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初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程单元测试当堂检测题
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这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册21.1 一元二次方程单元测试当堂检测题，共16页。试卷主要包含了若代数式x2﹣4x+a可化为等内容，欢迎下载使用。
A．5B．4C．3D．2
2．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
3．若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣12＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．2，﹣6B．﹣2，6C．2D．6
4．用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
5．一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣2
6．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或D．6或
7．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（ ）
A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800
C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（ ）
A．9B．﹣3C．0D．3
9．已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
10．若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＝1C．k＜1D．k≤1
11．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是 ．
12．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 厘米．
13．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 ．
14．方程x2﹣8x﹣4＝0化为（x+m）2＝n的形式是 ．
15．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为
16．关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，则a的取值范围 ．
17．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 辆．
18．如果x＝1是关于x的方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b＝ ．
19．股票每天的涨跌均不能超过10%，即当天涨了原价的10%后不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想再两天之后涨回到原价，设平均每天的涨幅为x，则可得方程 ．
20．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 步．
已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
23．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0． （2）3x2﹣6x﹣2＝0．
24．解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0； （2）x（x+4）＝8x+12．
如果y＝x2﹣6x+12，证明x取任何值时，y的值总大于0．
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，如果商店每天要获利2250元，那么每本足球纪念册销售单价应定为多少元？
27．已知关于x的方程（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0．
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
30．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
人教新版九年级上学期《第21章 一元二次方程》2022年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
2．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程变形得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣12＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．2，﹣6B．﹣2，6C．2D．6
【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t2﹣4t﹣12＝0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
【解答】解：设t＝x2+y2，则原方程可化为：t2﹣4t﹣12＝0，
整理，得
（t+2）（t﹣6）＝0，
∴t＝﹣2或6，
t≥0，
∴t＝6．
即x2+y2的值为6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
4．用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【分析】根据一般式说出一次项的系数即可．
【解答】解：用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能说出各个项的系数是解此题的关键．
5．一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式得出一次项系数．
【解答】解：一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是：2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分名称是解题关键．
6．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
7．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（ ）
A．（50+x）（80+x）＝2800
B．（50+2x）（80+2 x）＝2800
C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800
【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，
（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（ ）
A．9B．﹣3C．0D．3
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，可以求得2a﹣b的值，从而可以求得6a﹣3b+6的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，
∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6＝0，
化简，得
2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴6a﹣3b＝﹣9，
∴6a﹣3b+6＝﹣9+6＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
9．已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】9y2+2019y+5＝0的两边同时除以y2，得到5×（）2+2019×+9＝0，则x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，则利用根与系数的关系求得的值．
【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0，
∴5×（）2+2019×+9＝0．
∴x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根是解题的难点．
10．若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＝1C．k＜1D．k≤1
【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k≥0，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•k＝4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
二．填空题（共10小题）
11．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是 m≠2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得，m≠2，
故答案为：m≠2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 4 厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．
【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
13．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 k＞5 ．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程求解即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，
∴5﹣k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．方程x2﹣8x﹣4＝0化为（x+m）2＝n的形式是 （x﹣4）2＝20 ．
【分析】方程利用完全平方公式配方得到结果即可．
【解答】解：方程x2﹣8x﹣4＝0，
配方得：x2﹣8x+16＝20，
整理得：（x﹣4）2＝20．
故答案为：（x﹣4）2＝20．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 1
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝﹣3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，整体代入计算即可．
【解答】解：∵+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，则a的取值范围 ﹣1＜a＜0 ．
【分析】由关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，得出，解不等式组即可．
【解答】解：∵x2﹣4x＝a﹣3，
∴x2﹣4x+3﹣a＝0．
设方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝4，x1•x2＝3﹣a．
∵关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得﹣1＜a＜0．
故答案为﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．
17．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 1331 辆．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．
【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
所以 六月份的产量为：1210×（1+10%）＝1331（辆）
故答案为：1331．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
18．如果x＝1是关于x的方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2+bx﹣2＝0得到一个关于b的一元二次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+bx﹣2＝0得：
1+b﹣2＝0，
解得：b＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，能得到方程1+b﹣2＝0是解此题的关键．
19．股票每天的涨跌均不能超过10%，即当天涨了原价的10%后不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想再两天之后涨回到原价，设平均每天的涨幅为x，则可得方程 （1﹣10%）（1+x）2＝1 ．
【分析】设平均每天的涨幅为x，根据跌停后的价格与原价之间的关系，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每天的涨幅为x，
依题意，得：（1﹣10%）（1+x）2＝1．
故答案为：（1﹣10%）（1+x）2＝1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 36 步．
【分析】设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，根据矩形面积864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，
依题意得：x（x﹣12）＝864，
整理得：x2﹣12x﹣864＝0，
解得：x1＝36，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．
故答案为：36．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
【分析】把x1＝2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是x1＝2，
∴5×（2）2+2k﹣6＝0，
解得k＝﹣7．
又∵x1•x2＝﹣，即2x2＝﹣，
∴x2＝﹣．
综上所述，k的值是﹣7，方程的另一个根是﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
22．已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
【分析】把x＝a代人x2﹣3x+1＝0后得a2﹣3a＝﹣1，然后化简后整体代人即可．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的解，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴原式＝3a2+2﹣8a﹣a＝3（a2﹣3a）＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
23．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0．
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x+1＝5，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±．
（2）∵3x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝，
∴（x﹣1）2＝，
∴x＝1±．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
【分析】（1）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程；
（2）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0或x+8＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）x（x+4）＝8x+12，
x2+4x﹣8x﹣12＝0，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解（十字相乘）法的技巧（把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数）是解题关键．
25．如果y＝x2﹣6x+12，证明x取任何值时，y的值总大于0．
【分析】用配方法将式子y＝x2﹣6x+12配方，然后根据配方后的形式，再由非负数性质即可证得．
【解答】证明：∵y＝x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+3＞0，
∴x取任何值时，y的值总大于0．
【点评】本题考查了配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
26．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，如果商店每天要获利2250元，那么每本足球纪念册销售单价应定为多少元？
【分析】可设每本足球纪念册销售单价应定为x元，根据商店每天要获利2250元列出方程，再解方程即可求解．
【解答】解：设每本足球纪念册销售单价应定为x元，依题意有
（x﹣40）[300﹣10（x﹣44）]＝2250，
解得x1＝49，x2＝65，
∵（65﹣40）÷40×100%＝62.5%＞30%，
∴x2＝65舍去．
故每本足球纪念册销售单价应定为49元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
27．已知关于x的方程（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0．
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【分析】（1）根据二次项系数等于0，一次项系数不等于0时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于0是一元二次方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0是一元一次方程，
∴，
解得k＝3．
故当k为3时，此方程是一元一次方程；
（2）∵（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0是一元二次方程，
∴k2﹣9≠0，
解得k≠±3，
故k≠±3时，此方程是一元二次方程，
二次项系数是（k2﹣9），一次项系数是（k+3），常数项是0．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于0，一次项系数不等于0是一元一次方程；根据二次项系数不等于0是一元二次方程．
28．将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式．
【分析】根据总行数×每一行的桌子数＝48张，列出方程后化为标准形式即可求解．
【解答】解：依题意有x（x+2）＝48，
化为标准形式为x2+2x﹣48＝0．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，找到题目中的等量关系．
29．解下列一元二次方程
（1）x2+4x+3＝0（用配方法解）
（2）2x2﹣x﹣6＝0（用公式法）
【分析】（1）将常数项移动右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，
移项得：x2+4x＝﹣3，
配方得：（x+2）2＝1，
开方得：x+2＝±1，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵b2﹣4ac＝49＞0，
∴x＝，
则x1＝2，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法及配方法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
30．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
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A．5B．4C．3D．2
2．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
3．若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣12＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．2，﹣6B．﹣2，6C．2D．6
4．用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
5．一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣2
6．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或D．6或
7．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（ ）
A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800
C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（ ）
A．9B．﹣3C．0D．3
9．已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
10．若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＝1C．k＜1D．k≤1
11．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是 ．
12．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 厘米．
13．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 ．
14．方程x2﹣8x﹣4＝0化为（x+m）2＝n的形式是 ．
15．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为
16．关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，则a的取值范围 ．
17．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 辆．
18．如果x＝1是关于x的方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b＝ ．
19．股票每天的涨跌均不能超过10%，即当天涨了原价的10%后不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想再两天之后涨回到原价，设平均每天的涨幅为x，则可得方程 ．
20．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 步．
已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
23．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0． （2）3x2﹣6x﹣2＝0．
24．解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0； （2）x（x+4）＝8x+12．
如果y＝x2﹣6x+12，证明x取任何值时，y的值总大于0．
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，如果商店每天要获利2250元，那么每本足球纪念册销售单价应定为多少元？
27．已知关于x的方程（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0．
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
30．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
人教新版九年级上学期《第21章 一元二次方程》2022年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】将x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1化简求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+a＝（x﹣b）2﹣1，
∴x2﹣4x+a＝x2﹣2bx+b2﹣1，
∴2b＝4，a＝b2﹣1，
∴b＝2，a＝22﹣1＝3，
∴a+b＝3+2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
2．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程变形得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．若（x2+y2）2﹣4（x2+y2）﹣12＝0，则x2+y2的值为（ ）
A．2，﹣6B．﹣2，6C．2D．6
【分析】先设x2+y2＝t，则方程即可变形为t2﹣4t﹣12＝0，解方程即可求得t即x2+y2的值．
【解答】解：设t＝x2+y2，则原方程可化为：t2﹣4t﹣12＝0，
整理，得
（t+2）（t﹣6）＝0，
∴t＝﹣2或6，
t≥0，
∴t＝6．
即x2+y2的值为6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
4．用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣1D．1
【分析】根据一般式说出一次项的系数即可．
【解答】解：用公式法解一元二次方程x2﹣2x+1＝0，公式中b表示的数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能说出各个项的系数是解此题的关键．
5．一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式得出一次项系数．
【解答】解：一元二次方程5x2+2x﹣1＝0的一次项系数是：2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分名称是解题关键．
6．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
7．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（ ）
A．（50+x）（80+x）＝2800
B．（50+2x）（80+2 x）＝2800
C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800
【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．
【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，
（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（ ）
A．9B．﹣3C．0D．3
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，可以求得2a﹣b的值，从而可以求得6a﹣3b+6的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，
∴a×（﹣2）2+b×（﹣2）+6＝0，
化简，得
2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴6a﹣3b＝﹣9，
∴6a﹣3b+6＝﹣9+6＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
9．已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】9y2+2019y+5＝0的两边同时除以y2，得到5×（）2+2019×+9＝0，则x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，则利用根与系数的关系求得的值．
【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0，
∴5×（）2+2019×+9＝0．
∴x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程5x2+2019x+9＝0的两根是解题的难点．
10．若方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＝1C．k＜1D．k≤1
【分析】由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k≥0，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•k＝4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
二．填空题（共10小题）
11．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是 m≠2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得，m≠2，
故答案为：m≠2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是 4 厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．
【解答】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
13．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是 k＞5 ．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程求解即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，
∴5﹣k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
14．方程x2﹣8x﹣4＝0化为（x+m）2＝n的形式是 （x﹣4）2＝20 ．
【分析】方程利用完全平方公式配方得到结果即可．
【解答】解：方程x2﹣8x﹣4＝0，
配方得：x2﹣8x+16＝20，
整理得：（x﹣4）2＝20．
故答案为：（x﹣4）2＝20．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 1
【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝﹣3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，整体代入计算即可．
【解答】解：∵+|b+3|＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝b＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，则a的取值范围 ﹣1＜a＜0 ．
【分析】由关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，得出，解不等式组即可．
【解答】解：∵x2﹣4x＝a﹣3，
∴x2﹣4x+3﹣a＝0．
设方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝4，x1•x2＝3﹣a．
∵关于x的方程x2﹣4x＝a﹣3在0＜x＜3范围内有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得﹣1＜a＜0．
故答案为﹣1＜a＜0．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了根与系数的关系．
17．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，该厂四、五、六月份的月平均增长率相同，那么六月份的产量为 1331 辆．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．
【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
所以 六月份的产量为：1210×（1+10%）＝1331（辆）
故答案为：1331．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
18．如果x＝1是关于x的方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2+bx﹣2＝0得到一个关于b的一元二次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+bx﹣2＝0得：
1+b﹣2＝0，
解得：b＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，能得到方程1+b﹣2＝0是解此题的关键．
19．股票每天的涨跌均不能超过10%，即当天涨了原价的10%后不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想再两天之后涨回到原价，设平均每天的涨幅为x，则可得方程 （1﹣10%）（1+x）2＝1 ．
【分析】设平均每天的涨幅为x，根据跌停后的价格与原价之间的关系，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每天的涨幅为x，
依题意，得：（1﹣10%）（1+x）2＝1．
故答案为：（1﹣10%）（1+x）2＝1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为 36 步．
【分析】设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，根据矩形面积864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设矩形的长为x步，则矩形的宽为（x﹣12）步，
依题意得：x（x﹣12）＝864，
整理得：x2﹣12x﹣864＝0，
解得：x1＝36，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．
故答案为：36．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
【分析】把x1＝2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是x1＝2，
∴5×（2）2+2k﹣6＝0，
解得k＝﹣7．
又∵x1•x2＝﹣，即2x2＝﹣，
∴x2＝﹣．
综上所述，k的值是﹣7，方程的另一个根是﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
22．已知关于x的方程x2﹣3x+1＝0的一个解是x＝a，求代数式3a2+2（1﹣4a）﹣a的值．
【分析】把x＝a代人x2﹣3x+1＝0后得a2﹣3a＝﹣1，然后化简后整体代人即可．
【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x+1＝0的解，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴原式＝3a2+2﹣8a﹣a＝3（a2﹣3a）＝﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
23．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0．
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x+1＝5，
∴（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±．
（2）∵3x2﹣6x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝，
∴（x﹣1）2＝，
∴x＝1±．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
24．解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
【分析】（1）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程；
（2）利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程．
【解答】解：（1）x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0或x+8＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）x（x+4）＝8x+12，
x2+4x﹣8x﹣12＝0，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解（十字相乘）法的技巧（把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数）是解题关键．
25．如果y＝x2﹣6x+12，证明x取任何值时，y的值总大于0．
【分析】用配方法将式子y＝x2﹣6x+12配方，然后根据配方后的形式，再由非负数性质即可证得．
【解答】证明：∵y＝x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+3＞0，
∴x取任何值时，y的值总大于0．
【点评】本题考查了配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
26．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售，如果商店每天要获利2250元，那么每本足球纪念册销售单价应定为多少元？
【分析】可设每本足球纪念册销售单价应定为x元，根据商店每天要获利2250元列出方程，再解方程即可求解．
【解答】解：设每本足球纪念册销售单价应定为x元，依题意有
（x﹣40）[300﹣10（x﹣44）]＝2250，
解得x1＝49，x2＝65，
∵（65﹣40）÷40×100%＝62.5%＞30%，
∴x2＝65舍去．
故每本足球纪念册销售单价应定为49元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
27．已知关于x的方程（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0．
（1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【分析】（1）根据二次项系数等于0，一次项系数不等于0时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于0是一元二次方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0是一元一次方程，
∴，
解得k＝3．
故当k为3时，此方程是一元一次方程；
（2）∵（k2﹣9）x2+（k+3）x＝0是一元二次方程，
∴k2﹣9≠0，
解得k≠±3，
故k≠±3时，此方程是一元二次方程，
二次项系数是（k2﹣9），一次项系数是（k+3），常数项是0．
【点评】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于0，一次项系数不等于0是一元一次方程；根据二次项系数不等于0是一元二次方程．
28．将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程，并将其化为标准形式．
【分析】根据总行数×每一行的桌子数＝48张，列出方程后化为标准形式即可求解．
【解答】解：依题意有x（x+2）＝48，
化为标准形式为x2+2x﹣48＝0．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，找到题目中的等量关系．
29．解下列一元二次方程
（1）x2+4x+3＝0（用配方法解）
（2）2x2﹣x﹣6＝0（用公式法）
【分析】（1）将常数项移动右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，
移项得：x2+4x＝﹣3，
配方得：（x+2）2＝1，
开方得：x+2＝±1，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵b2﹣4ac＝49＞0，
∴x＝，
则x1＝2，x2＝﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法及配方法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
30．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
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