山东省济南第十三中学2024-2025学年九年级上学期9月份月考数学试题

这是一份山东省济南第十三中学2024-2025学年九年级上学期9月份月考数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知，则下列比例式成立的是（ ）
A.B.C.D.
2.一元二次方程经过配方后，可变形为（ ）
A.B.C.D.
3.如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则EF为（ ）
A.5B.6C.7D.8
4.下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A.1，2，3，4B.1，2，3，6C.2，3，4，5D.1，3，4，7
5.若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A.6B.5C.4D.3
6.下列命题正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7.如图，AD，相交 BC 于点 O，且，点 A 的对应点为点 D，若，，则 的度数为（ ）
A.20°B.30°C.40°D.50°
8.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同.从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A.B.C.D.
9.电影《长安三万里》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A.B.
C.D.
10.如图，正方形ABCD的边长是 3，，连接 AQ，DP交于点 O，并分别与边CD，BC 交于点 F，E，连接AE，下列结论：①；②；③；其中正确结论的个数（ ）
A.1B.3C.2D.0
二、填空题（共6小题）
11.若，则_________.
12.如图，直线AD，BC交于点O，，若，，，则的值为_________.
13.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼.通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼_________条.
14.如图所示，网格中相似的两个三角形是_________.（填序号）
15.如图，，，，，.点Р在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则PB的长为________.
三、解答题（共11小题）
16.解方程：
（1）；
（2）.
17.如图，四边形ABCD是菱形，于点E，于点F.求证：.
18.如图，AB、CD相交于点O，已知，，，，求证：.
19.如图，四边形ABCD相似于四边形.
（1）_______.
（2）求边x、y的长.
20.如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙长为8米），面积是30m2.求生物园的长和宽.
21.某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查.根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图.
（1）请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________；
（2）若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率.
22.阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.
数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：.
因为，
所以，
因此有最小值为1，即的最小值为1.
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式的最小值为________；
（2）求代数式的最大或最小值.
23.在中，，，，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：
（1）用含t的代数式表示_______，_______；
（2）当t为多少时，PQ的长度等于
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？
24.如图，一次函数图象分别与x轴、y轴交于点、，四边形ABCD是正方形.
（1）求一次函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标.
25.【问题背景】如图1，在和中，，，由已知可以得到：
①△_______≌△_______；
②△_______∽△_______.
【尝试应用】如图2，在和中，，，
求证：.
【问题解决】如图3，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值.
九年级月考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1.【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
【解答】解：A、由得，故本选项错误；
B、由得，故本选项正确；
C、由得，故本选项错误；
D、由得，故本选项错误.
故选：B.
2.【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.
【解答】解：，
，
，
，
故选：C.
3.【分析】由两条直线被三条平行线所截，利用平行线分线段成比例，即可求出EF的长.
【解答】解：∵两条直线被三条平行线所截，
∴，即，
∴.
故选：B.
4.【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例.
【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；
B、1×6=2×3，所以B选项符合题意；
C、2×5≠4×3，所以C选项不符合题意；
D、1×7≠3×4，所以D选项不符合题意；
故选：B.
5.【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于m的方程即可.
【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解，
∴，
解得.
故选：C.
6.【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；
故选：C.
7.【分析】根据题意可知，又因，再利用三角形内角和定理即可求出本题答案.
【解答】解：∵，，∴，
∵，∴，
故选：D.
8.【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算.
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
所以两次摸到相同颜色的棋子的概率.
故选：C.
9.【分析】由该市第一天票房及每天票房的增长率，可得出该市第二、第三天的票房，结合三天后累计票房收入达10亿元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
【解答】解：∵该市第一天票房约2亿元，且每天票房的增长率为x，
∴该市第二天票房约亿元，第三天票房约亿元.
根据题意得：.
故选：D.
10.【分析】由四边形ABCD是正方形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质得到；故①正确；根据相似三角形的性质得到，由，得到；故②错误；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确.
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故结论①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴；故结论②错误；
在与中，
，
∴，
∴，∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；故结论③正确；
故选：C.
二、填空题（共6小题）
11..
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答.
【解答】解：∵，∴，∴，
故答案为：.
12..
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可.
【解答】解：∵，，∴，
∵，
∴，
故答案为：.
13.2000
【分析】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可.
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得，
解得，
经检验为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼2000条.
故答案为：2000.
14.①③
【分析】先求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解.
【解答】解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，，；
图形④的三边为：3，，，
∵，，
∴①与③相似，
故答案为：①③.
15.【分析】设，则，根据垂直的定义得到，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，，即；然后分别解方程求出x即可.
【解答】解：设，则，
∵于B，于D，∴，
当时，，
即，
解得：，
∴，
当时，，即；
整理得，
解得，，
，，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似.
故答案为：8.4或2或12.
三、解答题（共11小题）
16.【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式得出即可；
（2）直接利用公式法求出方程的根即可.
【解答】解：（1），
∴，
∴，；
（2），
∵，，，
∴，
则，
∴，.
17.【分析】由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知，；然后根据已知条件“，”知；最后由全等三角形的判定定理AAS证明.
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，，∴，
在和中，
，
∴.
18.【分析】根据，，结合可得，利用相似三角形的性质即可求证.
【解答】证明：∵，，∴
∵，∴，
∴.
19.（1）69°
【分析】（1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案；
（2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案.
【解答】解：（1）∵四边形四边形，
∴，∴；
故答案为：69°；
（2）∵四边形四边形，
∴，
∴，
解得：，.
20.【分析】可设宽为xm，则长为，根据等量关系：面积是30m2.列出方程求解即可.
【解答】解：设宽为xm，则长为.
由题意，得，
解得，.
当时，16-2×3=10，
当时，16-2×5=6.
答：围成矩形的长为10m、宽为3m，或长为6m、宽为5m.
21.（1）①240②36°
【分析】（1）①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数.
②用360°乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案.
（2）根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案.
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案
【解答】解：（1）①参加问卷调查的学生人数为84÷35%=240（人）.
故答案为：240.
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为.
故答案为：36°.
（2）扇形统计图中“D”对应的百分比为，
∴扇形统计图中“C”对应的百分比为1-25%-35%-10%=30%，
2000×30%=600（人），
∴该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人.
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有2种，
∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为.
22.（1）3
【分析】利用配方法将代数式进行变形后再利用偶次幂的非负性即可求得答案.
【解答】解：（1）原式，
∵，∴，
即代数式的最小值为3，
故答案为：3；
（2）原式
，
∴，
∴，
则代数式的最大值为10.
23.（1）；
【分析】（1）利用距离=速度×时间分别求得线段CP，CQ的长度即可得到结论；
（2）在中，利用勾股定理列出方程即可求解；
（3）分两种情况：①和②，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解.
【解答】解：（1）∵动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，点P的速度是2cm/s，
∴，
∵动点Q从点B出发，沿线段BC向点C方向运动，点Q的速度是1cm/s，
∴，
∴.
故答案为：；；
（2）在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得：或，
∴当t为0.2或3秒时，PQ的长度等于；
（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且，
①当时，，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴，
即当t为2或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似.
24.【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）首先过点D作轴于点E，易证得，则可求得DE与AE的长，继而可求得点D的坐标；
（3）分别从当时，四边形OMBN为菱形，当时，四边形BOMN为菱形，当时，四边形BONM为菱形.去分析求解，即可求得答案.
【解答】解：（1）把、代入一次函数，
得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）如图，过点D作轴于点E，
∴，，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为（14，8）；
（3）存在.
①如图，当时，四边形OMBN为菱形.连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分，
∴，
∴当时，，
解得：，
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（-4，3）.
②如图，当时，四边形BOMN为菱形.延长NM交x轴于点P，则轴.
∵点M在直线上，
∴设点M的坐标为，
在中，，
即：，
解得（舍去），
∴点M的坐标为，
∵，
∴点N的坐标为，
③如图，当时，四边形BONM为菱形.设NM交x轴于点P，则轴.
∵点M在直线上，
∴设点M的坐标为，
∴点N的坐标为，
在中，，
即：，
解得（舍去），
∴点N的坐标为，
综上，在平面内存在点N，其坐标为、（-4，3）或.
25.①ABD ACE②ABC ADE
【分析】【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；
【尝试应用】由，得，，则，从而证明结论；
【问题解决】连接CE，利用两个角相等可证，得，得，且，从而解决问题.
【解答】【问题背景】∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：①；②.
【尝试应用】∵，
∴，，
∴，
∴；
【问题解决】连接CE，
由【尝试应用】知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴.