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人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，学法与教学用具，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
等比数列的前n项和公式
一、教学目标
1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程；
2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题；
3、培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.
二、教学重点、难点
重点：探索并掌握等比数列的前项和公式
难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了.
【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗？
【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月.
罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天.
叶总：如何还款？
罗总：有一种还款方案，你可以试一试.
叶总：请讲.
罗总：……
叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十天还完.
罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同.
【问题二】叶总能签下这份合同吗？
（二）阅读精要，研讨新知
【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？
贷款金额：（万元）（已经有等差数列的公式）
还款金额： （分）（结果未知）
【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键.
【求和方法一】设，则
两式相减得，
所以（分）（万元）
【求和方法二】因为
所以（分）（万元）
【贷款与还款差额】（万元）
很明显：叶总还能签合同吗？？？
【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？
【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足
（写法：模式）
（通过乘以公比产生错位）
两式相减得 （错位相减法）
当时，
当时，
【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足
所以 （结论同上）
【方法三】（视学生情况介绍，需要利用等比定理）
由等比数列的定义，，
根据等比的性质，有，
即 （结论同上）
【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为
，
如果1000颗麦 粒的质量约为40g，那么以上这些 麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016- 2017 年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言，赏赐就是一个笑话.
【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）
例7已知数列是等比数列.
（1）若，求； （2）若,,求；
（3）若，求.
解：（1）由已知及公式，
（2）由已知，，因为，所以，
所以
（3）由已知，，所以.
例8已知等比数列 的首项为,前项和为.若.求公比.
解：若,则，所以
当时，由得，
所以
例9已知等比数列的公比,前项和为.
证明成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，，
所以成等比数列.
当时，
所以为常数，
所以成等比数列，公比为.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）。
A.29 B.31 C.33 D.36
解：由已知，
又，所以
所以，故选B
2. 等比数列的前项和为,,则________.
解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得,
所以
方法二：由等比数列前项和性质，又，
所以构成首项为2，公比为2等比数列，
所以
答案:16
3. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于( )
A. 63或120B.256 C.120 D.63
解：由已知，又，解得或
又，所以数列递减，所以，
又，所以，因此，故选C
4. 等比数列的公比不为1，若,且对任意的，都有成等差数列，则的前5项和______.
解：由已知，,令可得,即
解得或 (舍去), 则
答案：11
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题4.3 3、5、6、7、8、9
2.阅读课本《中国古代数学家求数列和的方法》
3.预习4.4 数学归纳法
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
等比数列的前项和
当时，
当时，
等比数列的前项和的性质
若数列是等比数列，且，则也成等比数列
等比数列的前项和
当时，
当时，
若数列是等比数列，且，则也成等比数列
等比数列的前n项和公式
一、教学目标
1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程；
2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题；
3、培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.
二、教学重点、难点
重点：探索并掌握等比数列的前项和公式
难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了.
【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗？
【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月.
罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天.
叶总：如何还款？
罗总：有一种还款方案，你可以试一试.
叶总：请讲.
罗总：……
叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十天还完.
罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同.
【问题二】叶总能签下这份合同吗？
（二）阅读精要，研讨新知
【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？
贷款金额：（万元）（已经有等差数列的公式）
还款金额： （分）（结果未知）
【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键.
【求和方法一】设，则
两式相减得，
所以（分）（万元）
【求和方法二】因为
所以（分）（万元）
【贷款与还款差额】（万元）
很明显：叶总还能签合同吗？？？
【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？
【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足
（写法：模式）
（通过乘以公比产生错位）
两式相减得 （错位相减法）
当时，
当时，
【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足
所以 （结论同上）
【方法三】（视学生情况介绍，需要利用等比定理）
由等比数列的定义，，
根据等比的性质，有，
即 （结论同上）
【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为
，
如果1000颗麦 粒的质量约为40g，那么以上这些 麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016- 2017 年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言，赏赐就是一个笑话.
【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.）
例7已知数列是等比数列.
（1）若，求； （2）若,,求；
（3）若，求.
解：（1）由已知及公式，
（2）由已知，，因为，所以，
所以
（3）由已知，，所以.
例8已知等比数列 的首项为,前项和为.若.求公比.
解：若,则，所以
当时，由得，
所以
例9已知等比数列的公比,前项和为.
证明成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，，
所以成等比数列.
当时，
所以为常数，
所以成等比数列，公比为.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）。
A.29 B.31 C.33 D.36
解：由已知，
又，所以
所以，故选B
2. 等比数列的前项和为,,则________.
解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得,
所以
方法二：由等比数列前项和性质，又，
所以构成首项为2，公比为2等比数列，
所以
答案:16
3. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于( )
A. 63或120B.256 C.120 D.63
解：由已知，又，解得或
又，所以数列递减，所以，
又，所以，因此，故选C
4. 等比数列的公比不为1，若,且对任意的，都有成等差数列，则的前5项和______.
解：由已知，,令可得,即
解得或 (舍去), 则
答案：11
（四）归纳小结，回顾重点
（五）作业布置，精炼双基
1.完成课本习题4.3 3、5、6、7、8、9
2.阅读课本《中国古代数学家求数列和的方法》
3.预习4.4 数学归纳法
五、教学反思：（课后补充，教学相长）
等比数列的前项和
当时，
当时，
等比数列的前项和的性质
若数列是等比数列，且，则也成等比数列
等比数列的前项和
当时，
当时，
若数列是等比数列，且，则也成等比数列
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