【导数】函数放缩本质是？55个常见函数放缩不等式你知道多少？高考数学复习练习

这是一份【导数】函数放缩本质是？55个常见函数放缩不等式你知道多少？高考数学复习练习，共12页。试卷主要包含了指数 ex，对数 lnx，三角函数 sinx，指对混合，指对三角混合等内容，欢迎下载使用。
函数放缩本质就是用代数函数近似代替超越函数（非代数函数）罢了！近似代替，即不等关系，也即所谓的函数放缩不等式。
这里有两个概念，代数函数和超越函数，
代数函数： 包括我们熟知的一次、二次、三次等多项式函数、反比例函数等分式函数和开方等分数幂函数。
n次多项式函数通式为Rx=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn (1)
其中， an≠0；
分式函数，例如
Rx=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnb0+b1x+b2x2+⋯+bmxm (2)
一般指真分式，即m>n，如果m1）
（45）sinxn+csx≤xn+1 x≤0sinxn+csx≥xn+1 x≥0 （nlnx+1
（51）exlnx+1x>710（关注公众号：Hi数学派）
（52）ex+e-x＞2lnx+3
（53）exlnx≤ex-e,x∈(0,1]exlnx≥ex-e,x∈[1,+∞)
……
5、指对三角混合
（54）ex-csx≤x2+x x≤0ex-csx≥x2+x x≥0
（55）2x≥sinx+lnx+1 （x=0处取等）
……
一些典例
【例1．（广东一模T22）】
已知函数
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.

【解析】（2）当时，
由朗博不等式，
所以（当时，可以取到等号）
因此，即
【点睛】这样作答时，一定要再证明存在的解
【例2．（2023·全国·高三专题练习）】
已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．

【解析】（1），当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
（2）显然，要证：，
即证：，即证：，
即证：．（关注公众号：Hi数学派）
令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．
故，即．
【例3．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）】
已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.

【解析】（1），
（ⅰ）当时，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法一：等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，
令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
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∴，故.
方法二：当时，，
令，
令，则，（关注公众号：Hi数学派）
令，则，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，上单调递增，
∴，即，
∴.