AC，∴∠ACB＝∠ACD（180°﹣120°）＝30°，在Rt△BOC中，OC＝cos30°•BC8＝4，∵OE⊥CD，∴∠CEO＝90°，在Rt△COE中，OEOC42，故答案为：2．【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．16．．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直线BD的距离为．故答案为：．【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．17．【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案．解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形，，， 即的最小值为 故答案为： 【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识．18．2或或．【分析】分、、三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．解：如图：∵，∴当时，，当时，∵，∴，∴，当时，∵，∴，故答案为2或或．【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．19．(1)2 (2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题．（1）解：原式＝31+21+12；（2）解：原式＝1．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．20．(1)；(2)【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得．（1）解：原式．（2）解：原式．【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．(1)(2)，【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值．(1)解：原式＝；(2)；；原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．(1)1.2或3； (2)存在，或4【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；（2）存在     ①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，∴sinA=，即sin60°==，∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，由（6-）●=，得（不合题意，舍去），； ②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，如图，过点P作PF⊥AB于点F，在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，∴sinB=，即sin60°==，∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，由（6-）●=得    因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．23．（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析【分析】（1）先证明可得再证明 从而可得答案；（2） 先证明 再证明 从而可得结论；（3）先证明 结合 可得 从而可得答案.【详解】解（1） 四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，,由旋转可得： 又∵四边形ABCD是菱形， 又∵四边形ABCD是菱形， （2）由（1）可得： 由（1）可得： 是直角三角形， 由菱形的对称性可得： 而 四边形为矩形.（3） 理由如下：如图， 四边形是菱形， 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）【分析】（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，∴，得，即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x==1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，则点H的坐标为（1，0），∴BH=2，∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，∴OC′==2，cos∠C′BH===，∴C′的坐标为（1，2），∠C′BH=60°，∴∠DBC=30°，∵BH=2，∠DBH=30°，∴OD=BH•tan30°=2×=，∴点D的坐标为（1，），由上可得，点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．