高考数学一轮复习课时质量作业(四十三)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(四十三)含答案，共7页。试卷主要包含了已知数列等内容，欢迎下载使用。

1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项和S100等于( )
A．200B．－200
C．400D．－400
B 解析：S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
2．(2024·曲靖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，设a1＝12，anan＋1＝an－1，则S2 024＝( )
A．12B．32
C．2 0212D．1 012
C 解析：由题可知anan＋1＝an－1，an≠0，得an＋1＝an－1an.
又a1＝12，得a2＝12－112＝－1，a3＝－1－1－1＝2，a4＝2－12＝12，a5＝12－112＝－1，
故数列{an}是以3为周期的周期数列．
因为2 024÷3＝674……2，则S2 024＝674(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝2 0212.
3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n＝( )
A．13B．10
C．9D．6
D 解析：由an＝2n－12n＝1－12n，得
Sn＝1－12+1－14+1－18＋…＋1－12n
＝n－12+14+18+…+12n＝n－121－12n1－12＝n－1＋12n.
令n－1＋12n＝32164，即n＋12n＝38564，解得n＝6.
4．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n+1an＝2，则其前100项和Sn等于( )
A．250B．200
C．150D．100
D 解析：由题知当n为奇数时，an＋an＋1＝2，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝2×50＝100.
5．已知函数y＝f (x)满足f (x)＋f (1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f (0)＋f 1n＋f 2n＋…＋f n－1n＋f (1)，则数列{an}的前20项和为( )
A．230B．115
C．110D．100
B 解析：an＝f (0)＋f 1n＋f 2n＋…＋f n－1n＋f (1)①，
an＝f (1)＋f n－1n＋f n－2n＋…＋f 1n＋f (0)②，
又因为f (x)＋f (1－x)＝1，①＋②，得2an＝n＋1，所以an＝n+12.
所以{an}的前20项和为S20＝a1＋a2＋…＋a20＝22+32＋…＋212＝20×1＋20×192×12＝115.
6．(多选题)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＋b2＝7，a3＋b3＝13.记cn＝an，n为奇数，bn，n为偶数，数列{cn}的前n项和为Sn，则( )
A．an＝2n－1
B．bn＝2n
C．S9＝1 409
D．S2n＝2n2－n＋43(4n－1)
ABD 解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q≠0)．
由题意得1+d+2q=7，1+2d+2q2=13，解得d=2，q=2，
所以an＝2n－1，bn＝2n，故A，B正确．
c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，所以数列{cn}的前2n项和S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝n1+4n－32+41－4n1－4＝2n2－n＋43(4n－1)，S9＝S8＋a9＝385，故C错误，D正确．
7．已知数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，则a12+a22+a32+…+a82＝________．
1 020 解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝2，a3＝4，
所以q2＝a3a1＝2，所以an2＝(a1qn－1)2＝4×(q2)n－1＝4×2n－1＝2n+1，所以a12+a22+a32+…+a82＝4×1－281－2＝1 020.
8．数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝bn+1bn＝2，n∈N*，则数列"{b_(a_n ) " }的前n项和为________．
13(4n－1) 解析：因为an＋1－an＝bn+1bn＝2，a1＝b1＝1，所以数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1.
数列"{b_(a_n ) " }的前n项和为ba1+ba2+…+ban＝b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1
＝20＋22＋24＋…＋22n－2＝1－4n1－4＝13(4n－1)．
9．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2an＋1－3n+2，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，
由题意得S4=20， a42=a2·a8，
即4a1+4×32d=20， a1+3d2=a1+da1+7d，
解得a1=2，d=2 或a1=5，d=0(舍)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n+2，
所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n+2
＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n+2)＝4n·2+n+12－271－3n1－3＝2n2＋6n＋272－3n+32.
10．(新定义)已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是20，接下来两项是20，21，再接下来三项是20，21，22，依此类推，设Sn是此数列的前n项和，则S2 024等于( )
A．264＋190B．263＋190
C．264＋62D．263＋62
A 解析：将数列分组：
第一组有一项，和为20；
第二组有两项，和为20＋21；
……
第n组有n项，和为20＋21＋…＋2n－1＝1－2n1－2＝2n－1，则前63组共有63×642＝2 016(项)，
所以S2 024＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋262)＋20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＋27
＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(263－1)＋(28－1)
＝(2＋22＋…＋263)－63＋255
＝2×1－2631－2＋192＝264＋190.
11．设i是虚数单位，则2i＋3i2＋4i3＋…＋2 020i2 019的值为( )
A．－1 010－1 010iB．－1 011－1 010i
C．－1 011－1 012iD．1 011－1 010i
B 解析：设S＝2i＋3i2＋4i3＋…＋2 019i2 018＋2 020i2 019，则iS＝2i2＋3i3＋4i4＋…＋2 019i2 019＋2 020i2 020，两式相减可得(1－i)S＝2i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 019－2 020i2 020＝i＋i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 019－2 020i2 020＝i＋i1+i1－i－2 020＝i＋i1+i22－2 020＝－2 021＋i，所以S＝－2 021+i1－i＝－2 021+i1+i2＝－1 011－1 010i.
12．数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________．
7 解析：由题意知an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，所以(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＋(a14＋a16)＝5＋17＋29＋41＝92.当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，所以当k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝a1＋2＋8＋14＋…＋[6(k－1)－4]＝a1＋2+6k－10k－12＝a1＋(3k－4)(k－1)，当k＝1时上式也成立，所以a2k－1＝a1＋(3k－4)(k－1)(k∈N*)，即a2k－1＝a1＋3k2－7k＋4(k∈N*)．
(方法一)所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋3×(12＋22＋32＋…＋82)－7×(1＋2＋3＋…＋8)＋4×8＝8a1＋3×8×8+1×2×8+16－7×1+8×82＋32＝8a1＋612－252＋32＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7.
(方法二)所以a2k－1＝a1＋(3k2＋3k＋1)－10k＋3＝a1＋[(k＋1)3－k3]－10k＋3，所以a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a15＝8a1＋(23－13)＋(33－23)＋…＋(93－83)－10×1+8×82＋3×8＝8a1＋93－13－360＋24＝8a1＋392.又前16项和为540，所以92＋8a1＋392＝540，解得a1＝7.
13．已知f (x)＝21+x2(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 020＝1，则f (a1)＋f (a2)＋…＋f (a2 020)＝________．
2 020 解析：因为f (x)＝21+x2(x∈R)，
所以f (x)＋f 1x＝21+x2+21+1x2＝21+x2+2x21+x2＝2.
因为等比数列{an}满足a1a2 020＝1，所以a1a2 020＝a2a2 019＝…＝a2 020a1＝1，
所以f (a1)＋f (a2 020)＝f (a2)＋f (a2 019)＝…＝f (a2 020)＋f (a1)＝2，
所以f (a1)＋f (a2)＋…＋f (a2 020)＝2 020.
14．已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝an+1，n为奇数，2an，n为偶数(n∈N*)，设bn＝a2n－1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n项和．
(1)证明：由题意，知bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2a2n－1＋1)＝2bn＋2，则bn＋1＋2＝2(bn＋2)．
又b1＋2＝a1＋2＝4，所以bn+1+2bn+2＝2，
即{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，
故bn＋2＝4·2n－1＝2n+1，
所以bn＝2n+1－2.
(2)解：数列{an}的前2n项和为
S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)
＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n
＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n
＝2×(22＋23＋…＋2n+1－2n)＋n
＝2×41－2n1－2－3n＝2n+3－3n－8.
15．记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝(－1)n·lg223an+4－43，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，
可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，
即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)．
显然an－1＋2≠0，则an+2an-1+2＝2.
又a1＋2＝3，所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝3·2n－1－2.
(2)bn＝(－1)n·lg2233·2n-1+2－43＝(－1)n·lg22n＝(－1)n·n.
当n为偶数时，
Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(n－1)＋n]＝n2；
当n为奇数时，Tn＝－1＋2－3＋4－…＋(n－1)－n＝n－12－n＝－n－12＝－n+12.
综上所述，Tn＝n2，n为偶数， －n+12，n为奇数．