2025届北京市延庆县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届北京市延庆县九年级数学第一学期开学综合测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．5，12，13D．5，6，7
2、（4分）计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）已知中，,则等于( )
A．6B．8C．10D．12
4、（4分）如图，在△ABC中，BC=15，B1、B2、…B9、C1、C2、…C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+…+B9C9的值是（ ）
A．45B．55C．67.5D．135
5、（4分）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）分解因式x2-4的结果是
A．B．
C．D．
7、（4分）一个平行四边形的两条对角线的长分别为8和10，则这个平行四边形边长不可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
8、（4分）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）观察下列按顺序排列的等式：，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_____．
10、（4分）如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是________．
11、（4分）要使分式的值为1，则x应满足的条件是_____
12、（4分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1_____y2（填“＜”或“＞”）
13、（4分）计算：（2+）（2－）=_______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：
（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？
（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？
15、（8分）已知关于x的方程 (m-1)x-mx+1=0。
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若m为整数，当m为何值时，方程有两个不相等的整数根。
16、（8分）求证：等腰三角形的底角必为锐角． （请根据题意画出图形，写出已知、求证，并证明）
已知：
求证：
证明：
17、（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（0，4），点C在x轴的正半轴上，点D为OC的中点．
（1）当BD与AC的距离等于2时，求线段OC的长；
（2）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线BD的解析式．
18、（10分）计算：(2﹣1)2+(+4)(-4)．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b＞kx-1的解集______．
20、（4分）如图，在矩形中，沿着对角线翻折能与重合，且与交于点，若，则的面积为__________.
21、（4分）A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得浓度为31.5%，测量发现，，，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两瓶酒精全部混合后的浓度为______．
22、（4分）在5张完全相同的卡片上分别画上等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆．在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是________．
23、（4分）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=20米，则AB的长为___________米．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
25、（10分）如图，在矩形ABCD中，AC＝60 cm，∠BAC＝60°，点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，同时点F从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E，F运动的时间是t秒(0（1）求证：AE＝OF；
（2）四边形AEOF能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△OEF为直角三角形？请说明理由．
26、（12分）解不等式组：．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．
【详解】
解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形；
B、42+52≠62，故不能构成直角三角形；
C、52+122＝132，故能构成直角三角形；
D、52+62≠72，故不能构成直角三角形．
故选C．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2、A
【解析】
直接根据进行计算即可．
【详解】
解：；
故选：A.
本题考查了二次根式的计算与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则.
3、B
【解析】
直接利用锐角三角三角函数关系得出AC的长．
【详解】
如图所示：
，
，
，
．
故选B．
此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确画出图形是解题关键．
4、C
【解析】
当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1=BC；
当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2=BC+BC；
…
当B1，B2，C1，…，Cn分别是AB，AC的n等分点时，
B1C1+B2C2+…+Bn﹣1Bn﹣1=BC+BC+…+BC=BC=7.1（n﹣1）；
当n=10时，7.1（n﹣1）=67.1；
故B1C1+B2C2+…+B9C9的值是67.1．
故选C．
5、B
【解析】
通过一次函数的定义即可解答.
【详解】
解：已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
故k＞0,
即一次函数y=x+k的图象过一二三象限，
答案选B.
本题考查一次函数的定义与性质，熟悉掌握是解题关键.
6、C
【解析】
本题考查用公式法进行因式分解.根据该题特点:两项分别是x和2的平方,并且其符合相反,可以用平方差公式进行分解.
【详解】
x2-4=(x-2)(x+2).故选C.
本题考查用公式法进行因式分解,解题的关键是能熟记用公式法进行因式分解的式子的特点.
7、D
【解析】试题分析：根据平行四边形的对角线互相平分和三角形三边关系可求得平行四边形边长的取值范围，可求得答案．
解：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC=8，BD=1，且交于点O，
则AO=AC=4，BO=DO=BD=5，
∴5﹣4＜AB＜5+4，5﹣4＜AD＜5+4，
即1＜AB＜9，1＜AD＜9，
故平行四边形的边长不可能为1．
故选D．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形三边关系，由三角形三边关系求得平行四边形边长的取值范围是解题的关键．
8、B
【解析】
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD=，∠BCD=90°．
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=BC=，CF=CD=，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=CE=，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=．
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、．
【解析】
根据题意可知，
∴．
10、x＞－2
【解析】
根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．
【详解】
解：观察图象知，当x＞－2时，y＝3x＋b的图象在y＝ax－3的图象的上方，故该不等式的解集为x＞－2
故答案为：x＞-2
本题考查了议程函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大．
11、x=－1.
【解析】
根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】
由题意可知：=1，
∴x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解.
故答案为：x=-1．
本题考查解分式方程，注意，别忘记检验，本题属于基础题型．
12、＞．
【解析】
依据k＝﹣8＜0，可得此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系．
【详解】
∵y＝﹣，在二四象限，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，﹣2＞﹣3，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图像是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内，y随x的增大而增大.
13、1
【解析】
根据实数的运算法则，利用平方差公式计算即可得答案.
【详解】
（2+）（2－）
=22-()2
=4-3
=1.
故答案为：1
本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用平方差公式是解题关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）250；（2）甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利： 254元．
【解析】
试题分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；
（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果乙店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．
解：（1）经销商能盈利=5×11+5×17+5×9+5×13=5×50=250；
（2）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果（10﹣x）箱，
乙店配A种水果（10﹣x）箱，乙店配B种水果10﹣（10﹣x）=x箱．
∵9×（10﹣x）+13x≥100，
∴x≥2，
经销商盈利为w=11x+17•（10﹣x）+9•（10﹣x）+13x=﹣2x+1．
∵﹣2＜0，
∴w随x增大而减小，
∴当x=3时，w值最大．
甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：﹣2×3+1=254（元）．
15、（1）见解析；（2）m=0
【解析】
（1）分该方程为一元二次方程和一元一次方程展开证明即可。
（2）利用因式分解解该一元二次方程，求出方程的根，利用整数概念进行求值即可
【详解】
解：（1）当 时， 是关于x的一元二次方程。

∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
当m=1时，是关于x的一元一次方程。
∴-x+1=0
∴x=1
∴方程有实数根x=1
∴不论m为何值时，方程总有实数根
（2）
分解因式得
解得：
∵方程有两个不相等的整数根
∴为整数，
∴ 且
∴m=0
本题考查了根的判别式，掌握方程与根的关系，及因式分解解一元二次方程，和整数的概念是解题的关键.
16、详见解析
【解析】
根据题意写出已知、求证，假设∠B=∠C≥90°，计算得出∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理矛盾，从而得出假设不成立即可．
【详解】
解：求证：等腰三角形的底角必为锐角．
已知：如图所示，△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C<90°．
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
假设∠B=∠C≥90°
∴∠B+∠C≥180°
∵∠A>0°
∴∠A+∠B+∠C>180°
与三角形内角和定理∠A+∠B+∠C=180°矛盾
∴假设不成立
∴等腰△ABC中∠B=∠C<90°，即等腰三角形的底角必为锐角．
本题考查了命题的证明，等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意写出已知求证，并提出假设，推翻假设．
17、（1）；（2） y＝－x＋1.
【解析】
（1）作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（2）根据平行四边形的性质可得出DE⊥OC，利用等腰三角形的三线合一可得出△OEC为等腰三角形，结合OE⊥AC可得出△OEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出点C、D的坐标，由点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式．
【详解】
（1）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，6），
∵BD∥AC，BD与AC的距离等于2，
∴BF=2，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=1，点G为AB的中点，
∴FG=BG=AB=2，
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°，
∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，
根据勾股定理得：OA==x，
∵OA=8，
∴x=，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（，0）；
（2）如图：
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴△OEC为等腰三角形，
∵OE⊥AC，
∴△OEC为等腰直角三角形，
∴∠C=15°，
∴点C的坐标为（8，0），点D的坐标为（1，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（0，1）、D（1，0）代入y=kx+b，
得：，解得：，
∴直线BD的解析式为y=-x+1．
本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形、平行四边形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）牢记30°角所对的直角边为斜边的一半；（2）根据平行四边形的性质结合等腰直角三角形的性质求出点C、D的坐标．
18、-4
【解析】
利用完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】
解：原式
．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x＞－1
【解析】
试题分析：根据题意可得即＞，也就是函数在函数的上方，根据图象可得当x＞－1时，函数在函数的上方.
考点：一次函数与一元一次不等式的关系.
20、
【解析】
由矩形的性质及翻折变换先证AF=CF，再在Rt△CDF中利用勾股定理求出CF的长，可通过S△AFC=AF•CD求出△ACF的面积．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=1，AD=BC=3，
∴∠FAC=∠ACB，
又∵∠B沿着对角线AC翻折能与∠E重合，
∴∠ACB=∠ACF，
∴∠FAC=∠ACF，
∴FA=FC，
在Rt△DFC中，
设FC=x，则DF=AD-AF=3-x，
∵DF2+CD2=CF2，
∴（3-x）2+12=x2，
解得，x=，
∴AF=，
∴S△AFC=AF•CD
=××1
=.
故答案是：．
考查了矩形的性质，轴对称称的性质，勾股定理，三角形的面积等，解题关键是要先求出AF的长，转化为求FC的长，在Rt△CDF中利用勾股定理求得．
21、
【解析】
根据第一次A、B、C各取出部分混合后的浓度得到一条关于xyz的等式，再算出混合液倒回后A、B、C中后各自的酒精量，然后根据第二次混合再得到一条关于xyz的等式，联立组成方程组，使用x、y表示z，根据x、y、z的取值范围确定其准确整数值即可求解.
【详解】
解：A瓶倒出10%：2000×10%=200（克），剩余：2000-200=1800（克），
B瓶倒出20%：3000×20%=600（克），剩余：3000-600=2400（克），
C瓶倒出24%：5000×24%=1200（克），剩余：5000-1200=3800（克），
根据题意得：（200×x%+600×y%+1200×z%）÷（200+600+1200）=33.5%，
混合液倒回后A瓶内的酒精量：1800×x%+200×33.5%，
混合液倒回后B瓶内的酒精量：2400×y%+600×33.5%，
混合液倒回后C瓶内的酒精量：3800×z%+1200×33.5%，
再根据题意可得：
[（1800×x%+200×33.5%）×30%+（2400×y%+600×33.5%）×30%+（3800×z%+1200×33.5%）×30%]÷（2000×30%+3000×30%+5000×30%）=31.5%，
整理组成方程组得： ，
解得： ，
∵，，
∴，又∵且为整数，
则，
代入可得：，或者或者，
∵x、y、z均为整数，则只有符合题意，
则把起初A、B两瓶酒精混合后的浓度为：，
故答案为：.
本题考查从题意提取信息列方程组的能力，也考查三元一次方程组得解法，准确得出x、y和z之间的关系式再代入范围求解，舍去不符合题意的解为解题的关键.
22、
【解析】
先找出中心对称图形有平行四边形、正方形和圆3个，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：张完全相同的卡片中中心对称图形有平行四边形、正方形和圆3个，
随机摸出1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是，
故答案为：．
本题主要考查了中心对称图形和概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23、40
【解析】
【分析】推出DE是三角形ABC的中位线，即可求AB.
【详解】因为，D、E是AC、BC的中点，
所以，DE是三角形ABC的中位线，
所以，AB=2DE=40米
故答案为：40
【点睛】本题考核知识点：三角形中位线.解题关键点：理解三角形中位线的性质.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.
【解析】
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
25、（1）证明见解析；（2）能，10；（3）t=或t=12，理由见解析．
【解析】
（1）利用矩形的性质和直角三角形中所对应的直角边是斜边的一半进行作答；
（2）证明平行四边形是菱形，分情况进行讨论，得到等式；
（3）分别讨论若四边形AEOF是平行四边形时，则①∠OFE=90˚或②∠OEF=90˚，分情况讨论列等式．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90˚
在Rt△ABC中，∠ACB=90˚-∠BAC=30˚
∵AE=2t CF=4t
又∵Rt△COF中，∠ACB=30˚
∴OF=CF=2t
∴AE=OF
（2）∵OF∥AB，AE=OF
∴四边形AEOF是平行四边形
当AE=AF时，平行四边形AEOF是菱形
即：2t=60－4t
解得：t=10
∴当t=10时，平行四边形AEOF是菱形
（3）①当∠OFE=90˚时，
则有：EF∥BC
∴∠AFE=∠ACB=30˚，∠AEF=∠B=90˚
在Rt△AEF中，∠AFE=30˚
∴AF=2AE
即：60－4t=22t
解得：t=
②当∠OEF=90˚时，四边形AEOF是平行四边形
则有：OE∥AC
∴∠AFE=∠OEF=90˚
在Rt△AEF中，∠BAC=60˚，∠AEF=30˚
∴AE=2AF
即：2t=2（60－4t）
解得：t=12
∴当t=或t=12时，△OEF为直角三角形．
本题主要考查矩形的性质、平行四边形的证明应用、菱形的证明、直角三角形中角的综合运用，根据题目中不同的信息列出不同的等式进行解答．
26、2＜x≤1
【解析】
分别计算出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】
解：解①得：x＞2
解②得：x≤1
不等式组的解集是2＜x≤1．
本题考查的是解一元一次不等式组，解答此类题目要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A种水果/箱
B种水果/箱
甲店
11元
17元
乙店
9元
13元