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高考数学一轮复习课时质量作业(二十)含答案
展开这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(二十)含答案，共4页。试卷主要包含了已知函数f ＝x+1ex－a等内容，欢迎下载使用。
(1)当a＝1时，求函数f (x)在(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)的图象与直线y＝ax－a在1e，e上有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f (x)＝2ln x－x2＋x(x＞0)，
所以f ′(x)＝2x－2x＋1.
因为f (1)＝0，
所以切点坐标为(1，0)，切线斜率为f ′(1)＝1，
所以切线方程为y－0＝1(x－1)，即y＝x－1.
(2)由题知f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)，函数f (x)的图象与直线y＝ax－a在1e，e上有两个不同的交点．
令g(x)＝f (x)－y＝2ln x－x2＋a(x＞0)，所以g′(x)＝2x－2x＝－2x+1x－1x.
因为x∈1e，e，
所以令g′(x)＝0，得x＝1，
所以当1e≤x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当1
因为g1e＝a－2－1e2，g(e)＝a＋2－e2，
又g(e)－g1e＝4－e2＋1e2<0，
所以g(e)
所以g(x)＝2ln x－x2＋a在1e，e上有两个不同的零点的条件是g1=a－1>0，g1e=a－2－1e2≤0，
解得1
2．(2024·通辽模拟)已知函数f (x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)．
(1)求函数f (x)的极值点；
(2)若函数f (x)有且只有两个零点，求实数a的值．
解：(1)因为f (x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)，所以f ′(x)＝－3x2＋2x＋1＝(3x＋1)(－x＋1)．
令f ′(x)>0，解得－13
所以f (x)在－∞，－13，(1，＋∞)上单调递减，在－13，1上单调递增，
所以f (x)的极小值点是－13，极大值点是1.
(2)函数f (x)有且只有两个零点，令f (x)＝0，则－x3＋x2＋x＝－a.令g(x)＝－x3＋x2＋x，即y＝g(x)与y＝－a的图象有两个交点．
由(1)分析知g(x)在－∞，－13，(1，＋∞)上单调递减，在－13，1上单调递增，g(x)的大致图象如图所示．
要使函数f (x)有且只有两个零点，即－a＝g(1)或－a＝g－13，解得a＝－1或a＝527.
3．(2024·江门模拟)已知函数f (x)＝x+1ex－a(a∈R)．
(1)求f (x)的极值；
(2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝(x＋2)ex.
令f ′(x)＜0，得x<－2；令f ′(x)>0，得x>－2，
所以f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝－2时，f (x)有极小值f (－2)＝－1e2－a，无极大值．
(2)函数f (x)＝(x＋1)ex－a有两个零点，
取g(x)＝(x＋1)ex，则直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点．
g′(x)＝(x＋2)ex，
令g′(x)＜0，得x<－2；令g′(x)>0，得x>－2，
所以g(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
因为g(－1)＝0，g(－2)＝－1e2，
当x<－1时，g(x)<0，当x>－1时，g(x)>0，
当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以函数g(x)的大致图象如图所示．
结合图象可知，当－1e2
4．已知函数f (x)＝x－ln x＋m，g(x)＝xex.
(1)若函数f (x)和g(x)的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；
(2)若函数F(x)＝f (x)－g(x)有两个零点x1，x2，证明：ex1·ex2>e2.
(1)解：由题意知函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－1x＝x－1x，
当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，
故f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由f (1)＝1＋m，可得y＝f (x)的图象与直线y＝1＋m相切．
因为g′(x)＝1－xex，则当x∈(－∞，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，
故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(1)＝1e，即y＝g(x)的图象与直线y＝1e相切．
因为两函数图象均与平行于x轴的同一条直线相切，则1＋m＝1e，即m＝1e－1.
(2)证明：F(x)＝f (x)－g(x)＝x－ln x＋m－xex＝－ln xex－xex＋m(x＞0)，令t1＝x1ex1，t2＝x2ex2，
由F(x1)＝F(x2)＝0，得－ln t1－t1＋m＝－ln t2－t2＋m＝0.
易知函数y＝－ln t－t＋m在(0，＋∞)上单调递减，故t1＝t2，即x1ex1＝x2ex2，
即g(x1)＝g(x2)．
由(1)可知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以不妨设0
所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以h(x)
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