高考数学一轮复习课时质量作业(十一)含答案

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1．函数f(x)＝lgax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是( )
A．0B．1
C．2D．a
C 解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝lgax在[a2，a]上单调递减，所以f (x)max＝f(a2)＝lgaa2＝2.故选C．
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f 13＋f (9)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
A 解析：因为函数y＝f (x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝lg3x，所以f 13＋f (9)＝lg313＋lg39＝－1＋2＝1.故选A．
3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－2x，x≤1， f x－1，x>1，则f(0)－f(lg25)＝( )
A．－14B．14
C．34D．54
B 解析：因为f (0)＝1－20＝0，f (lg25)＝f (lg25－1)＝f lg252＝f lg252－1＝f lg254＝1－2lg254＝1－54＝－14，所以f (0)－f (lg25)＝0－－14＝14.故选B．
4．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过500000名至少经过的天数为(参考数据：lg2≈0.301)( )
A．31B．32
C．40D．50
D 解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2 000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt>500 000，得ekt>1 000，即4t10>1000，两边取常用对数，得t10lg4>3，即t>15lg2≈150.301≈49.8.故选D．
5．已知函数f(x)＝3x，x≤0，lg4x，x>0，则f (f (116))＝________.
19 解析：因为f(x)＝3x，x≤0， lg4x，x>0，所以f 116＝lg4116＝－2，f(－2)＝3－2＝19，所以f(f(116))＝19.
6．函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的值域为________.
(－∞，－2] 解析：函数f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝lg2x－2lg2(x＋1)＝lg2xx+12＝lg21x+1x+2≤lg212x·1x+2＝lg214＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，故值域为(－∞，－2].
7．若函数f(x)＝ln 4－mx4－2x的图象关于原点对称，则实数m的值为________.
－2 解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，即ln4+mx4+2x＝－ln 4－mx4－2x，
所以4+mx4+2x＝4－2x4－mx，解得m＝±2.
当m＝2时，f(x)＝4－2x4－2x，定义域{x|x≠2}不关于原点对称，故舍去；
当m＝－2时，f(x)＝ln4+2x4－2x，定义域为{x|－28．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝lgx＋1－x1+x.若f(a)＝2，则f(1a)＝________.
－2 解析：因为f 1x＝lg 1x+1－1x1+1x＝－lg x＋x－1x+1，
所以f (x)＋f 1x＝lg x＋1－x1+x－lg x＋x－1x+1＝0，
故f(a)＋f (1a)＝0.由f(a)＝2，得f (1a)＝－2.
9．已知函数f(x)＝lga(1－x)，g(x)＝lga(x＋1)，其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
(2)若f(x)>g(x)，求x的取值范围．
解：(1)由1－x>0，x+1>0，得－1所以函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．
(2)当a>1时，由f(x)>g(x)，得1－x>x＋1>0，解得－1当0g(x)，得0<1－x综上可知，当a>1时，x的取值范围为(－1，0)，当010．已知一个15位正整数N＝a×1014(1≤a<10)，且30N仍是一个整数，则30N的值为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 5≈0.7)( )
A．3B．4
C．5D．6
A 解析：令x＝30N(x＞0)，则x30＝N＝a×1014(1≤a<10)，故30lgx＝lga＋14，lgx＝lga+1430，lg a∈[0，1），所以lg x∈715，12．又lg 2＜715≈0.47＜lg 3＜12＜lg 4＝2lg 2，故x＝3.故选A．
11．我国5G技术遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg21+SN．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．43%B．33%
C．23%D．13%
C 解析：由题意，得Wlg25 000Wlg21 000－1＝lg5000lg1000－1＝3+lg53－1＝1－lg23≈1－0.3013≈23%，所以C大约增加了23%.故选C．
12．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出一个即可)
lg2x(答案不唯一) 解析：符合对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝lg2x，nf(x)＝nlg2x＝lg2xn＝f(xn)．
13.(2024·昆明模拟)设函数f(x)＝lg22x·lg2x16 .
(1)解方程f(x)＋6＝0；
(2)设不等式2x2＋x≤43x－2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域．
解：f(x)＝(lg22＋lg2x)·(lg2x－lg216)＝(1＋lg2x)·(lg2x－4)＝(lg2x)2－3lg2x－4.
(1)由f(x)＋6＝0，得(lg2x)2－3lg2x＋2＝0，解得lg2x＝1或lg2x＝2，所以x＝2或x＝4.
所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.
(2)由2x2＋x≤43x－2，得2x2＋x≤26x－4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，
故M＝{x|1≤x≤4}．
f(x)＝(lg2x)2－3lg2x－4，x∈M，
令t＝lg2x，所以0≤t≤2，
则f(x)＝g(t)＝t2－3t－4＝t－322－254为开口向上，对称轴为直线t＝32的抛物线．
因为0≤t≤2，所以－254≤g(t)≤－4，
所以函数f (x)(x∈M)的值域为-254，-4．
14．已知函数f (x)＝lgax+1x－1a>0且a≠1.
(1)判断并证明函数f (x)的奇偶性．
(2)若a＝2，求函数y＝f (2x)的值域．
(3)是否存在实数a，b，使得函数f (x)在区间b，32a上的值域为(1，2)？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)函数f (x)是奇函数．证明如下：
由x+1x－1>0，可得f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
因为对任意的x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，都有－x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
且f (－x)＝lga－x+1－x－1＝lgax－1x+1＝lgax+1x－1－1 ＝－lga x+1x－1＝－f (x)，
所以f (x)是奇函数．
(2)当a＝2时，f (x)＝lg2x+1x－1，y＝f (2x)＝lg22x+12x-1＝lg21+22x－1.
因为f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以2x>1，
所以22x－1∈(0，＋∞)，1＋22x－1∈(1，＋∞)，
所以lg21+22x－1∈(0，＋∞)，
所以函数y＝f (2x)的值域是(0，＋∞)．
(3)存在．因为函数f (x)＝lgax+1x－1＝lga1+2x-1在b，32a上的值域为(1，2)，
又a＞0，且a≠1，
由f (x)的定义域得b，32a⊆(1，＋∞)，所以32a>b>1.
①当0＜a＜1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递增．
所以fb=1， f32a=2，即1+2b-1=a，1+232a-1=a2.
因为b＞1，所以1＋2b-1＞1，所以1＋2b-1＝a无解．或者因为32a＞1，所以1+232a-1＞1，所以1+232a-1=a2无解．
故此时不存在实数a，b满足题意．
②当a＞1时，因为y＝1＋2x-1在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)＝lga1+2x-1在b，32a上单调递减，
所以f32a=1，fb=2，
即1+232a-1=a，1+2b-1=a2，
解得a＝2a=-13舍去，b＝53．
综上所述，存在实数a＝2，b＝53．