高考数学一轮复习课时质量作业(二十一)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(二十一)含答案，共6页。

1．把－1 125˚化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－π4－6πB．7π4－6π
C．－π4－8πD．7π4－8π
D 解析：－1 125˚＝－1 440˚＋315˚＝－8π＋7π4.
2．已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cs θ＝35，则实数a的值是( )
A．－2B．211
C．－2或211D．1
B 解析：由题设可知2a+12a+12+a－22＝35且2a＋1>0，即a>－12，
所以4a2+4a+15a2+5＝925，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝211.又a>－12，所以a＝211.
3．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则点Q的坐标为( )
A．－12，32B．－32，－12
C．－12，－32D．－32，12
A 解析：由三角函数的定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cs 2π3＝－12，y＝sin 2π3＝32，
所以点Q的坐标为－12，32.
4．(2024·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cs θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
B 解析：因为点P(2sin θ，sin θcs θ)位于第四象限，
所以2sin θ>0， sin θcsθ<0，即sin θ>0，csθ<0，所以角θ所在的象限为第二象限．
5．(多选题)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列说法中正确的有( )
A．扇形的半径为2 cm
B．扇形的半径为1 cm
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
ABC 解析：设扇形的半径为r cm，圆心角的弧度数为α，
则由题意得2r+αr=6，12αr2=2，解得r=1，α=4或r=2，α=1，
所以圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1 cm或2 cm.
6．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2.若α＝π4，则点P的坐标为________.
(1，1) 解析：设点P的坐标为(x，y)，
则由三角函数的定义得sin π4=y2，csπ4=x2，即x=2csπ4=1，y=2sin π4=1，
故点P的坐标为(1，1)．
7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.
2 解析：设圆的半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为2r，所以该圆弧的圆心角的弧度数是2rr＝2.
8．设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是____________________.
{β|β＝k·360˚＋90˚＋α，k∈Z} 解析：依题意，以射线OP1为终边的角γ＝k1·360˚＋180˚－α，k1∈Z，从而以射线OP2为终边的角β＝－(k1·360˚＋180˚－α)＋k2·360˚－90˚＝(k2－k1)·360˚＋90˚＋α＝k·360˚＋90˚＋α(k1，k2，k∈Z)．
9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．如图，当折扇所在扇形的圆心角为2π3时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长AB之比为________.
332π 解析：设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，连接OD.
由题意知圆心角α为2π3，则∠BOD＝π3，
所以弦长AB＝2AD＝2r sin π3＝3r.
又弧长AB＝2π3r，所以弦长AB与弧长AB之比为3r2π3r＝332π.
10．已知1sinα＝－1sinα，且lg (cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M35，m，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由1sin α＝－1sin α，得sin α<0，
由lg (cs α)有意义，可知cs α>0，所以角α在第四象限．
(2)因为|OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±45.
又角α为第四象限角，故m<0，从而m＝－45，sin α＝mOM＝－451＝－45.
11．(数学与文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：
[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？
[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？
翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？
[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？
则下列说法正确的是( )
A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步
B．问题[三四]中扇形的面积为5 0494 平方步
C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步
D．问题[三四]中扇形的面积为5 0492 平方步
B 解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为12lr＝12×30×162＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的面积为12lr＝12×99×512＝5 0494(平方步)．
12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为sin 3π4，cs 3π4，则角α的最小正角为( )
A．π4B．3π4
C．5π4D．7π4
D 解析：角α的终边上一点M的坐标为sin 3π4，cs3π4，即M22，－22，故点M在第四象限，且tan α＝－2222＝－1，则角α的最小正角为7π4.
13．(数学与文化)(2024·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcs α的值为________.
25 解析：设直角三角形的短直角边长为x，一个直角三角形的面积为100－204＝20，
因为小正方形的面积为20，则边长为25，大正方形的面积为100，则边长为10.
所以直角三角形的面积为12·x(x＋25)＝20，解得x＝25(x＝－45舍去)，
所以直角三角形的长直角边为45.故sin α＝55，cs α＝255，即sin αcs α＝25.
14．若角α的终边落在直线y＝3x上，角β的终边与单位圆交于点12，m，且sin αcs β＜0，则cs α·sin β＝________.
±34 解析：由角β的终边与单位圆交于点12，m，得cs β＝12.又由sin α·cs β＜0知，sin α＜0.因为角α的终边落在直线y＝3x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1.又由y＝3x，得x＝－12，y＝－32，所以cs α＝x＝－12.因为点12，m在单位圆上，所以122＋m2＝1，解得m＝±32，所以sin β＝±32，所以cs α·sin β＝±34.
15. 高为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝2 dm，弓形高CD＝(20－103)cm，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为______cm2.
2 000π3 解析：设截面圆的半径为R，连接CO(图略)，点D在线段CO上，
则AD＝12AB＝10 cm，
OD＝R－CD＝R－(20－103)(cm)．
根据垂径定理可得R2＝OD2＋AD2，解得R＝20，
所以∠AOD＝π6，则∠AOB＝π3，
故可得弧长AB＝π3×20＝20π3(cm)．
又木材的高为1米，即木材的高为100 cm，
所以该木材镶嵌在墙中的侧面积约为20π3×100＝2 000π3 (cm2).
16．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs (sin θ)·sin (cs θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝35－45＝－15；
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝－35+45＝15.
(2)当a＞0时，sin θ＝35∈0，π2，
cs θ＝－45∈－π2，0，
则cs (sin θ)·sin (cs θ)＝cs 35·sin －45＜0；
当a＜0时，sin θ＝－35∈－π2，0，
cs θ＝45∈0，π2，
则cs (sin θ)·sin (cs θ)＝cs －35·sin 45＞0.
综上所述，当a＞0时，cs (sin θ)·sin (cs θ)的符号为负；当a＜0时，cs (sin θ)·sin (cs θ)的符号为正．