人教A版高中数学必修第一册第三章微专题三二次函数的最值问题课件

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微专题3　二次函数的最值问题第三章　函数的概念与性质与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面地体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．探究1　“轴定区间定”问题[典例讲评]　1．已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]． (2)由图可知，在[0，3]上，函数f (x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7．(3)由图可知，函数f (x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4． 反思领悟　当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反．  (－1，3]  探究2　“轴变区间定”问题[典例讲评]　2．求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值． 图①(2)当0≤a<1时，由图②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2)＝3－4a．(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0)＝－1．图②图③ 图④  [解]　(1)因为函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4，对称轴是x＝－m．因为f (x)在(－∞，1]上单调递减，所以－m≥1，解得m≤－1，所以m的取值范围是(－∞，－1]． 【教用·备选题】　已知函数f (x)＝x2＋(2a－1)x－3．(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f (x)的最大值和最小值；(2)若函数f (x)在[1，3]上的最大值为1，求实数a的值．  探究3　“轴定区间变”问题[典例讲评]　3．求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1． 图①　　　图②　　　　 图③反思领悟　“轴定区间变”问题的解题思路分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． √[1，2] (2)二次函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由x2－2x＋4＝4，解得x＝0或x＝2，画出二次函数y＝x2－2x＋4(x≥0)的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2]．] 微专题强化练(三)　二次函数的最值问题一、选择题1．函数f (x)＝－x2＋2x－3在区间[0，＋∞)上(　　)A．有最大值－2 B．有最大值－3C．有最小值－2 D．有最小值－3√题号13524687910A　[因为f (x)＝－x2＋2x－3，所以函数f (x)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝1，如图所示：由此可得函数y＝f (x)在[0，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝－1＋2－3＝－2，无最小值．故选A．]题号13524687910 √题号13524687910 3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)√题号13524687910C　[令f (x)＝－x2＋2x，则f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1．又∵x∈[0，2]，∴f (x)min＝f (0)＝f (2)＝0．∴a<0．] √题号13524687910 题号13524687910 √题号13524687910 题号13524687910 题号13524687910二、填空题6．已知函数f (x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1，3]，则b的值为________．题号135246879103 3　[因为f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当且仅当x＝1时取等号，所以若x∈[0，b]，f (x)的值域为[－1，3]，则b>1，因为f (x)的图象是开口向上的抛物线，所以f (x)在[0，1)上单调递减，(1，b]上单调递增，因为f (0)＝0≠3，所以f (b)＝b2－2b＝3，即b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．]题号13524687910 题号13524687910－4 题号13524687910 题号13524687910   题号13524687910 题号13524687910三、解答题9．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2．(1)求f (x)的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．题号13524687910 题号13524687910 题号1352468791010．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3．(1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)；(2)求g(a)的最大值．题号13524687910  题号13524687910