05 第5讲　一元二次方程、不等式 【正文】听课高考数学复习练习

这是一份05 第5讲　一元二次方程、不等式 【正文】听课高考数学复习练习，共9页。试卷主要包含了不等式x<2的解集为　　　　，不等式≥0的解集为　　　　等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次不等式
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.
2.三个“二次”间的关系
3.分式不等式
(1)f(x)g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0;
f(x)g(x)<0⇔f(x)·g(x)<0.
(2)f(x)g(x)≥0⇔f(x)·g(x)≥0,g(x)≠0;
f(x)g(x)≤0⇔f(x)·g(x)≤0,g(x)≠0.
常用结论
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),绝对值不等式|x|0)的解集为(-a,a).
2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形;
(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是⌀.
题组一 常识题
1.[教材改编] 不等式x2-5x-6≥0的解集为 .
2.[教材改编] 若一元二次不等式2kx2+kx-38<0对于一切x∈R恒成立,则k的取值范围为 .
3.[教材改编] 若关于x的不等式-x2+bx+c<0的解集是{x|x<-3或x>4},则关于x的不等式cx2-bx-1>0的解集是 .
题组二 常错题
◆索引:变形必须等价;注意二次项系数的符号;讨论参数时不要忽视二次项的系数.
4.不等式x(x+3)<2(x+3)的解集为 .
5.不等式(x+1)(2-x)≥0的解集为 .
6.若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解,则a的取值范围是 .
一元二次不等式的求解
角度1 不含参的不等式

例1 (1)不等式2x+13-x≥1的解集为 .
(2)不等式组0 总结反思
解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集.
角度2 含参的不等式
例2 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0.


总结反思
含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
①若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论.
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式.
③对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
变式题 解关于x的不等式x2-4x-t(t-4)<0(t∈R).


一元二次不等式恒成立问题
角度1 在R上的恒成立问题
例3 若不等式(a-1)x2+(a-1)x+a>0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a<-13或a>1 B.a>1
C.a≥1D.-13 总结反思
(1)若关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足a>0,Δ=b2-4ac<0.
(2)若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足a<0,Δ=b2-4ac<0.
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c>0恒成立,则首先考虑a=0时是否满足.
变式题 若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2)
B.(-10,2]
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
D.(-∞,-2]
角度2 在给定区间上的恒成立问题
例4 对任意的x∈(1,4),不等式ax2-2x+2>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.12,1
C.12,+∞D.12,+∞
总结反思
(1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]).
(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的两端,则可避免分类讨论,直接求出参数范围.
变式题 设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,0]
B.0,57
C.-∞,57
D.(-∞,0)∪0,57
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
总结反思
利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下的恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.
变式题 若不等式x2-ax≥16-3x-4a对任意a∈[-2,4]恒成立,则x的取值范围为( )
A.(-∞,-8]∪[3,+∞)
B.(-∞,0)∪[1,+∞)
C.[-8,6]
D.(0,3]
一元二次方程根的分布
例6 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.
(1)有两个正根;
(2)一个根大于1,一个根小于1;
(3)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;
(4)一个根小于2,一个根大于4;
(5)两个根都在(0,2)内.


总结反思
设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0).
变式题 (1)[2023·江苏连云港一模] 已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是( )
A.(-5,-4)∪(4,+∞)
B.(-5,+∞)
C.(-5,-4)
D.(-4,-2)∪(4,+∞)
(2)设a∈R,关于x的方程7x2-(a+13)x+a2+a-2=0有两实数根x1,x2,且0 二次函数的零点问题
例7 (1)[2023·宁波一模] 若函数f(x)=x2+mx+n在区间(-1,1)上有两个零点,则n2-m2+2n+1的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(0,4)D.(1,4)
(2)(多选题)[2023·山西长治质检] 已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则下列说法正确的是( )
A.a2-b2≤4
B.a2+1b≥4
C.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=
ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个不相
等的实
数根x1,
x2(x1有两个相等
实数根x1=
x2=-b2a
没有
实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集



ax2+bx+c<0
(a>0)的解集



分布情况
两根都在
(m,n)内
两根有且仅有
一根在(m,n)内
一根在(m,n)内,
另一根在(p,q)内
大致图象
(a>0)
得出的结论
Δ≥0,f(m)>0,f(n)>0,m<-b2af(m)·f(n)<0
f(m)>0,f(n)<0,f(p)<0,f(q)>0或
f(m)f(n)<0,f(p)f(q)<0
大致图象
(a<0)
得出的结论
Δ≥0,f(m)<0,f(n)<0,m<-b2af(m)·f(n)<0
f(m)<0,f(n)>0,f(p)>0,f(q)<0或
f(m)f(n)<0,f(p)f(q)<0
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已知二次函数的零点所在区间求参数值(取值范围)常用的方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围.
(2)数形结合法:结合二次函数的性质与零点存在定理,作出大致图象,得到关于参数的不等式组,求解可确定参数范围.
变式题 (多选题)设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,则下列说法正确的是( )
A.a≠0
B.方程f(x)=0有实根,且-2C.设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则33≤|x1-x2|<23
D.方程f(x)=0在(0,1)内有且只有一个实根