高考数学一轮复习课时质量作业(三十三)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(三十三)含答案，共9页。试卷主要包含了下列四个命题中的真命题是，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．(2024·潍坊模拟)下列四个命题中的真命题是( )
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
D 解析：当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误；
当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误；
如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确．
2．已知两条不同的直线a，b及两个不同的平面α，β，下列说法正确的是( )
A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b
B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面
D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交
C 解析：若α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b没有交点，故a与b平行或异面，故A，B错误，C正确；若α∩β＝b，a⊂α，当a∥b时，a与β平行，故D错误．
3．(多选题)(2024·广州模拟)下列命题正确的是( )
A．如果一条直线上的两点到一个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面平行
B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等
C．如果一个平面内一个锐角的两边分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行
D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
BC 解析：如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这条直线可能在平面内，也可能与平面相交，故A错误；
两条平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等，故B正确；
如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，由平面与平面平行的判定定理可知，这两个平面平行，故C正确；
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，当这无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故D错误．
4．(多选题)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中，正确的为( )
A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMN
C．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45˚
ABD 解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN.因为MN⊂平面ACD，PQ⊄平面ACD，PN⊂平面ABD，QM⊄平面ABD，
所以PQ∥平面ACD，QM∥平面ABD.
因为PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，所以PQ∥AC.同理可得QM∥BD.
由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正确．
由PQ∥AC，PQ⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，得AC∥截面PQMN，故B正确．
因为BD∥PN，PQ∥AC，所以PNBD＝ANAD，MNAC＝DNAD.而AN≠DN，PN＝MN，所以BD≠AC，故C错误．
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即∠PMQ＝45˚，故D正确．
5．若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为6，则直线AE1与EF所成角的大小为( )
A．π6B．π4
C．π3D．π2
C 解析：如图，连接AF1，AE1，AE.易知EF∥E1F1，所以直线AE1与EF所成的角为∠AE1F1(或其补角)．
由题意知，在△AFE中，AF＝EF＝1，∠AFE＝2π3，
所以AE2＝AF2＋EF2－2AF·EF·cs ∠AFE＝3.
又FF1＝EE1＝6，所以AE12＝AE2+EE12＝9，即AE1＝3，
所以AF12＝AF2+FF12＝7，即AF1＝7.
在△AF1E1中，cs ∠AE1F1＝AE12+E1FS412－AF122AE1·E1F1＝9+1－72×3×1＝12，所以∠AE1F1＝π3，
即直线AE1与EF所成角的大小为π3.
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点，∠CGB＝70˚，则∠ED1F＝________.
70˚ 解析：依题意，EC∥D1G且EC＝D1G，所以四边形ECGD1为平行四边形，所以GC∥D1E，同理可得GB∥D1F.又因为两角的两边方向相同，所以∠ED1F＝∠CGB＝70˚.
7．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
3 解析：画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3对．
8．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是________.
相交、平行或异面 解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．
9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2.求：
(1)三棱锥P-ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解：(1)由题意知PA为三棱锥P-ABC的高．因为∠BAC＝π2，AB＝2，AC＝23，PA＝2，
所以S△ABC＝12×2×23＝23，
三棱锥P-ABC的体积V＝13S△ABC·PA＝13×23 ×2＝433.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
因为∠BAC＝π2，所以BC＝AB2+AC2＝4.因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以PA⊥AB，所以PB＝AB2+PA2＝22，同理可得PC＝4.
在△ADE中，DE＝12BC＝2，AE＝12PB＝2，AD＝12PC＝2，
所以cs ∠ADE＝AD2+DE2－AE22AD·DE＝22+22－222×2×2＝34.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.
10．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过( )
A．点AB．点B
C．点C但不过点MD．点C和点M
D 解析：因为AB⊂γ，M∈AB，所以M∈γ.
因为α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.
根据基本事实3可知，点M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
所以γ与β的交线必经过点C和点M.
11．(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线A1M与BN共面
BD 解析：A选项，因为A，M，C，C1四点不共面，所以根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误．
B选项，因为B，N，M，B1四点不共面，所以根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确．
C选项，如图，取DD1的中点E，连接AE，EN，则有AB∥EN，AB＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN.因为AM与AE交于点A，所以AM与AE不平行，则AM与BN不平行，故C错误．
D选项，如图，连接MN，BA1，CD1.因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C.由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，所以A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确．
12．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，若直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为π6，则异面直线A1B与AC所成的角的正弦值为( )
A．12B．33
C．22D．32
D 解析：如图，取A1C1的中点H，连接B1H.
根据题意易得B1H⊥侧面AA1C1C，所以直线AB1与侧面AA1C1C所成的角为∠B1AH＝π6.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1B1C1＝∠ABC＝π2，A1B1＝AB＝2，B1C1＝BC＝2，
所以A1C1＝22，B1H＝12 A1C1＝2，B1A＝B1Hsin ∠B1AH＝22.
又A1B1＝2，所以A1A＝B1A2－A1B12＝2，所以C1C＝2.
又BC＝2，所以BC1＝22，
易知A1C1＝22，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝π3.
因为AC∥A1C1，所以异面直线A1B与AC所成的角为∠BA1C1＝π3，
所以异面直线A1B与AC所成的角的正弦值为32.
13．(2024·唐山模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，则截面的形状为____________，周长为________.
五边形 213+2 解析：如图，连接EF并延长交DC的延长线于点N，连接D1N交CC1于点Q.
延长FE交DA的延长线于点M，连接D1M交AA1于点P，顺次连接D1，Q，F，E，P，
则五边形D1QFEP即为平面D1EF截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面多边形．
由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则AE＝1，∠AEM＝∠BEF＝45˚，
所以△AME为等腰直角三角形，则AM＝1.
根据△AMP∽△A1D1P，得APA1P＝AMA1D1＝12，
则A1P＝43，AP＝23，
所以D1P＝22+432＝2133，EP＝12+232＝133.
同理可得D1Q＝2133，FQ＝133，而EF＝2，
所以五边形D1QFEP的周长为2×2133+133+2＝213 +2.
14．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明：(1)如图，连接B1D1.
由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
因为Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点．
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ.
又因为A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF＜BD，
所以DE与BF相交，设交点为M.
由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.
同理，M∈平面B1BCC1.
因为平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1.
所以DE，BF，CC1三线交于一点．