初中数学北师大版（2024）九年级上册2 反比例函数的图象与性质教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册2 反比例函数的图象与性质教案，共10页。教案主要包含了四象限,则点在.，三象限.等内容，欢迎下载使用。

课时目标
1.经历探索反比例函数的性质的过程,体会函数三种表示方式之间的联系和转化,发展数形结合的意识和能力.
2.能画出反比例函数的图象,进一步掌握画函数图象的步骤.
学习重点
画反比例函数的图象并从函数图象中获取信息.
学习难点
反比例函数的图象特点的探究.
课时活动设计
复习引入
教师幻灯片展示下列问题:
1.我们通常从哪些方面研究一次函数?
2.画一次函数图象的步骤是什么?
设计意图:通过对上面问题的回答,使学生回顾研究一次函数图象的过程,类比研究一次函数图象的思路来研究反比例函数.
探究新知
教师引导学生类比画一次函数图象的过程,尝试画出反比例函数y=4x的图象.
教学策略:
小明的做法:
(1)列表:
(2)描点:如图1所示.
(3)连线:如图2所示.
图1 图2
学生回答:小明的画法不正确,没有用光滑的曲线顺次连接各点;图象不是无限延伸的.
教师再结合以上几个环节,进行点评和总结.
教师用幻灯片展示正确的反比例函数图象(如图3所示).
图3
问题:
(1)反比例函数图象是什么?
(2)画反比例函数的图象时,应该注意哪些问题?
小结:
设计意图:运用类比的思想,学生独立画反比例函数图象,体现了结构式教学的特点,让学生自己发现问题、指出问题、解决问题.教师在此环节仅是作为引导者和组织者,充分发挥学生学习的主动性.
典例精讲
例1 小华画的反比例函数y=6x的图象如图所示,你认为他画的对吗?
解:不对.反比例函数的图象是无限靠近坐标轴,但与坐标轴没有交点.
例2 画反比例函数y=-4x的图象.
解:列表:
描点,连线如图所示.
设计意图:例1巩固学生们的发现,加深对反比例函数的认识;例2让学生巩固作反比例函数图象的步骤,并且初步感受反比例函数图象的特征.
观察思考
观察函数y=4x和y=-4x的图象的形状和位置,有什么相同点和不同点?
1.自己观察图象找出相同点和不同点.
2.小组展开讨论反比例函数y=4x和y=-4x的图象在哪两个象限,由什么确定?
3.引导小结.
小结:
设计意图:本环节的设置体现了数形结合的思想,通过观察函数图象来得到函数的基本性质是初中阶段学生应具备的基本能力.
巩固训练
1.反比例函数y=mx的图象的两支分别分布在第二、四象限,则点(m,m-2)在( C ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一部分如图,则k > 0(填“>”“<”或“=”).
设计意图:进一步巩固所学知识,加深学生对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获?先想一想,再分享给大家.
设计意图:总结以学生为主,教师辅助的方式完成,让学生养成及时总结反思的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第154页习题6.2第1,2,3题.
2.七彩作业.
第1课时 反比例函数的图象
1.画反比例函数图象的步骤:列表,描点,连线.
2.
教学反思


第2课时 反比例函数的性质
课时目标
1.掌握反比例函数的图象与性质,理解反比例函数图象的增减性.
2.逐步提高学生的观察、归纳和分析能力,体验数形结合和分类讨论的思想.
学习重点
反比例函数增减性及k的几何意义.
学习难点
反比例函数增减性的探究和应用.
课时活动设计
复习回顾
1.下列函数中,哪些是反比例函数?
(1)y=1x+1; (2)y=-3x; (3)y=1x2; (4)y=2x; (5)y=13x.
2.你能想到y=2x的图象吗?它是什么形状?有什么特点?y=-3x呢?
设计意图:本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述,力图通过具体问题,让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解,培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力.
探究新知
试一试:观察反比例函数y=2x,y=4x,y=6x的图象(如图),你能发现它们的共同特征吗?
(1)函数图象分别位于哪几个象限内?
解:第一、三象限.
(2)在每一象限内,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗?
解:y的值随着x值的增大而减小.
分别在每个象限的图象上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),观察当x2>x1时,均有y2 (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗?为什么?
解:与x、y轴均不可能相交,因为双曲线是无限靠近坐标轴,但不与坐标轴相交.
设计意图:本环节意在引导学生从对图象的直观观察开始,逐步上升到理性的分析,顺应学生思维的发展,在有效的问题引领下,培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力.
议一议:当k=-2,-4,-6时,反比例函数y=kx的图象(如图),它们有哪些共同特征?
解:共同特征:k<0;函数图象分别位于第二、四象限;在每一象限内,y的值随着x值的增大而增大;函数图象与坐标轴无交点.
设计意图:通过对k<0时反比例函数图象特征的探究,培养学生利用数形结合的方法探究问题的意识,发展学生类比分析问题的能力,使学生在知识上体系更加完善,在能力上逐步提高.
说一说:你能尝试着说说反比例函数y=kx的图象有哪些特征吗?
反比例函数y=kx的图象,当k>0时,在每一象限内,y的值x值的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
设计意图:“试一试”“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析,“说一说”主要是将知识进行了系统的归纳、概括,通过讨论、交流,形成完整、规范的结论,培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力.
巩固新知
1.下列函数:①y=1x;②y=-3x;③y=12x;④y=-7x.
(1)图象位于第二、四象限的有 ②④ ;
(2)在每一象限内,y随x的增大而增大的有 ②④ ;
(3)在每一象限内,y随x的增大而减小的有 ①③ .
2.若函数y=m+2x的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 m<-2 .
3.点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-3x的图象上,若x1 变式:点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-3x的图象上,若x1 解:当x1y2;当0 设计意图:(1)通过几个小题的练习,及时运用、巩固所学的知识,使学生加深对反比例函数性质的理解.
(2)运用变式训练,拓展学生思维的广度,渗透分类讨论的数学思想.
(3)课堂上以小组合作讲解的形式,让每个学生都融入到表达与倾听中,调动每个学生的主观能动性,夯实基础.
想一想:在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2,S1与S2有什么关系?为什么?
1.让我们从具体的反比例函数y=2x(如图1)开始考虑:
此时,S1与S2有什么关系?为什么?
图1 图2
解:S1=S2.
设P(a,2a),又(b,2b),
∵过点P分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,
∴S1=a·2a=2.
同理S2=b·2b=2.
∴S1=S2.
2.对于一般的反比例函数y=kx(如图2)呢?
解:S1=S2.
设计意图:如果直接探究函数y=kx,对于有些学生来说有一定的困难.为了突破这一难点,先给出简单的反比例函数y=2x,在探究了具体函数的基础上,再由特殊到一般,进一步探究y=kx,符合学生的认知规律.
巩固训练
1.若点P(x,y)是反比例函数y=32的图象(如图)在第一象限分支上的一个动点,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,随着自变量x的增大,则矩形OAPB的面积( A )
A.不变 B.增大 C.减小 D.无法确定
第1题图 第2题图
2.如图,点P(x,y)是反比例函数y=3x的图象在第一象限分支上的一个动点,过点P作PA⊥x轴于点A,连接PO,则△PAO的面积为 32 .
3.已知点P(3,2),点Q(-2,a)都在反比例函数y=kx的图象上.过点P分别作两坐标轴的垂线,垂线与两坐标轴围成的面积是S1;过点Q分别作两坐标轴的垂线,垂线与两坐标轴围成的面积是S2.求a,S1,S2的值.
解:∵点P(3,2),点Q(-2,a)都在反比例函数y=kx的图象上,
∴k=3×2=6.
∴反比例函数为y=6x.
把Q(-2,a)代入y=6x,
得a=6-2=-3.
∵过点P分别作两坐标轴的垂线,垂线与两坐标轴围成的面积是S1;过点Q分别作两坐标轴的垂线,垂线与坐标轴围成的面积是S2,
∴S1=S2=|6|=6.
设计意图:巩固所学知识,加深对反比例函数性质的理解.
课堂小结
1.本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
2.你有哪些感悟和收获?
3.你还有想继续探究的问题吗?
4.你对小组成员有什么评价和建议呢?
设计意图:引导学生关注数学的学习过程,及时总结、反思、交流,同时重视小组内的合作和交流,倾听小组成员的评价、建议,取长补短,共同提高.
课堂8分钟.
1.教材第157页习题6.3第1,2,3,4,5题.
2.七彩作业.
第2课时 反比例函数的性质
1.反比例函数图象的性质:
反比例函数y=kx的图象,当k>0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小;当
k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
2.k的几何意义.
S矩形ABCO=S矩形ODEF=|k| S△ONM=|k|2
教学反思


小组内交流
教师在巡视过程中,当发现大部分学生完成时,让同学们先在小组内进行互查、互批,让小组代表汇总各小组出现的问题
全班交流
小组代表发言,谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题,教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总
知识经验应用
让学生通过刚才两个过程积累的知识和经验,对小明的做法进行点评
x
…
-8
-4
-3
-2
-1
-12
12
1
2
3
4
8
…
y=4x
…
-12
-1
-43
-2
-4
-8
8
4
2
43
1
12
…
(1)x≠0
(2)用光滑的曲线连接各点
(3)图象是无限延伸的,不要画成有明确端点
(4)曲线的发展趋势是无限靠近坐标轴,但不和坐标轴相交
x
…
-4
-2
-1
-12
12
1
2
4
…
y=4x
…
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
…
图象分别都是由两支曲线组成,因此称反比例函数的图象为双曲线
图象由k决定
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内
图象分别都是由两支曲线组成,因此称反比例函数的图象为双曲线
图象由k决定
当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内
当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内