2024-2025学年云南省曲靖市罗平一中高二（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省曲靖市罗平一中高二（上）月考数学试卷（8月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|14q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．
(1)求p和q的值；
(2)试求两人共答对3道题的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
(Ⅰ)若c=2，C=π3，且△ABC的面积S= 3，求a，b的值；
(Ⅱ)若sinC+sin(B−A)=sin2A，试判断△ABC的形状．
19.(本小题17分)
如图，点C在以AB为直径的圆O上(C不同于A，B)，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心，PA=AB=2，N在线段PA上，且AN=2NP．
(1)证明：NG//平面POC；
(2)在圆O上是否存在点C，使得二面角A−OP−G的余弦值为23？若存在，指出点C的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.B
6.A
7.A
8.A
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.450
13. 36
14.[1,32)∪(32,+∞)
15.解：(1)由题意可知0.02×5+0.03×5+m×5+0.08×5+0.02×5=1，
解得m=0.05；
(2)由题意[10,15)的频率为0.02×5=0.1，[15,20)的频率为0.03×5=0.15，
[20,25)的频率为0.05×5=0.25，[25,30)的频率为0.08×5=0.4，
故80%分位数在区间[25,30)内，设为x，
则0.1+0.15+0.25+(x−20)×0.08=0.8，
解得x=23.75，
故样本中指标数据的80%分位数为23.75．
16.解：(1)f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度得y=sin(x+π6)的图像，
再将其纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得到g(x)=sin(2x+π6)的图像；
(2)设t=2x+π6，由x∈[0,π4]，得t∈[π6,2π3]，
则sint∈[12,1]，即g(x)在区间[0,π4]的值域为[12,1]．
17.解：(1)由题意可得pq=12p(1−q)+q(1−p)=512，
即pq=12p+q=1712，解得p=34q=23或p=23q=34，
∵p>q，∴p=34,q=23．
(2)设Ai={甲同学答对了i道题}，Bi={乙同学答对了i道题}，i=0，1，2，
由题意得，P(A1)=14×34+34×14=38,P(A2)=34×34=916，
P(B1)=23×13+13×23=49,P(B2)=23×23=49．
设E={甲、乙二人共答对3道题}，则E=A1B2+A2B1．
由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1互斥，
所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=38×49+916×49=512．
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为512．
18.解：(Ⅰ)由余弦定理 及已知条件得，a2+b2−ab=4，….(3分)
又因为△ABC的面积等于 3，所以12absinC= 3，得ab=4.(5分)
联立方程组a2+b2−ab=4ab=4解得a=2，b=2.(7分)
(Ⅱ)由题意得：sinC+sin(B−A)=sin2A
得到sin(A+B)+sin(B−A)=sin2A=2sinAcA
即：sinAcsB+csAsinB+sinBcsA−csBsinA=2sinAcA
所以有：sinBcsA=sinAcsA，(10分)
当csA=0时，A=π2，△ABC为直角三角形(12分)
当csA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，
所以，△ABC为等腰三角形．(14分)
19.解：(1)证明：连接AG，延长交OC于M，连接PM．
由G为△AOC的重心，可得AG=2GM，
又AN=2NP，可得NG//PM，
由NG⊄平面POC，PM⊂平面POC，
所以NG/​/平面POC；
(2)在圆O上假设存在点C，设AC=x，使得二面角A−OP−G的余弦值为23．
连接OG，延长交AC于H，则H为AC的中点，OH⊥AC，OH= 1−x24．
过H作HD⊥AO，又PA⊥平面ACO，可得PA⊥HD，
所以HD⊥平面PAO，
过D作DE⊥PO，交PO于E，连接HE，
由三垂线定理可得PO⊥EH，
可得二面角A−PO−G即二面角A−PO−H的平面角为∠DEH．
在△AOH中，DH=x2 1−x24，OD=OH2=1−x24，
在三角形POA中，DE=ODsin∠DOE=(1−x24)×2 5，
所以tan∠DEH=DHDE= 5323= 52，
所以x2 1−x24=1−x24，解得x= 2，
所以在圆O上存在点C，且AC= 2，即C为弧AB的中点，使得二面角A−OP−G的余弦值为23．