山东省济南市长清区平安中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市长清区平安中学2024-2025学年九年级上学期开学测数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 若，则的值为（ ）
A 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵，
∴==，
故选：D
2. 方程x（x+2）＝0的根是（ ）
A. x＝2B. x＝0C. x1＝0，x2＝﹣2D. x1＝0，x2＝2
【答案】C
【解析】
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】解：x（x+2）＝0，
∴x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故选：C．
【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
3. 不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次记录的图案都是甲的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次记录的图案都是甲的结果数为1，
所以两次记录图案都是甲的概率＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
4. 用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（ ）
A. =1B. =1C. =7D. =4
【答案】A
【解析】
【详解】用配方法解方程-4x+3=0，
移项得：-4x=-3，
配方得：-4x+4=1，
即=1．
故选：A．
5. 如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，
∴，解得DE＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，读懂题意，结合图形得到相应比例求解是解决问题的关键．
6. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
7. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参力口其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，
故选：C．
8. 若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，设另一个根为，根据一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：设另一个根为，则：，
∴．
故选：C．
9. 在本次新冠疫情中，因为某些发达国家控制不力，导致全球不少人被感染，其中有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有人患了流感，经过第二轮后有人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的运用，根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数是解本题的关键．
10. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案．
【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
二、填空题
11. 时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球，
∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小．
12. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠D=∠B（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时△ABC∽△ADE．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）．
13. 如果方程的两个实数根分别是，那么_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵方程的两个实数根分别是，
∴．
故答案为：3．
14. 五边形五边形，相似比为，若，则___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可．
【详解】解：五边形五边形相似比为．
，
，
．
故答案为：6
15. 小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有1种情况，
∴两同学同时出“剪刀”的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率．
16. 原价为100元的衣服，连续两次降价，现价64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能从题目中得到合适的信息列出方程是解题的关键．先根据题意，设每次降价的百分率为x，根据连续两次降价，现价64元列方程求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为元，
根据题意得：．
即．
解之得（舍去），．
即每次降价的百分率为0.2，即．
故答案为：．
三、解答题
17. 用恰当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9=0；
（2）x2＋4x﹣1=0；
（3）x2﹣3x﹣2=0；
（4）（x﹣1）（x＋3）=5（x﹣1）．
【答案】（1）x1＝0，x2＝6
（2）x12，x22
（3）x1，x2
（4）x1＝1，x2＝2
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：（x﹣3）2﹣9=0，
（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）=0，
x﹣3+3=0或x﹣3﹣3=0，
所以x1=0，x2=6；
【小问2详解】
解：x2+4x﹣1=0，
x2+4x=1，
x2+4x+4=5，
（x+2）2=5，
x+2=±，
所以x1-2，x2-2；
【小问3详解】
解：x2﹣3x﹣2=0，
a=1，b=﹣3，c=﹣2，
∵Δ＝9﹣4×1×（﹣2）=9+8=17＞0，
∴x，
∴x1，x2；
【小问4详解】
解：（x﹣1）（x+3）=5（x﹣1），
移项得：（x﹣1）（x+3）﹣5（x﹣1）=0，
因式分解得（x﹣1）（x+3﹣5）=0，
整理得（x﹣1）（x﹣2）=0，
即x﹣1=0或x+3﹣5=0，
所以x1=1，x2=2．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，在解答此类问题时要根据方程的特点选择适当的方法求解．
18. 如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
，
∴，
．
19. 一元二次方程的一个根是，求另一个根及k的值．
【答案】另一个根是5，k的值为
【解析】
【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得，解得a，再把代入方程求得k．
【详解】解：设它的另一个根是a，则
，
解得，
把代入方程，得
，
解得．
答：另一个根是5，k的值为．
【点睛】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系，．
20. 在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会?
【答案】10人
【解析】
【详解】试题分析：设共有x名同学参加了聚会，根据“每两名同学之间都互送了一件礼物，共送了90件礼物”即可列方程求解.
解：设共有x名同学参加了聚会，由题意得
x(x-1)=90
解得x1=-9，x2=10
经检验x=-9不符合实际意义，舍去
∴x=10
答: 共有10人参加了聚会.
考点：一元二次方程的应用
点评：解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意舍去不符合题意的解.
21. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
（1）甲选择“校园安全”主题的概率为______；
（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，甲选择“校园安全”主题的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D，
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，
则甲和乙选择不同主题的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析
【解析】
【分析】（1）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为xm，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出△的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝150，
解得：x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，
当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（35﹣2x）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
23. 如图，在中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点分别从点同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为．
（1）填空：____________，____________（用含的代数式表示）．
（2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）当时，使得的面积为
【解析】
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案；
（2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，使得的面积为．
24. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
（2）用画树状图或列表方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：共有张卡片，
第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为
故答案为：．
【小问2详解】
树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
25. 大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【答案】（1）购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【解析】
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
【小问2详解】
解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
【小问3详解】
解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26. 在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：
（1）用含t的代数式表示的面积S；
（2）当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）
（2）
（3）秒或秒
【解析】
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题．
（1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
（2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
（3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间．
【小问1详解】
解：由题意得，
则，
∴的面积为；
【小问2详解】
解：由题意得，
则，
当秒时，，
在中，由勾股定理得；
【小问3详解】
解：由题意得，
则，
∵．
∴①当时，，
即，
解得秒；
②当时，，
即，
解得秒．
∴秒或秒时，以点、、为顶点三角形与相似．类别
价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价（元/枚）
15
20
销售价（元/枚）
25
32