苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题8.1 统计和概率的简单应用（例题讲解）（附答案）

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专题8.1 统计和概率的简单应用（例题讲解）【类型一】中学生视力情况调查1．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；（3）用样本估计总体的思想解决问题；（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．解：（1）这次被调查的学生人数为（名；（2）喜爱“体育”的人数为（名，补全图形如下：（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；（4）列表如下：所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．举一反三：【变式1】为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．【分析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，∵有3家，有7家，有8家，∴中位数落在上，∴；（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则至少为13个，∴；（3）由题意得：（百万元）；答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．【点拨】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查，熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键．【变式2】随机调查某城市30天空气质量指数（），绘制成如下扇形统计图．（1）____， ______；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有_____天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有_____天为中．【答案】（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，110【分析】（1）根据扇形统计图中优的圆心角的度数即可求出m的值，再用总数减去优，良，中的天数即可求出n的值；（2）用良的天数除以总数即可得到答案；（3）用差的占比乘以360度即可；（4）要先算出样本中有9天AQI为中，再估测该城市中一年（以365天计）中大约有110天AQI为中．解：（1）根据题意得， 所以， 故答案为：4，2；（2）良的占比为： （3）差的圆心角= （4）根据统计表，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市中一年（以365天计）中大约有（天）故答案为：9，110【点拨】本题主要考查利用统计表处理数据的能力，和利用样本估计总体的思想，解答这类题目观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．【类型二】货比三家2．某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10；（1）填空：＝________，＝________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．【答案】（1）＝8， ＝8；（2）见解析；（3）700人；（4）图表见解析，【分析】（1）根据中位数的定义：可以直接从所给数据求得，从所给条形图分析解决；（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；（4）根据题意列表，然后求出所有的等可能的结果数，然后求出恰好每个年级都有一个的结果数，然后计算即可.解：（1）由题意可知：＝8， ＝8；（2）七年级学生的党史知识掌握得较好，理由如下：∵七年级和八年级的平均数相同，但是七年级的优秀率大于八年级的优秀率∴七年级学生的党史知识掌握得较好；（3）从现有样本估计全年级，七年级达到优秀的人数可能有500人×80%＝400人，八年级达到优秀的人数可能有500人×60%＝300人，所以两个年级能达优秀的总人数可能会有700人；（4）把七年级的学生记做A，八年级的三名学生即为B、C、D，列表如下：由表知，一共有12种等可能性的结果，恰好每个年级都有一个的结果数是6，两人中恰好是七八年级各1人的概率是 ．【点拨】本题主要考查了统计与概率，用样本估计总体，列表或画树状图求概率，中位数的定义等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三：【变式1】2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ；（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．【答案】（1）③；17％；（2）见解析【分析】（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；利用达到9小时的学生数除以500即可得出其所占百分比；（2）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可．解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；∵达到9小时睡眠的人数为85人，∴其所占百分比为：；故答案为：③；17％．（2）该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时．建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）．【点拨】本题考查了统计的应用，涉及到了中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议等内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力．【变式2】小聪、小明参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测试．根据他们集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．根据图中信息，解答下列问题：这5期的集训共有多少天？哪一期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多？进步了多少秒？根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，简要说说你的想法．【答案】(1)55天(2)第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒(3)个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可）【分析】（1）根据图中的信息可知这5期的集训各有多少天，求出它们的和即可；（2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步时间可由折线统计图计算；（3）根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．解：（1）∵（天）．∴这5期的集训共有55天．（2）由折线统计图可得第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了（秒），∴第3期小聪的成绩比他上一期的成绩进步最多，进步了0.2秒．（3）个人测试成绩与很多因素有关，如集训时间不是越长越好，集训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下降；集训的时间为10天或14天时，成绩最好等．（言之有理即可）【点拨】本题考查条形统计图、折线统计图、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【类型三】统计图帮你预测3．某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：（1）求的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？【答案】（1）6   （2）1440人【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果．（1）解：由题意得：解得（2）解：（人）答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人.【点拨】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键．举一反三：【变式1】某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ；依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．【答案】（1）60，108°；（2）336；（3）【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．解：（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人），最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人），扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°，故答案为：60，108°；（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）；（3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种，故所求概率P==．【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键．【变式2】为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行测试，将这些学生的测试成绩（x）分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并绘制成以下两幅统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是______；（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．【答案】（1）5%；（2）所抽取学生测试成绩的平均分79.8（分）；（3）估算出该校九年级学生中优秀等级的人数为200人．【分析】（1）用100%减去优秀，良好，和及格部分对应的百分比；（2）利用加权平均数的方法计算即可；（3）先算出抽取的总人数，再算出抽取人数中优秀的人数，再除以10%可得结果.解：（1）由题意可得：100%-50%-20%-25%=5%，∴在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是5%；（2）由题意可得：90×50%+78×25%+66×20%+42×5%=79.8（分），∴所抽取学生测试成绩的平均分为79.8分；（3）∵不及格学生的人数为2人，∴2÷5%×50%÷10%=200（人），∴该校九年级学生中优秀等级的人数为200人.【点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图，加权平均数，样本估计总体，解题的关键是从图表中获取信息，正确进行计算.【类型四】概率帮你统计4．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？【答案】（1）；（2）纸箱中白球的数量接近36个．【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；（2）设纸箱中白球的数量为个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．解：（1）由题意得：，答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；（2）设纸箱中白球的数量为个，由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为，则，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，答：纸箱中白球的数量接近36个．【点拨】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．举一反三：【变式1】有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是　 　．（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．【答案】(1) ；(2)见解析【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可．解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；故答案为；（2）游戏不公平，理由如下：列表得：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即∴（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形），∴游戏不公平．修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【变式2】某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩作了统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数、频率统计表中，a=　 　；b=　 　；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？【答案】（1）8；0.08；（2）补充频数分布直方图见解析；（3）40%解：（1）8；0.08． （2）补充频数分布直方图如图所示：（3）该同学成绩不低于80分的概率是：0.32+0.08=0.40=40%．（1）a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8，b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08．（2）由（1）a=8补充频数分布直方图．（3）用不低于80分的频率相加即可．甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）平均数中位数甲城市10.8乙城市11.011.5空气质量等级空气质量指数（）频数优m良15中9差nABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）调查问卷1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时．如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选）A．校内课业负担重  B．校外学习任务重  C．学习效率低   D．其他等级非常了解比较了解基本了解不太了解人数（人）247218分组49.5～59.559.5～69.569.5～79.579.5～89.589.5～100.5合计频数2a2016450频率0.040.160.400.32b1