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03 第3讲　等式与不等式【答案】听课高考数学复习练习

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【知识聚焦】
1.(1)> = < (2)> = <
2.(2)a+c=b+c a-c=b-c (3)ac=bc ac=bc
3.(1)b (4)> < (5)a+c>b+d (6)> (7)>
【对点演练】
1.s≥t [解析] ∵s-t=a+b2+1-(a+2b)=b2-2b+1=(b-1)2≥0,∴s≥t.
2.(2,5) [解析] ∵23.②③④ [解析] 对于①,当c=0时,ac2>bc2不成立,故①为假命题;对于②,∵aab,两边同乘b,得ab>b2,∴a2>ab>b2,故②为真命题;对于③,∵a>b>0,∴a2>b2>0,∴1a2<1b2,∵c<0,∴ca2>cb2,故③为真命题;对于④,∵1a>1b,∴1a-1b=b-aab>0,又∵a>b,∴b-a<0,∴ab<0,故④为真命题.故填②③④.
4.(-4,2) [解析] ∵-15.(-24,8) [解析] 当-36.p≥q [解析] p-q=2x4+1-2x3-x2=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(x3-x+x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+
(x-1)(x2+x+1)]=(x-1)2(x2+x+x2+x+1)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+x)+1]=(x-1)22x2+x+14-2×14+1=(x-1)22x+122+12≥0,故p≥q.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)把(x2-y2)2,xy(x-y)2作差分解因式后,借助已知及不等式性质判断符号,进而得出结论.(2)把aabb与abba作商后对a,b的大小关系分类,借助指数函数的性质比较大小.
解:(1)因为(x2-y2)2-xy(x-y)2=(x+y)2(x-y)2-xy(x-y)2=(x-y)2(x2+xy+y2)=(x-y)2x+y22+34y2≥0,所以(x2-y2)2≥xy(x-y)2.
(2)aabbabba=aa-b·bb-a=aba-b.当a>b>0时,ab>1,a-b>0,∴aba-b>1,∴aabb>abba;当a=b>0时,ab=1,a-b=0,∴aba-b=1,∴aabb=abba;
当b>a>0时,01,
∴aabb>abba.综上所述,aabb≥abba.
变式题 (1) B (2)B [解析] (1)由a-b=2+3-7,且(2+3)2=5+26>7,得a>b;由a-c=22-6,且(22)2=8>6,得a>c;由b-c=(7+2)-(6+3),且(6+3)2=9+218>9+214=(7+2)2,得c>b.所以a>c>b,故选B.
(2)方法一:构造函数f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2.令f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故选B.
方法二:易知a,b,c都是正数.∵ba=3ln44ln3=lg8164<1,∴a>b,∵bc=5ln44ln5=lg6251024>1,∴b>c,∴c例2 [思路点拨] (1)利用不等式的性质判断选项A,B,利用平方法判断选项C,进而判断选项D即可.(2)当c>0时,由c3aa>0,则00,可判断B,C.
(1)D (2)ACD [解析] (1)∵a>b>c>d>0,∴a+c>b+d,ac>bd,故A,B中不等式成立;∵a>b>c>d>0,∴a-d>b-c>0,∴(a-d)2>(b-c)2,即(a+d)2-4ad>(b+c)2-4bc,又a+d=b+c,∴adb>c>d>0,ad(2)由c3a0时,由c3a1b>0,即b>a>0,所以00,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由c(a-b)>0,得ac>bc,故B错误.故选ACD.
变式题 (1)ABD (2)D (3)BCD [解析] (1)对于A,若xc2>yc2 ,则c2≠0,则x>y;反之,若x>y,则当c=0时推不出xc2>yc2.所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A正确.对于B,由1x<1y<0,可得yy;反之,由x>y推不出1x<1y<0.所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B正确.对于C,若|x|>|y|,则当x=-2,y=1时,满足|x|>|y|,但xy,则当x=2,y=-3时,满足x>y,但|x|<|y|.所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C错误.对于D,若ln x>ln y,则x>y>0;反之,由x>y推不出ln x>ln y.所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件,故D正确.故选ABD.
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(3)因为0b-a>0,则1c-a<1b-a,故A错误;ba>b+ca+c等价于b(a+c)>a(b+c),即bc>ac,即b>a,显然成立,故B正确;1a(c-a)>1b(c-a)等价于1a>1b,即b>a,显然成立,故C正确;ab+c2>ac+bc等价于c(c-b)-a(c-b)>0,即(c-a)(c-b)>0,显然成立,故D正确.故选BCD.
例3 [思路点拨] (1)首先将已知不等式两边同时除以a,化为关于ba,ca的不等式组,然后利用不等式的性质求得ba的取值范围.(2)设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b(x,y∈R),利用系数相等求得x,y的值,结合不等式的基本性质,即可求解.
(1)A (2)-92,132 [解析] (1)∵三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴1≤ba+ca≤2,ba≤1+ca≤2·ba,∴-2·ba≤-1-ca≤-ba,与1≤ba+ca≤2相加,得1-2·ba≤ba-1≤2-ba,解得23≤ba≤32.故选A.
(2)由题意,设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b(x,y∈R),则x+y=2,x-y=3,解得x=52,y=-12.因为-1变式题 C [解析] 由-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,两式相加,可得3≤3x≤12,则1≤x≤4,故A错误;因为-6≤-2x-2y≤2,4≤2x-y≤9,所以-2≤-3y≤11,则-113≤y≤23,故B错误;因为4x+y=2(x+y)+(2x-y),且-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9,所以2≤4x+y≤15,故C正确;因为x-y=-13(x+y)+23(2x-y),且-1≤-13(x+y)≤13,83≤23(2x-y)≤6,所以53≤x-y≤193,故D错误.故选C.

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