2024年北京市延庆县名校数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份2024年北京市延庆县名校数学九上开学统考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2、（4分）关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限； ④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、（4分）如图，在菱形中，是菱形的高，若对角线、的长分别是6、8，则的长是
A．B．C．D．5
4、（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④△PBF是等边三角形，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
5、（4分）Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )
A．8B．4C．6D．无法计算
6、（4分）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）某家庭今年上半年1至6月份的月平均用水量5t，其中1至5月份月用水量（单位：t）统计表如图所示，根据信息，该户今年上半年1至6月份用水量的中位数和众数分别是（ ）
A．4，5B．4.5，6C．5，6D．5.5，6
8、（4分）直线y=x-2与x轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0）B．（-2，0）C．（0，-2）D．（0，2）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一种运算：规则是x※y＝－，根据此规则化简（m+1）※（m－1）的结果为_____.
10、（4分）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为______________．
11、（4分）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_______元/千克．
12、（4分）将一次函数y＝﹣2x﹣1的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是_____．
13、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，AD是△ABC的角平分线．求作AB的垂直平分线MN交AD于点E，连接BE；并证明DE＝DB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
15、（8分）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图 1，图 2 都是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图 1 中画出△ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同时构造正方形 BDEF， 使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C，A，她借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图 1 中，小颖所画的△ABC 的三边长分别是 AB＝ ，BC＝ ，AC
＝ ；△ABC 的面积为 ． 解决问题：
（2）已知△ABC 中，AB＝，BC＝2 ，AC＝5 ，请你根据小颖的思路，在图 2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC 的面积．
16、（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
（1）请估计当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）；
（2）假如随机摸一次，摸到白球的概率P（白球）＝______；
（3）试估算盒子里白色的球有多少个？
17、（10分）某班进行了一次数学測验，将成绩绘制成频数分布表和频数直方图的一部分如下:
(1)在频数分布表中，的值为________，的值为________；
(2)将频数直方图补充完整；
(3)成绩在分以上(含)的学生人数占全班总人数的百分比是多少?
18、（10分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD＝2BD，AC＝3，BC＝2，求BD的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一组数据5，a，2，，6，8的中位数是4，则a的值是_____________．
20、（4分）某中学组织八年级学生进行“绿色出行，低碳生活”知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩，把学生成绩分成五个等级，并绘制如图所示的扇形统计图(不完整)统计成绩，则等级所在扇形的圆心角是_______º.
21、（4分）若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，的取值范围是__________．
22、（4分）如图，矩形中，, 将矩形绕点顺时针旋转,点分别落在点处,且点在同一条直线上,则的长为__________．
23、（4分）已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的周长是______cm，面积是______cm1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
25、（10分）阅读下列材料：
关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
26、（12分）选择合适的点，在如图所示的坐标系中描点画出函数的图象，并指出当为何值时，的值大于1．

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可.
【详解】
∵点P的纵坐标为，
∴点P在直线y＝上，
①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)；
②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB•OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
综上所述，符合条件的点P有3个，
故选D．
本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.
2、C
【解析】
①将x=0代入一次函数解析式中求出y值，由此可得出结论①符合题意；②由k=1＞0结合一次函数的性质即可得出y随x的增大而增大，即结论②符合题意；③由k、b的正负结合一次函数图象与系数的关系即可得出该函数图象经过第一、三、四象限，即结论③不符合题意；④根据平移“左加右减”即可得出将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1，即结论④符合题意．综上即可得出结论．
【详解】
①当x=0时，y=-1，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，-1），结论①符合题意；
②∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，结论②符合题意；
③∵k=1＞0，b=-1＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，结论③不符合题意；
④将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1，
∴结论④符合题意．
故选：C．
考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象与几何变换，逐一分析四条结论是否符合题意是解题的关键．
3、B
【解析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．
【详解】
解：四边形是菱形
，，
故选：．
本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．
4、D
【解析】
求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，由此得出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，故④正确．
【详解】
∵AE=AB，∴BE=2AE，
由翻折的性质得：PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，∴EF=2PE，
∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③正确；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
则∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确．
故选D．
本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
5、A
【解析】
利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=1．
故选A．
6、D
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断即可．
【详解】
A． 是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B． 中，结果不是整式乘积的形式，故本选项不符合题意；
C． 中，等式的左侧不是多项式，故本选项不符合题意；
D． 是因式分解，故本选项符合题意．
故选D．
此题考查的是因式分解的判断，掌握因式分解的定义是解决此题的关键．
7、D
【解析】
先根据平均数的定义求出1月份的用水量，再根据中位数和众数的定义求解可得．
【详解】
解：根据题意知1月份的用水量为5×1-（3+1+4+5+1）=1（t），
∴1至1月份用水量从小到大排列为：3、4、5、1、1、1，
则该户今年1至1月份用水量的中位数为、众数为1．
故选：D
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是根据平均数定义求出1月份用水量．求中位数时要注意先对数据排序．
8、A
【解析】
令y=0，求出x的值即可
【详解】
解：∵令y=0，则x=2，
∴直线y=x-2与x轴的交点坐标为（2，0）．
故选：A．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据题目中的运算法则把（m+1）※（m－1）化为，再利用异分母分式的加减运算法则计算即可.
【详解】
∵x※y＝－，
∴（m+1）※（m－1）
=
=
=
=
故答案为：.
本题考查了新定义运算，根据题目中的运算法则把（m+1）※（m－1）化为是解本题的关键．
10、1
【解析】
设反比例函数的解析式是：y=，设A的点的坐标是（m，n），则AB=m，OB=n，mn=k．根据三角形的面积公式即可求得mn的值，即可求得k的值．
【详解】
设反比例函数的解析式是：y=，设A的点的坐标是（m，n）．
则AB=m，OB=n，mn=k．
∵△ABP的面积为2，
∴AB•OB=2，即mn=2
∴mn=1，则k=mn=1．
故答案是：1．
此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是|k|．
11、1．
【解析】
解：设售价至少应定为x元/千克，
依题可得方程x（1-5%）×80≥760，
解得x≥1
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用．
12、y＝﹣1x+1
【解析】
根据平移法则上加下减可得出解析式．
【详解】
由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣1x﹣1+3＝﹣1x+1．
故答案为：y＝﹣1x+1．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
13、x≥-2且x≠1
【解析】
根据二次根式被开方数大于等于1，分式分母不等于1列式计算即可得解．
【详解】
解：由题意得，x+2≥1且2x≠1，
解得:x≥-2且x≠1．
故答案为：x≥-2且x≠1．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为1；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析．
【解析】
如图,利用基本作图作MN垂直平分AB得到点E,先计算出∠BAC=36°,再利用AD是△ABC的角平分线得到∠DAB=18°,再利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EBA=∠EAB=18°,接着利用三角形外角性质得到∠DEB=36,然后计算出∠DBE=36°得到∠DEB=∠DBE,从而得到DE=DB
【详解】
如图，点E为所作；
∵∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠BAC＝36°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAB＝ ×36°＝18°，
∵MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠EAB＝18°，
∴∠DEB＝∠EAB+∠EBA＝36°，
∵∠DBE＝54°﹣18°＝36°，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB．
此题考查线段垂直平分线的性质和作图一基本作图，解题关键在于利用垂直平分线的性质解答
15、（1）；（2）图见解析，1
【解析】
根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
【详解】
解：（1）AB＝＝1，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC 的面积为：4×4﹣×3×4-×1×4﹣×3×1＝ ，
故答案为：1; ;;;
（2）△ABC 的面积：7×2﹣×3×1﹣ ×4×2﹣ ×7×1＝1．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16、（1）0.1；（2）0.1；（3）30个
【解析】
（1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率．
（2）根据概率与频率的关系即可求解；
（3）根据摸到白球的频率即可得到白球数目．
【详解】
解：（1）由表中数据可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.1，
故答案为：0.1．
（2））∵摸到白球的频率为0.1，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)=0.1，
故答案为0.1；
（3）盒子里白色的球有50×0.1=30（只）．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
17、（1）10,0.1；（2）答案见解析；（3）占全班总人数百分比为.
【解析】
（1）先计算参加数学測验的总人数，根据a=总人数-各分数段的人的和计算即可得解，b=1-各分数段的频率的和计算即可得解；
（2）根据（1）补全直方图；
（3）求出成绩在分以上(含)的学生人数除以总人数即可．
【详解】
(1)∵参加数学測验的总人数为：
∴，
(2) 如图：该直方图为所求作.
.
(3)成绩在分以上的学生人数为人，全班总人数为人，
占全班总人数百分比为
本题考查了频数（率）分布直方图及频数（率）分布表；概率公式，掌握频数分布直方图及频数分布表是解题的关键
18、．
【解析】
试题分析：因为CD⊥AB，所以△ACD和△BCD都是直角三角形，都利用勾股定理表示CD的长，得到方程即可求解．
试题解析：根据题意CD2=AC2-AD2=32-（2BD）2=9-4BD2，
CD2=BC2-BD2=22-BD2=4-BD2，
∴9-4BD2=4-BD2，
解得BD2=，
∴BD=．
考点：勾股定理．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先确定从小到大排列后a的位置，再根据中位数的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意，a的位置按照从小到大的排列只能是：﹣1，2，a，5，6，8；
根据中位数是4，得：，解得：a=1．
故答案为：1．
本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．
20、72°
【解析】
根据扇形统计图计算出C等级所在的扇形的圆心角，即可解答
【详解】
C等级所在的扇形的圆心角=(1−25%−35%−8%−12%)⋅360°=72°，
故答案为：72°
此题考查扇形统计图，难度不大
21、
【解析】
此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】
解不等式①得，x＜5，
解不等式②得，x≥2+2a，
由上可得2+2a≤x＜5，
∵不等式组恰好只有四个整数解，即1，2，3，4；
∴0＜2+2a≤1，
解得，.
此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的取值范围，然后根据不等式组恰好只有四个整数解即可解出a的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22、
【解析】
根据平行的性质，列出比例式，即可得解.
【详解】
设的长为
根据题意，得
∴
又∵
∴
∴
解得（不符合题意，舍去）
∴的长为.
此题主要考查矩形的性质，关键是列出关系式，即可解题.
23、10，14
【解析】
解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，∴菱形的两条对角线长的一半分别为4cm和3cm，根据勾股定理，边长==5cm，所以，这个菱形的周长是5×4=10cm，面积=×8×6=14cm1．故答案为10，14．
点睛：本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，另外，菱形的面积可以利用底乘以高，也可以利用对角线乘积的一半求解．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】
由①得，x≥-1，
由②得，x＜3，
所以，不等式组的解集为：-1≤x＜3，
在数轴上表示如下：
本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
25、猜想的解是，．验证见解析；，．
【解析】
此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．
【详解】
猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；
由得，
，，
，．
考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.
26、图象见详解；时，．
【解析】
任意选取两个的值，代入后求得对应值，在网格上对应标出，连接，可得所需直线，根据已画图象可得时，的取值范围．
【详解】
在函数中，
当时，，
当时，，
描点，画图如下：
由图可知， 时，．
本题考查了一次函数图象的画法，及根据图象求符合条件的的取值范围的问题，熟练掌握相关技巧是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
摸到球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的概率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
成绩
频数（人数）
频率