2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）月考数学试卷（12月份），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（ ）
A．m＜﹣5B．﹣5＜m＜﹣4C．﹣4＜m＜﹣3D．m＞﹣3
2．（4分）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60°B．90°C．180°D．360°
3．（4分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
4．（4分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB=α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α
5．（4分）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣B．C．﹣3D．2
6．（4分）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（-2，-6），C（0，0）等都是“三倍点”．在-3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
7．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36°B．BC＝AE
C．D．
8．（4分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
9．（4分）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF=CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．（4分）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 ．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE= °．
13．（4分）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB=4cm,则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据：≈1.73）
14．（4分）已知反比例函数（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1•x2＞0，请写出一个满足条件的k值 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m,2）．连接OA，OB，AB．若OA=AB，∠OAB=90°，则k的值为 ．
16．（4分）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝
19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE=DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=10，tan∠BAC=2，求四边形ABCD的面积．
20．（8分）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．
表1
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
将图2中的统计图补充完整，并直接写出a,b,c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
21．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cs18°≈0.951，tan18°≈0.325）
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=（k≠0）交于A（-m,3m），B（4，-3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
（10分）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
24．（10分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
1．【答案】B
【解答】解：m＝5﹣
＝﹣6
＝﹣6
＝﹣2
＝﹣，
∵16＜20＜25，
∴＜＜，
即4＜＜5，
那么﹣7＜﹣＜﹣4，
则﹣5＜m＜﹣7，
故选：B．
2．【答案】B
【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，120°，240°，360°，
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝18+42＝17，BE8＝12+72＝17，EG2＝42+55＝34，
∴BG2+BE2＝EG4，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a2＝＝＝﹣5，
a3＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
a5＝＝＝2，
……，
∴an的值按照2，﹣3，﹣，，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是﹣，
故选：A．
6．【答案】D
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜5的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜3的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令5x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+7x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣3ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣4+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣7＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝7代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝2x得y＝3，
∴3＞﹣8+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜2．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合题意；
故选：C．
8．【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
9．【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，
则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP、44°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
10．【答案】D
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD＝，
∴，
即PM+PN的最小值为，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADE，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴，
即DE2＝GE•AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE•AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝3，
又，
∴，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣7b＝6，即3a﹣b＝8，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣2＝2019．
故答案为：2019．
12．【答案】15．
【解答】解：连接AE、BE，
∵AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠EAB＝60°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AE＝AD，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
故答案为：15．
13．【答案】6.9．
【解答】解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB、B，
连接OC，OB，
如图所示：
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，又∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB＝60°，
在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，
∴tan∠OAB＝，
∴OB＝tan∠OAB×AB＝＝4，
∴这张光盘的半径为6.9cm．
故答案为：3.9．
14．【答案】1.5（满足1＜k＜2都可以）．
【解答】解：∵﹣7＜0，
∴一次函数y＝﹣8x+b的图象必定经过第二、四象限，
∵x1•x2＞4，
∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
∴反比例函数反比例函数（k＞3且k≠2）的函数图象经过第一，
∴6﹣2k＞0，
∴1＜k＜4，
∴满足条件的k值可以为1.5，
故答案为：5.5（满足1＜k＜6都可以）．
15．【答案】2﹣2．
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），4﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（4﹣m），
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），
∴点A的坐标为（﹣1+，7），
∴k＝xy＝2（﹣5）＝2．
16．【答案】（n2+n+1，n2+2n+2）．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，31，．．．，
即5×2+1，4×3+1，6×5+1，..．，
则第n个数对的第一个数为n3+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，26，..．，
即72+1，22+1，42+1，62+1，．．．，
则第n个数对的第二个数为（n+3）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n7+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+7，n2+2n+2）．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．【答案】3．
【解答】解：原式＝+2+2﹣
＝3．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝．
19．【答案】（1）见解析；
（2）80．
【解答】（1）方法一：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠DOE＝∠BOE，
∵∠DOE+∠BOE＝180°，
∴∠DOE＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
方法二：证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠BEO＝∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC＝，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝3，BD＝2BO＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝．
20．【答案】（1）补全统计图见解答，a＝8，b＝8.55，c＝87.5%；
（2）1050人；
（3）专项安全教育活动的效果良好．
【解答】解：（1）8分人数为：40×35%＝14（人），
故7分人数为：40﹣3﹣8﹣13﹣14＝3（人），
补全统计图如下：
故众数a＝7，
平均数b＝（2×6+3×7+14×7+13×9+8×10）＝5.55；
合格率c＝＝87.6%；
（2）1200×87.5%＝1050（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人；
（3）专项安全教育活动的效果良好，理由如下：
专项安全教育活动后，学生测试成绩的平均数，所以专项安全教育活动的效果良好．
21．【答案】该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，
由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AF＝BG，
设AF＝BG＝x米，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝2（米），
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF•tan45°＝x（米），
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米），
∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝7.325x（米），
∴1.325x＝53，
解得：x＝40，
∴PF＝40米，
∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米），
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
22．【答案】（1）反比例函数的表达式为 y＝﹣，一次函数的表达式为y＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 ，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y＝﹣，
∴．
∴m1＝2，m4＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，6），﹣3）分别代入，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝﹣．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝•OC•|xA|+•OC•|xB|
＝×3×6+
＝7．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜3．
23．【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）最多可以购买1400株牡丹．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣8＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣7×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
24．【答案】见解答．
【解答】（1）解：过点F作FH⊥AC，FG⊥AB、G，如图：
∵点E是△ABC的内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵FH⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵S△ABF＝，S△ACF＝，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，
∵S△ABF＝，S△ACF＝，
∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，
由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
∴AB：AC＝BF：FC，
（3）证明：连接DB、DC，
∵，，
∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，
∴△BFD∽△AFC，
∴BF•CF＝AF•DF，
∵，
∴∠FBA＝∠ADC，
又∠BAD＝∠DAC，
∴△ABF∽△ADC，
∴，
∴AB•AC＝AD•AF，
∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF8+AF•DF，
∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．
（4）连接BE，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴DB2＝DA•DF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，
∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝+，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DE2＝DA•DF，
25．【答案】（1）∠BDC＝60°，；
（2）；
（3）4．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如图4，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴，
∴，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如图3，连接AC，EA与EC重合，连接PP'，
矩形ABCD中，AD＝BC＝，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝8，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，
∴，
∴当点P，C，P′三点共线时，
此时为 ．
26．【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；
（2）；
（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．
【解答】解：（1）在 y＝﹣ax2+5ax+5（a＞0）中，当x＝0时，
∴C（7，2），
∵抛物线解析式为 y＝﹣ax2+7ax+2（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴D（5，2）；
（2）当 时，
当y＝0时，，
解得 x＝﹣1或 x＝6，
∴A（﹣6，0），
如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，
由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，
，
∴3m+n＝12，
∴n＝12﹣4m
∴m2+2m+6+144﹣72m+9m2＝25，
∴m2﹣7m+12＝0，
解得m＝8或m＝4（舍去），
∴n＝12﹣3m＝5，
∴N（3，3），
设直线DP的解析式为y＝kx+b7，
∴，
解得，
∴直线DP的解析式为 ，
联立，
解得或，
∴P（，）；
（3）①当a＝1时，抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+2，E（1，F（7，
∴EH＝EF＝FG＝4，
∴H（1，6），6），
当x＝1时，y＝﹣52+5×7+2＝6，
∴抛物线 y＝﹣x6+5x+2 恰好经过H（5，6）；
∵抛物线对称轴为直线 ，由对称性可知抛物线经过（4，
∴点（4，5）为抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点F（5，2）；
综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（8，（4，（5；
 ②如图，当抛物线与GH、D时，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.6，
∴，
∴a2+1.5a﹣8＝0，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝3.5；
如图，当抛物线与GH、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴，
解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图，当抛物线与EH、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，
解得 或 ；
当 时2+2ax+2＝6.25a+8，
当时，8.25a+2＞6+a﹣，
∴ 不符合题意；
综上所述，a＝3.5．分数/分
人数/人
2
4
5
6
6
8
7
8
8
12
9
2
平均数/分
众数/分
中位数/分
合格率
第一次
6.4
a
7
35%
第二次
b
8
9
c