初中数学北师大版（2024）八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理教案设计，共12页。

课时目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.
2.能运用三角形内角和定理解决简单的问题.
3.在一题多解、一题多变中,积累解决几何问题的经验,提升解决问题的能力.
4.经历探索与证明的过程,进一步发展推理能力.
学习重点
会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.
学习难点
能运用三角形内角和定理解决简单的问题.
课时活动设计
复习回顾
教师活动:引导学生回忆前面学习过的内容,提问学生回答下面问题.
问题1:三角形的内角和是多少度?
解:180°.
问题2:你还记得这个结论的探索过程吗?
解:(1)测量法:使用量角器分别测量一个三角形的三个内角的值,然后加和计算.
(2)剪拼法(撕拼法):将三角形的两个内角撕下来和剩下的角可以拼成一个平角.
设计意图:引导学生回顾原来探究与验证三角形内角和的过程,力图从原来的探究与验证活动中获得证明思路,为本节课作铺垫.
探究新知
(1)如图,如果我们只把∠A移到∠1的位置,你能说明三角形内角和等于180°吗?如果不移动∠A,那么你还有什么方法可以达到同样的效果?
分析:若只把∠A移到∠1的位置,需要先证明直线a与直线b平行,再利用平行线的性质证明∠B=∠2,同样可以得到∠A+∠B+∠ACB=180°.
如果不移动∠A,则需画出直线AB的平行线作为辅助线.
教师活动:说明辅助线通常画成虚线!
(2)根据前面给出的基本事实和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?
分析:做出辅助线,利用平行线的性质:两直线平行,内错角相等、同位角相等,将三角形的三个内角凑成一个平角,从而证明出三角形的内角和是180°.
(3)你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴进行交流.
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠ACB=180°.
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
证明:延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
学生组内合作,互相交流合作,教师对交流结果进行归纳总结.
教师总结 三角形内角和定理:
三角形的内角和等于180°,即在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
常见变形:
∠A=180°–(∠B+∠C).
∠B+∠C=180°-∠A.
∠B=180°–(∠A+∠C).
∠A+∠C=180°-∠B.
∠C=180°–(∠A+∠B).
∠A+∠B=180°-∠C.
设计意图:1.结合之前探究发现三角形内角和的过程,引导学生理解并学习辅助线的添加及应用.2.让学生在学习移动作出辅助线的方法后,思考并写出严格的证明过程,并进行交流、评价.3.帮助学生记忆三角形内角和定理及变形形式,培养学生的应用意识.
想一想
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可行吗?如果可行,你能写出证明过程吗?与同伴进行交流.
解:他的想法可行.
证明:过点A作PQ∥BC.
∵PQ∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义),
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换).
∴三角形的内角和等于180°.
教师活动:鼓励学生积极思考,想出更多的证明方法.
设计意图:鼓励学生寻求多样的证明方法,同时在多样的证明方法中感受共性:将分散的要素集中到一起.
典例精讲
例1 如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
解:在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°,∠C=62°(已知),
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知),
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°(角平分线的定义).
在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已证),
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性质).
例2 三角形的内角和是180°,那么四边形,五边形以及n边形的内角和又是多少呢?
解:如图,四边形的内角和为2×180°=360°.
五边形的内角和为3×180°=540°.
n边形的内角和为(n-2)×180°.
设计意图:通过解决例题让学生体会三角形内角和定理的应用,进一步加深学生对三角形内角和的理解,巩固所学知识,培养学生举一反三的能力,开拓学生思维能力.
拓展应用
如图,在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越大(越来越接近180°),而∠B和∠C则越来越小(越来越接近0°).由此你能想到什么?
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当点A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近0°),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近180°,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么?
解:当点A“压”向BC时,∠A增加的度数等于∠C和∠B减少的度数之和;当点A“拉离”BC时,∠A减少的度数等于∠C和∠B增加的度数之和.三角形的内角和等于180°.
设计意图:让学生了解运动变化的观点对数学结论的影响,初步体验极限的思想.
课堂小结
1.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.
2.n边形的内角和为(n-2)×180°.
设计意图:通过回顾本节课所学内容,加深学生对本节课所学知识的理解,培养学生反思的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第180页习题7.6第2,3,4题.
2.七彩作业.
教学反思



第2课时 三角形的外角定理
课时目标
1.掌握三角形内角和定理的两个推论,并能运用这些定理解决简单的问题.
2.经历探索与证明的过程,进一步发展推理能力.
3.在一题多解、一题多变中,积累解决几何问题的经验,提升解决问题的能力.
学习重点
了解三角形外角的定义,掌握三角形外角的两个定理.
学习难点
能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.
课时活动设计
回顾复习
教师引导学生回忆前面学习过的内容,提问学生回答下面问题.
问题:三角形的内角和是多少度?三角形的内角和定理及其变式是什么?
解:定理:三角形的内角和等于180°,即在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.
变式:∠A=180°–(∠B+∠C),∠B+∠C=180°-∠A.
∠B=180°–(∠A+∠C),∠A+∠C=180°-∠B.
∠C=180°–(∠A+∠B),∠A+∠B=180°-∠C.
设计意图:引导学生回顾上节课学习的知识点,巩固三角形内角和定理,为本节课学习做准备.
探究新知
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角.
如图,∠1是△ABC的∠ABC的外角.
教师引导:想一想,一个三角形的外角应具备哪些条件呢?
学生组内合作,互相交流讨论,回答教师提问.
生:角的顶点是三角形的顶点;角的一边是三角形的一边;另一边是三角形中另一边的延长线.
教师活动:结合学生回答总结归纳,三角形外角的应具备的条件:
(1)角的顶点是三角形的顶点;
(2)角的一边是三角形的一边;
(3)另一边是三角形中另一边的延长线.
设计意图:外角概念探究意义不大,所以直接明晰这一概念,通过师生互动,学生思考交流,加强学生对外角概念的理解,培养学生合作交流的意识.
探究新知
问题1:如图,延长AC到E,延长BC到D,∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?
解:∠BCE是△ABC的一个外角,∠DCE不是△ABC的外角.
问题2:如图,∠ACD与∠BCE有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角?
解:∠ACD与∠BCE为对顶角,∠ACD=∠BCE;在三角形的每个顶点处都有两个外角.
问题3:你能画出△ABC的所有外角吗?
解:如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6都是△ABC的外角.
教师活动:结合学生标注的外角,总结:
每一个三角形都有6个外角.
每一个顶点相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角.
设计意图:通过其他外角进一步深化学生对外角概念的理解,为之后的有关外角的两个推论作铺垫.
探究新知
如图,∠1与其他角有什么关系?能证明你的结论吗?
解:∠1+∠4=180°;∠1>∠2,∠1>∠3;∠1=∠2+∠3.
证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180°(平角的定义),
∴∠1=∠2+∠3(等量代换).
∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
教师活动:引导学生通过这一个外角的探索,总结出三角形外角的两个定理.
教师总结:三角形内角和定理的推论:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
教师活动:说明什么是定理的推论.由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
设计意图:经历探索与证明的过程,深化对三角形外角的两个定理的理解,进一步发展推理能力.
典例精讲
例1 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.
求证:AD∥BC.
证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),
∴∠C=12∠EAC(等式的性质).
∵AD平分外角∠EAC(已知),
∴∠DAC=12∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
例2 已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.
求证:∠BPC>∠A.
证明:如图,延长BP,交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义),
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BPC>∠A.
设计意图:通过例题讲解巩固三角形外角的两个定理,提升学生解决问题的能力.
巩固训练
1.如图,在△ABC中,∠A=45°,外角∠DCA=100°,求∠B和∠ACB的度数.
解:∵∠DCA=∠A+∠B,
∠DCA=100°,∠A=45°,
∴∠B=100°-45°=55°.
又∵∠DCA+∠ACB=180°.
∴∠ACB=180°-100°=80°.
2.如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,那么∠1,∠2,∠3的和是多少度?
解:∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠ABC+∠BAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°.
设计意图:通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.
课堂小结
设计意图:将本节课所学内容以思维导图的方式进行归纳总结,从而有助于学生理解与记忆.
课堂8分钟.
1.教材第183页习题7.7第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
第2课时 三角形的外角定理
1.三角形外角的定义:△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为△ABC的外角.
2.三角形外角应具备的条件:
(1)角的顶点是三角形的顶点;
(2)角的一边是三角形的一边;
(3)另一边是三角形中另一边的延长线.
3.三角形的外角定理:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
教学反思