北师大版（2024）八年级上册2 平方根教案

这是一份北师大版（2024）八年级上册2 平方根教案，共11页。

课时目标
1.理解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
2.会求非负数的算术平方根,并初步了解算术平方根具有双重非负性.
3.经历学习算术平方根概念的过程,理解概念的本质,体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性.
4.通过对实际生活中问题的解决,感受数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣.
学习重点
理解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
学习难点
会求非负数的算术平方根,了解算术平方根具有双重非负性.
课时活动设计
回顾引入
1.将下列各数分类.
0.351,1.414 213 56…,-17,18,3.141 59,π.
有理数: 0.351,-17,18,3.141 59 ;
无理数: 1.414 213 56…,π .
无理数:无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数,关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
2.(1)根据图填空:
x2= 2 ,
y2= x2+1 = 3 ,
z2= y2+1 = 4 ,
w2= z2+1 = 5 .
(2)x,y,z,w中哪些是有理数?哪些是无理数?你能表示它们吗?
上节课我们学习了无理数,了解到了无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数,比如在a2=2中,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们就一起来研究这个问题.
设计意图:回顾无理数的定义以及如何判断一个数是否为有理数,为本节课的学习打下基础.从平方入手,为学生下面学习算术平方根找到突破口,让他们对算术平方根的求法与平方的计算这种互逆的关系形成初步认识.
探究 算术平方根的概念
教师提出问题,学生先思考,最后教师给出答案.
我们知道,如果x2=a,那么a叫做x的平方,那么x叫做a的什么呢?如何用符号表示x呢?
总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”.
例如,32=9,则3是9的算术平方根;x2=3(x>0),则x是3的算术平方根.
现在你能说出教学活动1中x,y,z,w中哪些是有理数,哪些是无理数吗?
解:x=2是无理数,y=3是无理数,z=4=2是有理数,w=5是无理数.
设计意图:给出算术平方根的定义并举例说明,通过追问引出算术平方根的符号表示,让学生明白平方和求非负数的算术平方根的运算的互逆关系,为求算术平方根作铺垫.
探究 算术平方根的性质
教师提出问题,学生了讨论交流并总结.
问题1:一个正数有几个算术平方根?负数有算术平方根吗?0有算术平方根吗?
一个正数的算术平方根只有一个,且一定为正数;
负数没有算术平方根,即当a有意义时,a一定表示一个非负数;
特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即0=0.
注意:算术平方根等于它本身的数只有0和1.
问题2:a是什么数?其中a可以取任何数吗?
总结:算术平方根具有双重非负性.
也就是说,非负数的“算术平方根”是非负数,负数不存在算术平方根,即当a<0时,a无意义.
设计意图:再一次深入理解算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.给出问题,激发学生思考,并讨论交流,引导学生从数学现象背后发现数学规律.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,教师指名学生上台板演.
例1 求下列各数的算术平方根:
(1)900;(2)1;(3)4964;(4)14.
解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即900=30;
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即1=1;
(3)因为(78)2=4964,所以4964的算术平方根为78,即4964=78;
(4)14的算术平方根是14.
例2 如图,自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?
解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,
得t2=4,解得t=4=2(s).
即铁球到达地面需要2 s.
设计意图:进一步熟悉求一个正数的算术平方根的过程,体会平方和求非负数的算术平方根的运算的互逆关系,明确有的正数的算术平方根开方开得尽,有的正数的算术平方根只能用根号表示.利用算术平方根解决实际问题,感受数学与实际生活的密切关系.
巩固训练
1.9的算术平方根是( A )
A.3 B.-3 C.81 D.-81
2.4的算术平方根是( C )
A.2 B.2 C.2 D.±2
3.求下列各数的算术平方根.
(1)100; (2)2536; (3)0.000 1.
解:(1)因为102=100,所以100的算术平方根是10,即100=10.
(2)因为562=2536,所以2536的算术平方根是56,即2536=56.
(3)因为0.012=0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01,即0.0001=0.01.
设计意图:通过巩固训练及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.
课堂小结
1.本节课我们学习的内容是什么?
2.我们学到了哪些呢?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学的内容,同学们互帮互助,解决困惑;充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第27页习题2.3第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
教学反思



第2课时 平方根
课时目标
1.了解平方根的概念、开平方的概念,进一步明确平方与开方互为逆运算.
2.会求一个数的平方根,明确算术平方根与平方根的联系与区别.
3.通过学习平方和开方互为逆运算的过程,提高分析问题和解决问题的能力.
4.通过学生在学习中互相帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培养大家的团队精神.
学习重点
了解平方根和开平方的概念,会求一个数的平方根.
学习难点
平方根和算术平方根的联系与区别.
课时活动设计
回顾引入
1.算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“a”,读作“根号a”.
2.a的含义:a的算术平方根.
3.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.
4.求下列各式的值.
36的算术平方根= 6 ;
17的算术平方根= 17 ;
81的算术平方根= 3 ;
4的算术平方根= 2 .
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质,知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a则x叫a的算术平方根,记作x=a,而且a也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(-2)2=4,那么-2叫4的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.
设计意图:回顾算术平方根的概念、性质及简单运算,为学习平方根作铺垫;通过回顾算术平方根是一个正数正的平方根,从而顺其自然引出还有一个负数的平方等于这个正数,为下面学习平方根做了心理准备.
探究 平方根的概念
教师提出问题,学生思考并解答.
1.3的平方等于9,那么9的算术平方根是 3 .
2.25的平方等于425,那么425的算术平方根是 25 .
3.0.8的平方等于0.64,那么0.64的算术平方根是 0.8 .
问题1:平方等于9,425,0.64的数还有吗?
追问1:如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
学生可能很快回答出这个数可以是3,由于(-3)2=9,那么这个数也可以是-3,教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数.
追问2:3和-3有什么特征?
互为相反数,同样的,平方等于425的数有25和-25,平方等于0.64的数有0.8和-0.8,两组数也分别互为相反数.
问题2:找出对应的x的平方的数.
解:
追问:如果我们把±1、±4、±0.8分别叫做1,16,0.64的平方根,你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗?
总结:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).
例如,3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
注意:一个正数有两个平方根,不要丢掉负的平方根.
设计意图:让学生感受一个正数的平方根有两个,进而对平方根有一定的认识,为归纳平方根的概念作铺垫;在此基础上,引导学生用文字语言仿照算术平方根的概念得到平方根的概念,使学生的学习形成正迁移.
探究新知
探究1 平方根的个数
教师提出问题,学生讨论交流并总结.
议一议:(1)一个正数有几个平方根?(2)0有几个平方根?(3)负数呢?
解:(1)正数有两个平方根,它们互为相反数.例如:9的平方根是+3和-3.
(2)0只有一个平方根,是0本身.
(3)负数没有平方根.
总结:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根;负数没有平方根.
探究2 平方根与算术平方根的联系与区别
正数a的平方根表示为
正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根a,另一个是-a,它们互为相反数.这两个平方根合起来记作±a,读作“正、负根号a”.
归纳 平方根与算术平方根的联系与区别:
联系:(1)包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种;
(2)只有非负数才有平方根和算术平方根;
(3)0的平方根是0,算术平方根也是0.
区别:(1)个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根;
(2)表示方法不同:平方根表示为±a,而算术平方根表示为a.
探究3 平方与开平方
已知一个数,求它的平方的运算,叫做平方运算.反之,已知一个数的平方,求这个数的运算叫什么?找出对应的x的平方的数.
总结:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
探究4 a2=?a2=?
问题1:(1)642等于多少?491212等于多少?
(2)7.22等于多少?
(3)对于正数a,a2等于多少?
解:(1)64;49121.(2)7.2.(3)a.
归纳:(a)2=a(a≥0).
问题2:计算下列各题:
(1)22= 2 ;(2)-22= 2 ;(3)a2= a (a≥0);
(4)a2= -a (a<0).
归纳:a2=|a|(a为任意实数).
设计意图:通过讨论交流,加深学生对平方根的性质,平方根与算术平方根的联系与区别的理解,了解平方与并平方互为逆运算;通过探究,培养学生的归纳概括能力.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程,其余题目可由学生代表板书完成,最终教师展示答题过程.
例 求下列各数的平方根:
(1)64;(2)49121;(3)0.000 4;(4)(-25)2;(5)11.
解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±64=±8.
(2)因为(±711)2=49121,所以49121的平方根是±711,即±49121=±711.
(3)(±0.02)2=0.000 4,所以0.000 4的平方根是±0.02,即±0.0004=±0.02.
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±(-25)2=±25.
(5)11的平方根是±11.
设计意图:通过例题的讲解,帮助学生正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达,熟练地求出一个数的平方根,强化学生对平方根性质的认识与应用.
巩固训练
1.关于平方根,下列说法正确的是( B )
A.任何一个数都有两个平方根,并且它们互为相反数
B.负数没有平方根
C.任何一个数只有一个算术平方根
D.以上都不对
2.求下列各数的算术平方根和平方根.
(1)(-11)2;(2)-42.
解:(1)(-11)2=121,它的算术平方根是11,平方根是±11.
(2)-42=4,它的算术平方根是2,平方根是±2.
设计意图:通过巩固训练及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯.
课堂小结
1.本节课我们学习的内容是什么?
2.我们学到了哪些呢?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课的所学内容,同学们互帮互助,解决困惑;充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第29页习题2.4第1,2,3,4,5,6题.
2.七彩作业.
教学反思