第07讲 等可能条件下的概率（3大考点）-九年级数学考试满分全攻略（苏科版）

第07讲 等可能条件下的概率（3大考点）

一．可能性的大小

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（1）理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．

（2）实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．

二．概率公式

（1）随机事件A的概率P（A）＝．

（2）P（必然事件）＝1．

（3）P（不可能事件）＝0．

三．几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度

简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

一．可能性的大小（共3小题）

1．（2022•广陵区一模）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（　　）

A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下

2．（2022春•武进区期中）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．10

3．（2022•镇江模拟）A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案：

A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车．

如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题：

（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？

（2）你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？

二．概率公式（共7小题）

4．（2022•淮阴区校级一模）下列说法中，正确的是（　　）

A．为检测我校是否有学生感染新冠病毒，进行核酸检测应该采用抽查的方式 

B．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 

C．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 

D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件

5．（2022春•淮阴区期末）在﹣2、﹣1、0、1、2这五个数中随机取出一个数，取出的数是1的概率为 　   　．

6．（2022•海陵区二模）某数学研究小组为了解各类危险天气对航空飞行安全的影响，从国际航空飞行安全网提供的近百年飞行事故报告中，选取了650起与危险天气相关的个例，研究小组将危险天气细分为9类：火山灰云（A），强降水（B），飞机积冰（C），闪电（D），低能见度（E），沙尘暴（F），雷暴（G），湍流（H），风切变（I），然后对数据进行了收集、整理、描述和分析，相关信息如下（以下数据来源于国际航空飞行安全网）：

信息一：各类危险天气导致飞行事故的数量统计图1；

信息二：C类与E类危险天气导致飞行事故的月频数统计图2；

根据以上信息，解决下列问题：

（1）根据以上信息分析可知，　   　类危险天气导致飞行事故发生的概率虽然最小，但破坏性极强；（填写字母）

（2）近百年来飞机发生重大事故数量占事故总数的 　   　%；（横线上的数精确到0.01）

（3）记C类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，记E类危险天气导致飞行事故的月频数方差为，则　   　；（填“＞”、“＝”或“＜”）

（4）请结合图1和图2的相关信息，给某航空公司提供一条关于预防飞行事故发生的具体措施．

7．（2022•高邮市模拟）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．先从袋子中取出m（0＜m≤4）个红球，再放入n个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是0.8，则m与n的关系为 　   　．

8．（2022•太仓市模拟）一个不透明的口袋中放入3个红球，2个黑球，它们除颜色外其他均相同．摇匀口袋后随机摸取一个小球是红球的概率为 　   　．

9．（2022•射阳县一模）袋中装有9个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸出一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有 　   　个．

10．（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D．

（1）快递包装纸盒应投入 　   　垃圾箱；

（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是 　   　；

（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为D）随机投放，求她投放正确的概率．

三．几何概率（共10小题）

11．（2022•徐州）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）

A． B． C． D．

12．（2022•苏州）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　）

A． B． C． D．

13．（2022•丰县二模）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是 　   　．

14．（2022•姜堰区二模）如图，一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格，假设飞镖击中每块小正方形是等可能的（若没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是 　   　．

15．（2022•苏州一模）如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 　   　．

16．（2022•工业园区模拟）如图，若随机向8×8正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

17．（2022•兴化市一模）如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．

18．（2022•亭湖区校级一模）为积极配合学校防疫工作，小明在纸上打印面积为100cm2的正方形核酸采样码，若黑色部分的总面积为70cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 　   　．

19．（2022•工业园区校级模拟）汉代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 　   　．

20．（2022•苏州模拟）小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 　   　．

一、单选题

1．（2021·江苏）某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，恰好是男生的概率是（   ）

A． B． C． D．

2．（2021·江苏九年级期末）三（1）班有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6

3．（2021·江苏海门市·九年级期末）一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外其它都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的概率是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·江苏海门市·九年级期中）一个口袋中装有2个红球，m个绿球，n个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出一个球是红球的概率是，则m＋n的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题

5．（2021·江苏泰兴市·九年级期末）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．

6．（2021·江苏玄武区·九年级期中）一个不透明的袋中装有6个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A，摸出的球不是黄球记为事件B，若P（A）＝2P（B），则m与n的数量关系是________．

7．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．

三、解答题

8．（2021·沭阳县修远中学九年级月考）4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆．将印有图案的一面朝下，混合均匀．

（1）从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为　   　；

（2）从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率．

9．（2021·江苏苏州工业园区·）某电影院有A、B、C三个不同出口，可随机选择其中的一个离场．

（1）离场时，小马选择A出口的概率是________；

（2）若小马与小明一起去看电影，请用列表或树状图的方法求出他们选择不同出口离场的概率．

10．（2021·江苏海门市·九年级期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，请用画树状图法求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：

（1）三辆车全部直行；

（2）恰好只有两辆车向左转．

11．（2021·江苏九年级期末）三张外形、质地相同的纸片，上面分别写着“都”、“梁”、“阁”三字．从三张纸片中分三次每次腿机抽取一张（抽取后不放回），依次放在桌上排列．

（1）第一次抽到“阁”字的概率为　 　；

（2）用画树状图或列表等方法求三张纸片恰好组成“都梁阁”的概率．

12．（2021·江苏镇江·中考真题）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．

13．（2021·江苏海门市·九年级期中）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表：

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　 　；n＝　 　；p＝　 　；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于　 　度；

（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？

（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．

14．（2021·江苏九年级期中）有三张正面分别标有数字1，2，3的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为　 　；

（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于5的概率．

15．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．

（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出的球中有红球的概率（用树状图或列表法）；

（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出的球中有红球的概率是      （用含n的代数式表示）．

16．（2021·连云港市新海实验中学）阅读对话，解答问题：

（1）试用树状图或列表法写出满足关于x的方程的所有等可能结果；

（2）在（1）中方程有两个实数根的概率是           ．

17．（2021·苏州高新区第五初级中学校）为了培养学生的读书兴趣，进而养成终身阅读的良好习惯，最新语文统编教材在七至九年级安排了必读名著及选读名著书目，其中在九年安排的必读篇目为《艾青诗选》，《水浒传》、《儒林外史》、《简爱》，为了了解学生对这几本名著的喜爱情况，某校语文老师李老师在自己所教的九年级5班进行了调查，被调查的学生必须从《艾青诗选》（记为A），《水浒传》（记为B）、《儒林外史》（记为C）、《简爱》（记为D）中选择自己最喜爱的一本名著，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数；

（3）若2021年中考名著考查篇目将从九年级必读的四本名著中随机选取两本，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到《水浒传》和《简爱》的概率．

18．（2021·江苏苏州工业园区·九年级月考）春节期间，波波和小言相约一起看贺岁片，两人了解到，《唐人街探案3》、《你好，李焕英》、《新神榜：哪吒重生》、《熊出没·狂野大陆》等多部影片上映，而且票房均已过亿，两人准备从这四部电影中选一部观看．将《唐人街探案3》表示为A，《你好，李焕英》表示为B，《新神榜：哪吒重生》表示为C，《熊出没·狂野大陆》表示为D．

（1）波波去看《新神榜：哪吒重生》的概率是__________；

（2）波波和小言制作了一个如图所示的转盘（整个圆盘被平均分成了4份），两人分别转动转盘一次，如果指针转到相同的区城，那他们就看这个区域所代表的电影．请用树状图或列表法表示两人观看同一部电影的概率是多少？

19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级月考）一个不透明的布袋里装有6个白球，2黑球和若干个红球．它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．

（1）布袋里红球的个数________；

（2）小亮和小丽将布袋中的白球取出5个，利用剩下的球进行摸球游戏．他们约定：先摸出1个球后不放回，再摸出1个球，若两个球中有红球则小亮胜，否则小丽胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．

20．（2021·江苏泰兴市·九年级期末）不透明的口袋里装有红、黄两种颜色的小球（除颜色不同外，其它都相同），其中红球2个，现在从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为．

（1）求袋中有几个黄球？

（2）第一次摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．

21．（2021·江苏玄武区·九年级期中）甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看．

（1）甲同学选择《夺冠》的概率是　              　；

（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率．

22．（2021·江苏南通市·南通田家炳中学九年级）某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A “立定跳远”、B “掷实心球”、C “耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．

（1）请用列表或树状图，求甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率；

（2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：

7，6，8，9，10，5，8，7

①这组成绩的中位数是_________，平均数是________；

②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C “耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为________；

（3）九（1）班有50名学生，下表是单项目成绩统计，请计算出该班此次体能测试的平均成绩

23．（2021·连云港市新海实验中学）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．

（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；

（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．

24．（2021·无锡市天一实验学校九年级月考）车辆经过江阴大桥收费站时，个收费通道、、、中，可随机选择其中的一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，选择通道通过的概率是          ；

（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）．

25．（2021·江苏高港区·高港实验学校九年级）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．

（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　       ；

（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．