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沪科版八年级数学上册精品专练15.10轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)
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这是一份沪科版八年级数学上册精品专练15.10轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结(拔尖篇)(学生版+解析)，共81页。
专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc21650" 【题型1 设计轴对称图案】 PAGEREF _Toc21650 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】 PAGEREF _Toc5163 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc24102" 【题型3 翻折变换】 PAGEREF _Toc24102 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】 PAGEREF _Toc2831 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】 PAGEREF _Toc13368 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30657" 【题型6 分身等腰】 PAGEREF _Toc30657 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型7 一线分二腰】 PAGEREF _Toc17418 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc24246 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc910 \h 13【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴． 【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ． 【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE； 【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【题型3 翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD． (1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ． 【变式5-3】（2023·山东·八年级专题练习）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．【题型6 分身等腰】【例6】（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在第1个△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2，到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ） A．12n80° B．12n−1⋅80° C．12n−1⋅100° D．12n⋅100°【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB=α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管5根，则α的取值范围是 ．【变式6-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，一钢架BAC中，∠A=x°，焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,⋯来加固钢架，且P1A=P1P2，对于下列结论，判断正确的是( )结论Ⅰ：若∠P3P2P4=75°，则x=25；结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么x的取值范围是907≤x<15 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【变式6-3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，点在射线上，点在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A． B． C． D．【题型7 一线分二腰】【例7】（2023·全国·八年级专题练习）已知ΔABC是等腰三角形，过ΔABC的一个顶点的一条直线，把ΔABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”③若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．【理解概念】：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”； （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线； 【应用概念】：（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，∠ACB=_________．【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．(2)如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是 ．【题型8 角平分线的综合应用】【例8】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=α．(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长AE交BD于F，求证：AF⊥BD；(2)如图2，AE与BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求证：点C在直线FG上．【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；(2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由．(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【变式8-2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．【变式8-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=60°．（1）求∠BGC的度数；（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC的周长．【题型9 垂直平分线的综合应用】【例9】（2023春·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有 ．（填序号） 【变式9-1】（2023春·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG． (1)如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：CG=B'G；(2)如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：CG+2GF=BG；(3)如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG=145GF，AF=3，S△ABG=7.5，求BF的长．【变式9-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为 ． 【变式9-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．①求证：点D在BC的垂直平分线上；②BE＝ ．（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则①∠DFG＝ ；②若BC＝8，EC＝83，则GC＝ ．（3）如图3，过点A的直线l∥BC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 ． 专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc21650" 【题型1 设计轴对称图案】 PAGEREF _Toc21650 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】 PAGEREF _Toc5163 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24102" 【题型3 翻折变换】 PAGEREF _Toc24102 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】 PAGEREF _Toc2831 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】 PAGEREF _Toc13368 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc30657" 【题型6 分身等腰】 PAGEREF _Toc30657 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型7 一线分二腰】 PAGEREF _Toc17418 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc24246 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc910 \h 53【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴． 【答案】见解析【分析】如图1，以线段AB的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段AB所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段BC的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段BC所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可．【详解】解：如图所示： 【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键．【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合【详解】解：画图如下： 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义．【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可．因为画的是等腰三角形，因此至少要有两条边相等；（2）利用已知结合轴对称图形性质画出一个等腰三角形即可．解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：．考点：利用轴对称设计图案．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【答案】详见解析【分析】利用轴对称图形性质分别得出图案即可．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键．【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ． 【答案】 12a+b 90°/90度【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE'+FE'的值最小【详解】解：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴AF=CF=12a,BF=b，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE'+FE'的值最小，∠CFE'=90° ∵CA=CM,∠ACM=60°∴△ACM是等边三角形，∴AM=AC，∵BF⊥AC，∴FM=BF=b，∴△AEF周长的最小值是AF+FE'+AE'=AF+FM=12a+b，故答案为：12a+b，90°【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．【答案】6【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，证明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到PC+PD的最小值为DF，计算即可．【详解】如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为DF，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，∴FB=AC,∠FBD=90°；∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°CD=BD，∴Rt△ACD≌Rt△FBD，∴AD=FD，∵AD=6，∴FD=6，∴PC+PD的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析；QB−QA最大值为3【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA1，则|QB−QA=QB−QA1|，而由三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案．【详解】（1）解：△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P； ∵点C与D关于MN的对称，∴PC=PD，∴PB+PC=PD+PB，∵PB+PD≥BD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立，∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小；（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所示： ∵QA=QA1，∴|QB−QA=QB−QA1|，根据三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，∴QB−QA的最大值为A1B=3．【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE； 【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2) 平行 EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD＝60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P'E≥BP'＝5，进而解答此题．【详解】（1）证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，∴ΔABD≌ΔACE（SAS）；（2）平行，EC=AC+CD，理由如下：由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM， ∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°， ∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°−180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔEDM中，PE=ED∠EPC=∠EDMPC=DM ，ΔEPC≌ΔEDM（SAS），∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED＝∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°−∠ECD−∠ACB=180°−60°−60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，连接EP'，在ΔCEP和ΔCEP'中，PC=P'C∠PCE=∠P'CE=60°CE=CE ，ΔCEP≌ΔCEP'（SAS），∴PE=P'E， 则BE+PE=BE+P'E，由三角形三边关系可知，BE+P'E≥BP'，即当点E与点C重合，BE+P'E=BP'时，PE+BE有最小值BP'，∵BP'=BE+CP'=BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+P'E≥BP'=5，∴BE+PE最小值为5． 【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【题型3 翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD． (1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)10°(2)①见解析；②4∠G−∠CFE=40°【分析】（1）根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用外角即可求出∠BDE的度数；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得∠B=∠ECF=40°，即可得到CE∥AB；②设∠G=x，根据角平分线和平行线可得∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，可求得∠BCD=90°−∠ACD=90°−180°−∠A−∠ADC=2x−40°，再利用外角可得∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，即可得到4∠G−∠CFE=40°．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，∴∠A=∠CED=50°，∴∠BDE=∠CED−∠A=50°−40°=10°；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，∠ADC=∠CDE∵DE⊥BC，∴∠ECF=90°−∠E=40°=∠B，∴CE∥AB；②4∠G−∠CFE=40°，理由如下：设∠G=x，∵BE∥CG，∴∠G=∠BEG=x，∠CDE=∠DEB∵EG平分∠BED，∴∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，∴∠ACD=180°−∠A−∠ADC=130°−2x，∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−130°−2x=2x−40°，∴∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，∴∠CFE=4∠G−40°，即4∠G−∠CFE=40°．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．【答案】540°7或36°【分析】分三种情形：当B'A=B'E，点E在CB'和BA的延长线上，当AE=B'E，点E在AB和B'C的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．【详解】解：①如图，当B'A=B'E，点E在CB'和BA的延长线上， ∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，由折叠得：∠B=∠AB'C，∠BCA=∠B'CA，设∠B=x，则∠AB'C=∠BCA=∠B'CA=x，∠AEB'=∠EAB'=12x，∠EAC=2x，在△AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+12x=180°，∴x=360°7，即∠B=360°7，∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=540°7，∵360°7<540°7<90°，∴此时△ABC为锐角三角形，符合题意；②如图，当AE=B'E，点E在AB和B'C的延长线上， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCA，由折叠得：∠ABC=∠AB'C，∠BCA=∠B'CA，∵AE=B'E，∴∠AB'C=∠BAB'，∴∠ABC=∠ACB=∠ACB'=∠AB'C=∠BAB'，∵∠ABC+∠ACB+∠ACB'+∠AB'C+∠BAB'=360°，∴∠ABC=∠ACB=∠ACB'=∠AB'C=∠BAB'=72°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=36°，∵36°<72°<90°，∴此时△ABC为锐角三角形，符合题意；综上所述，满足条件的∠BAC的度数为540°7或36°．故答案为：540°7或36°．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．【答案】(1)∠1=∠2，理由见解析(2)70°(3)100°3或140°3或70°【分析】（1）由△ADE沿DE翻折可知AD=DF=CD，∠FDE=∠ADE=∠1， 可知△CDF为等腰三角形，∠DFC=∠DCF=∠2，∠CDF+∠FDE+∠EDA=180°，计算求解即可；（2）△DEF与△CDF全等，分两种情况讨论；①DF=DE=AD，∠A=∠DEA，∠ADE=180°−∠A−∠DEA，求∠ADE的值然后判断此时△DEF与△CDF是否全等，若全等，则∠ADE的值即为所求；②DF=FE=AD，∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE，∠ADE=∠FDE=180°−∠DFE2，求∠ADE的值然后判断此时△DEF与△CDF是否全等，若全等，则∠ADE的值即为所求；（3）分情况讨论①由题意知（2）中∠ADE=70°时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，DE=DG，∠DEG=∠DGE，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形DE=EG，∠EDG=∠DGE=∠1，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°计算求解即可.【详解】（1）解：∠1=∠2由△ADE沿DE翻折可知AD=DF，∠FDE=∠ADE=∠1∵D为AC的中点∴AD=CD=DF∴△CDF为等腰三角形∴∠DFC=∠DCF=∠2∵∠CDF+∠FDE+∠EDA=180°∴180°−2∠2+∠1+∠1=180°∴∠1=∠2．（2）解：∵CD=DF，△CDF是等腰三角形，△DEF与△CDF全等∴①如图1，当DF=DE=AD时，△ADE为等腰三角形，△DEF为等腰三角形∴∠A=∠DEA=40°，∠ADE=180°−∠A−∠DEA=100°∵∠ADE=∠EDF=100°∴∠ADE+∠EDF=200°>180°∴当DF=DE时，点F在AC的下方，不符合题意；又∵∠CDF=200°−180°=20°，∠CDF≠∠FDE∴△DEF与△CDF不全等，∠ADE=100°舍去；②如图2当DF=FE=AD时，△ADE为等腰三角形，△DEF为等腰三角形∴∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE ∠FDE=∠FED=180°−∠DFE2=180°−40°2=70°∴EF∥AD，EF=AD=CD∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形∴△EFD与△CDF全等∴∠ADE=∠FDE=70°∴当DF=FE时，△EFD与△CDF全等，∠ADE=70°；综上所述，若 △DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，∠ADE的值为70°．（3）解：①由（2）中图2可知当∠ADE=70°时，△DEF在△ABC内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；②如图3，△DEG为△DEF与△ABC重合的等腰三角形∴DE=DG，∠DEG=∠DGE∵∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°∴∠DEG=180°−∠12=∠1+∠A=∠1+40°∴∠1=100°3∴∠ADE=100°3；③如图4，△DEG为△DEF与△ABC重合的等腰三角形∴DE=EG，∠EDG=∠DGE=∠1∵∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°∴∠DEG=180°−2∠1=∠1+∠A=∠1+40°∴∠1=140°3∴∠ADE=140°3；综上所述，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，∠ADE的值为100°3或140°3或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)60°(2)2(3)AF+BF=CF，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出∠ACE的值以及∠CAE=∠E，在△ACE根据三角形内角和定理求出∠E的值，然后在△CEF中根据三角形内角和定理求解∠CFE的值即可；（2）方法同（1）先求出∠CFE=60°，然后在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，如图1，可知△EFH是等边三角形，根据∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，得到∠ABF=∠CEH，证明△ABF≌△CEHSAS，最后根据AE=EF−AF=FH−AF计算求解即可；（3）由（2）可得AF+BF=CF，证明过程同（2）．【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得BC=CE=AC，∠ACB=∠B=∠BAC=60°，∠BCF=∠ECF=40°，∴∠CAE=∠E，∠ACD=∠ACB−∠BCF=20°，∴∠ACE=∠ECF−∠ACD=20°，∴∠CAE=∠E=180°−∠ACE2=80°，∵∠CFE=180°−∠ECF−∠E=180°−40°−80°=60°，∴∠CFE的度数为60°．（2）解：由（1）可得∠CFE=180°−∠E−∠ECF=180°−∠E−∠BCF，∵∠E=180°−∠ACE2，∠ACE=∠ECF−∠ACF=∠BCF−60°−∠BCF=2∠BCF−60°，∴∠E=180°−2∠BCF+60°2=120°−∠BCF，∴∠CFE=180°−120°+∠BCF−∠BCF=60°，如图1，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，由题意知BF=EF，∠CFB=∠CFE=60°，∴△EFH是等边三角形，∵∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEHAB=CE，∴△ABF≌△CEHSAS，∴CH=AF=4，∴FH=CF−CH=6，∴AE=EF−AF=2，∴AE的长为2．（3）解：AF+BF=CF；证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，∠CFE=60°是定值，如图2，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，∴同理（2）可知△EFH是等边三角形，∵∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEHAB=CE，∴△ABF≌△CEHSAS，∴CH=AF，∴CF=FH+CH=BF+AF，∴AF+BF=CF．【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．【详解】解：如下图，作AB垂直平分线与AC相交于点P，可得PA=PB，以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有P1、P2两个交点，可得P1A=AB,P2A=AB，以B为圆心，AB为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得P3A=AB，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】D【详解】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D.【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【答案】8【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【答案】(1)证明见详解(2)60°【分析】（1）利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD（2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC=BC∠BCE=∠ACDCE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD（2）由（1）可得△BCE≌△ACD∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【答案】(1)BE=AD，证明见解析(2)BE=AD，证明见解析(3)当α=180°时，线段AD的长度最大为a+b，当α=0°或α=360°时，线段AD的长度最小为a−b【分析】（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质，证明△BCE≅△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD；（2）与（1）的思路方法一样，证明△BCE≅△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD； （3）根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，则此时旋转的角度为180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD长度最小，等于a−b，旋转的角度0°或360°．【详解】（1）解：BE=AD，理由如下：∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，∴∠BCE=∠ACD=25°，∵△ABC与△C'DE等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，在△BCE和△ACD中，CA=CB∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≅△ACD，∴BE=AD；（2）BE=AD，理由如下：∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转a，∴∠BCE=∠ACD=a，∵△ABC与△C'DE等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，在△BCE和△ACD中，CA=CB∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≅△ACD，∴BE=AD；（3）由题意可知：当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，所以α=180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值a−b，所以α=0°或α=360°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ． 【答案】①②③④【分析】由等边三角形的性质可证明△ACD≌△BCE，则可得①正确；由△ACD≌△BCE可得∠CAP=∠CBO，由∠APC=∠BPO，则由三角形内角和可得∠AOB=∠ACB=60°，则可得③正确；证明△ACP≌△BCQ，可得CP=CQ，由∠PCQ=60°可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；由△ACP≌△BCQ知，BQ=AP≠AB，即可判定⑤不正确，从而可确定答案．【详解】解：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=ED，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=180°−∠DCE=180°−∠ACB=∠DCE，∴△ACD≌△BCE，故①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBO，∵∠APC=∠BPO，∴由三角形内角和得：∠AOB=∠ACB=60°，故③正确；∵∠BCQ=180°−∠ACB−∠DCE=60°即∠ACB=∠BCQ=60°，∵AC=BC，∠CAP=∠CBO，∴△ACP≌△BCQ，∴CP=CQ，∵∠PCQ=60°，∴△CPQ是等边三角形，故④正确；∵△CPQ是等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故②正确；∵△ACP≌△BCQ，∴BQ=AP，当点P位于△ABC的边BC上时，始终有AP
专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc21650" 【题型1 设计轴对称图案】 PAGEREF _Toc21650 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】 PAGEREF _Toc5163 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc24102" 【题型3 翻折变换】 PAGEREF _Toc24102 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】 PAGEREF _Toc2831 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】 PAGEREF _Toc13368 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30657" 【题型6 分身等腰】 PAGEREF _Toc30657 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型7 一线分二腰】 PAGEREF _Toc17418 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc24246 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc910 \h 13【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴． 【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ． 【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE； 【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【题型3 翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD． (1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ． 【变式5-3】（2023·山东·八年级专题练习）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连结CE．可得CE+CD=AC（不需证明）．【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．【题型6 分身等腰】【例6】（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在第1个△A1BC，∠B=20°同A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2，到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（ ） A．12n80° B．12n−1⋅80° C．12n−1⋅100° D．12n⋅100°【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB=α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管5根，则α的取值范围是 ．【变式6-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，一钢架BAC中，∠A=x°，焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,⋯来加固钢架，且P1A=P1P2，对于下列结论，判断正确的是( )结论Ⅰ：若∠P3P2P4=75°，则x=25；结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么x的取值范围是907≤x<15 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【变式6-3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，，点在射线上，点在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A． B． C． D．【题型7 一线分二腰】【例7】（2023·全国·八年级专题练习）已知ΔABC是等腰三角形，过ΔABC的一个顶点的一条直线，把ΔABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．【变式7-1】（2023春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么则称这个三角形为“双腰三角形”．现有如下4个结论：①若一个三角形的两个内角分别是36°、72°，则这个三角形是“双腰三角形”②若一个三角形是直角三角形，则这个三角形是“双腰三角形”③若一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”④若一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，则这个三角形一定是“双腰三角形”其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期中）【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．【理解概念】：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”； （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线； 【应用概念】：（3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，∠ACB=_________．【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．(2)如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是 ．【题型8 角平分线的综合应用】【例8】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第二中学校考期中）已知：在ΔABC和ΔDEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=α．(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长AE交BD于F，求证：AF⊥BD；(2)如图2，AE与BD交于F，G在AD上，若FG平分∠AFD，求证：点C在直线FG上．【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；(2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由．(3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【变式8-2】（2023春·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．【变式8-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=60°．（1）求∠BGC的度数；（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC的周长．【题型9 垂直平分线的综合应用】【例9】（2023春·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF−CG=CA；③DE=DC；④CF=2CD+EG；其中正确的有 ．（填序号） 【变式9-1】（2023春·四川成都·八年级四川省成都市第七中学初中学校校考开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG． (1)如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：CG=B'G；(2)如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：CG+2GF=BG；(3)如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG=145GF，AF=3，S△ABG=7.5，求BF的长．【变式9-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F，AC=6，BC=9，则BF的长为 ． 【变式9-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．①求证：点D在BC的垂直平分线上；②BE＝ ．（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则①∠DFG＝ ；②若BC＝8，EC＝83，则GC＝ ．（3）如图3，过点A的直线l∥BC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 ． 专题15.10 轴对称图形与等腰三角形章末九大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc21650" 【题型1 设计轴对称图案】 PAGEREF _Toc21650 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5163" 【题型2 利用轴对称性质求最值】 PAGEREF _Toc5163 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24102" 【题型3 翻折变换】 PAGEREF _Toc24102 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc2831" 【题型4 两圆一线画等腰】 PAGEREF _Toc2831 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc13368" 【题型5 等边三角形手拉手问题】 PAGEREF _Toc13368 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc30657" 【题型6 分身等腰】 PAGEREF _Toc30657 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc17418" 【题型7 一线分二腰】 PAGEREF _Toc17418 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc24246" 【题型8 角平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc24246 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc910" 【题型9 垂直平分线的综合应用】 PAGEREF _Toc910 \h 53【题型1 设计轴对称图案】【例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴． 【答案】见解析【分析】如图1，以线段AB的垂直平分线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图2，以线段AB所在的直线为对称轴，找出点C的对称点D，然后顺次连接即可；如图3，以线段BC的垂直平分线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可；如图4，以线段BC所在的直线为对称轴，找出点A的对称点D，然后顺次连接即可．【详解】解：如图所示： 【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质，利用轴对称的作图方法作图是解此题的关键．【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）图形设计：请将网格中的某些小方格涂黑，使它与已涂黑的小方格组成轴对称图形，并且有两条对称轴．（要求用两种不同的方法） 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的性质来画轴对称图形，先确定对称轴，再找出阴影部分图形关键点的对称点，画出图形即可，图形的两部分沿对称轴折叠后可完全重合【详解】解：画图如下： 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是掌握轴对称图形的定义．【变式1-2】（2023春·吉林延边·八年级阶段练习）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图．（1）在图①中，以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个轴对称图形，使其内部已标注的格点只有3个．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据要求画图即可．因为画的是等腰三角形，因此至少要有两条边相等；（2）利用已知结合轴对称图形性质画出一个等腰三角形即可．解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：．考点：利用轴对称设计图案．【变式1-3】（2023春·八年级单元测试）请你分别在下面的三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形．【答案】详见解析【分析】利用轴对称图形性质分别得出图案即可．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键．【题型2 利用轴对称性质求最值】【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 ，此时∠CFE= ． 【答案】 12a+b 90°/90度【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE'+FE'的值最小【详解】解：∵△ABC，△ADE均为等边三角形，∴AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴AF=CF=12a,BF=b，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于点E'，此时AE'+FE'的值最小，∠CFE'=90° ∵CA=CM,∠ACM=60°∴△ACM是等边三角形，∴AM=AC，∵BF⊥AC，∴FM=BF=b，∴△AEF周长的最小值是AF+FE'+AE'=AF+FM=12a+b，故答案为：12a+b，90°【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．【变式2-1】（2023春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，AD=6，P为AB上一个动点，当P点运动时，PC+PD的最小值为 ．【答案】6【分析】作出点C关于AB的对称点F，连接FD，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，证明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到PC+PD的最小值为DF，计算即可．【详解】如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，D为BC中点，∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；作点C关于AB的对称点F，连接FD，交AB于点E，当点P与点E重合时，PC+PD取得最小值，且最小值为DF，根据对称性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，∴FB=AC,∠FBD=90°；∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°CD=BD，∴Rt△ACD≌Rt△FBD，∴AD=FD，∵AD=6，∴FD=6，∴PC+PD的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键．【变式2-2】（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上． (1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置；(3)在直线MN上找点Q使QB−QA最大，直接写出这个最大值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析；QB−QA最大值为3【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可；（2）作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为点P；（3）由于QA=QA1，则|QB−QA=QB−QA1|，而由三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，从而可得答案．【详解】（1）解：△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P； ∵点C与D关于MN的对称，∴PC=PD，∴PB+PC=PD+PB，∵PB+PD≥BD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立，∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小；（3）解：先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所示： ∵QA=QA1，∴|QB−QA=QB−QA1|，根据三角形的三边关系可得QB−QA1≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号，∴QB−QA的最大值为A1B=3．【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．【变式2-3】（2023春·广东深圳·八年级校考开学考试）【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE； 【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2) 平行 EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】（1）由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；（2）①由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），得出∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM（SAS），EC=EM，求得∠CEM=60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD＝60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P'E≥BP'＝5，进而解答此题．【详解】（1）证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ，∴ΔABD≌ΔACE（SAS）；（2）平行，EC=AC+CD，理由如下：由（1）得ΔABD≌ΔACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，CE＝BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM， ∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°， ∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°−180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔEDM中，PE=ED∠EPC=∠EDMPC=DM ，ΔEPC≌ΔEDM（SAS），∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED＝∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°−∠ECD−∠ACB=180°−60°−60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，连接EP'，在ΔCEP和ΔCEP'中，PC=P'C∠PCE=∠P'CE=60°CE=CE ，ΔCEP≌ΔCEP'（SAS），∴PE=P'E， 则BE+PE=BE+P'E，由三角形三边关系可知，BE+P'E≥BP'，即当点E与点C重合，BE+P'E=BP'时，PE+BE有最小值BP'，∵BP'=BE+CP'=BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+P'E≥BP'=5，∴BE+PE最小值为5． 【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【题型3 翻折变换】【例3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD． (1)如图1，当点E落在BC上时，求∠BDE的度数；(2)当点E落在BC下方时，设DE与BC相交于点F．①如图2，若DE⊥BC，试说明：CE∥AB；②如图3，连接BE，EG平分∠BED交CD的延长线于点G，交BC于点H．若BE∥CG，试判断∠CFE与∠G之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)10°(2)①见解析；②4∠G−∠CFE=40°【分析】（1）根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用外角即可求出∠BDE的度数；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，再利用垂直可得∠B=∠ECF=40°，即可得到CE∥AB；②设∠G=x，根据角平分线和平行线可得∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，可求得∠BCD=90°−∠ACD=90°−180°−∠A−∠ADC=2x−40°，再利用外角可得∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，即可得到4∠G−∠CFE=40°．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，∴∠A=∠CED=50°，∴∠BDE=∠CED−∠A=50°−40°=10°；（2）①根据翻折可得∠A=∠CED=50°，∠ADC=∠CDE∵DE⊥BC，∴∠ECF=90°−∠E=40°=∠B，∴CE∥AB；②4∠G−∠CFE=40°，理由如下：设∠G=x，∵BE∥CG，∴∠G=∠BEG=x，∠CDE=∠DEB∵EG平分∠BED，∴∠G=∠DEG=∠BEG=x，∠ADC=∠CDE=∠DEB=2x，∴∠ACD=180°−∠A−∠ADC=130°−2x，∴∠BCD=90°−∠ACD=90°−130°−2x=2x−40°，∴∠CFE=∠BCD+∠CDE=4x−40°，∴∠CFE=4∠G−40°，即4∠G−∠CFE=40°．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系．【变式3-1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AB=AC，将△ABC沿AC翻折得到△AB'C，直线AB与直线B'C相交于点E，若△AEB'是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．【答案】540°7或36°【分析】分三种情形：当B'A=B'E，点E在CB'和BA的延长线上，当AE=B'E，点E在AB和B'C的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．【详解】解：①如图，当B'A=B'E，点E在CB'和BA的延长线上， ∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，由折叠得：∠B=∠AB'C，∠BCA=∠B'CA，设∠B=x，则∠AB'C=∠BCA=∠B'CA=x，∠AEB'=∠EAB'=12x，∠EAC=2x，在△AEC中，由三角形内角和定理得：x+2x+12x=180°，∴x=360°7，即∠B=360°7，∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=540°7，∵360°7<540°7<90°，∴此时△ABC为锐角三角形，符合题意；②如图，当AE=B'E，点E在AB和B'C的延长线上， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCA，由折叠得：∠ABC=∠AB'C，∠BCA=∠B'CA，∵AE=B'E，∴∠AB'C=∠BAB'，∴∠ABC=∠ACB=∠ACB'=∠AB'C=∠BAB'，∵∠ABC+∠ACB+∠ACB'+∠AB'C+∠BAB'=360°，∴∠ABC=∠ACB=∠ACB'=∠AB'C=∠BAB'=72°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=36°，∵36°<72°<90°，∴此时△ABC为锐角三角形，符合题意；综上所述，满足条件的∠BAC的度数为540°7或36°．故答案为：540°7或36°．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【变式3-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．(1)判断∠1与∠2是否相等并说明理由；(2)若△DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出∠ADE的度数：(3)翻折后，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，直接写出∠ADE的度数．【答案】(1)∠1=∠2，理由见解析(2)70°(3)100°3或140°3或70°【分析】（1）由△ADE沿DE翻折可知AD=DF=CD，∠FDE=∠ADE=∠1， 可知△CDF为等腰三角形，∠DFC=∠DCF=∠2，∠CDF+∠FDE+∠EDA=180°，计算求解即可；（2）△DEF与△CDF全等，分两种情况讨论；①DF=DE=AD，∠A=∠DEA，∠ADE=180°−∠A−∠DEA，求∠ADE的值然后判断此时△DEF与△CDF是否全等，若全等，则∠ADE的值即为所求；②DF=FE=AD，∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE，∠ADE=∠FDE=180°−∠DFE2，求∠ADE的值然后判断此时△DEF与△CDF是否全等，若全等，则∠ADE的值即为所求；（3）分情况讨论①由题意知（2）中∠ADE=70°时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，DE=DG，∠DEG=∠DGE，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形DE=EG，∠EDG=∠DGE=∠1，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°计算求解即可.【详解】（1）解：∠1=∠2由△ADE沿DE翻折可知AD=DF，∠FDE=∠ADE=∠1∵D为AC的中点∴AD=CD=DF∴△CDF为等腰三角形∴∠DFC=∠DCF=∠2∵∠CDF+∠FDE+∠EDA=180°∴180°−2∠2+∠1+∠1=180°∴∠1=∠2．（2）解：∵CD=DF，△CDF是等腰三角形，△DEF与△CDF全等∴①如图1，当DF=DE=AD时，△ADE为等腰三角形，△DEF为等腰三角形∴∠A=∠DEA=40°，∠ADE=180°−∠A−∠DEA=100°∵∠ADE=∠EDF=100°∴∠ADE+∠EDF=200°>180°∴当DF=DE时，点F在AC的下方，不符合题意；又∵∠CDF=200°−180°=20°，∠CDF≠∠FDE∴△DEF与△CDF不全等，∠ADE=100°舍去；②如图2当DF=FE=AD时，△ADE为等腰三角形，△DEF为等腰三角形∴∠A=∠DFE，∠EDF=∠ADE ∠FDE=∠FED=180°−∠DFE2=180°−40°2=70°∴EF∥AD，EF=AD=CD∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形∴△EFD与△CDF全等∴∠ADE=∠FDE=70°∴当DF=FE时，△EFD与△CDF全等，∠ADE=70°；综上所述，若 △DEF与以点C，D，F为顶点的三角形全等，∠ADE的值为70°．（3）解：①由（2）中图2可知当∠ADE=70°时，△DEF在△ABC内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；②如图3，△DEG为△DEF与△ABC重合的等腰三角形∴DE=DG，∠DEG=∠DGE∵∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°∴∠DEG=180°−∠12=∠1+∠A=∠1+40°∴∠1=100°3∴∠ADE=100°3；③如图4，△DEG为△DEF与△ABC重合的等腰三角形∴DE=EG，∠EDG=∠DGE=∠1∵∠FDE=∠ADE=∠1，∠DEG=∠ADE+∠A，∠1+∠DEG+∠DGE=180°∴∠DEG=180°−2∠1=∠1+∠A=∠1+40°∴∠1=140°3∴∠ADE=140°3；综上所述，当△DEF和△ABC的重叠部分为等腰三角形时，∠ADE的值为100°3或140°3或70°．【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．(1)如图1，若∠BCD=40°，直接写出∠CFE的度数；(2)如图1，若CF=10，AF=4，求AE的长；(3)如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)60°(2)2(3)AF+BF=CF，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出∠ACE的值以及∠CAE=∠E，在△ACE根据三角形内角和定理求出∠E的值，然后在△CEF中根据三角形内角和定理求解∠CFE的值即可；（2）方法同（1）先求出∠CFE=60°，然后在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，如图1，可知△EFH是等边三角形，根据∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，得到∠ABF=∠CEH，证明△ABF≌△CEHSAS，最后根据AE=EF−AF=FH−AF计算求解即可；（3）由（2）可得AF+BF=CF，证明过程同（2）．【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得BC=CE=AC，∠ACB=∠B=∠BAC=60°，∠BCF=∠ECF=40°，∴∠CAE=∠E，∠ACD=∠ACB−∠BCF=20°，∴∠ACE=∠ECF−∠ACD=20°，∴∠CAE=∠E=180°−∠ACE2=80°，∵∠CFE=180°−∠ECF−∠E=180°−40°−80°=60°，∴∠CFE的度数为60°．（2）解：由（1）可得∠CFE=180°−∠E−∠ECF=180°−∠E−∠BCF，∵∠E=180°−∠ACE2，∠ACE=∠ECF−∠ACF=∠BCF−60°−∠BCF=2∠BCF−60°，∴∠E=180°−2∠BCF+60°2=120°−∠BCF，∴∠CFE=180°−120°+∠BCF−∠BCF=60°，如图1，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，BF，由题意知BF=EF，∠CFB=∠CFE=60°，∴△EFH是等边三角形，∵∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEHAB=CE，∴△ABF≌△CEHSAS，∴CH=AF=4，∴FH=CF−CH=6，∴AE=EF−AF=2，∴AE的长为2．（3）解：AF+BF=CF；证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，∠CFE=60°是定值，如图2，在CF上截取FH，使FH=EF，连接EH，∴同理（2）可知△EFH是等边三角形，∵∠ABF=180°−∠CFB−∠BCF−∠ABC=60°−∠BCF，∠CEH=∠AEC−60°=120°−∠BCF−60°=60°−∠BCF，∴∠ABF=∠CEH，在△ABF和△CEH中∵BF=EH∠ABF=∠CEHAB=CE，∴△ABF≌△CEHSAS，∴CH=AF，∴CF=FH+CH=BF+AF，∴AF+BF=CF．【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，翻折的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键．【题型4 两圆一线画等腰】【例4】（2023春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论．【详解】解：如下图，作AB垂直平分线与AC相交于点P，可得PA=PB，以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有P1、P2两个交点，可得P1A=AB,P2A=AB，以B为圆心，AB为半径画圆，交AC有P3一个交点，可得P3A=AB，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论．【变式4-1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1 、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（ ）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】D【详解】以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D.【变式4-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。【答案】8【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．【变式4-3】（2023春·广东湛江·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．【题型5 等边三角形手拉手问题】【例5】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）已如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，AC与BE交于点P求证：(1)BE＝AD(2)∠AOB的度数【答案】(1)证明见详解(2)60°【分析】（1）利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，即可得出BE＝AD（2）由△BCE≌△ACD可得∠CAD＝∠CBE，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE即∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC=BC∠BCE=∠ACDCE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD（2）由（1）可得△BCE≌△ACD∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）阅读与理解：图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片ABC和C'DE叠放在一起（C与C'重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定△ABC，将△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)操作：若将图1中的△C'DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α0°≤α≤360°，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD长度最小是多少？【答案】(1)BE=AD，证明见解析(2)BE=AD，证明见解析(3)当α=180°时，线段AD的长度最大为a+b，当α=0°或α=360°时，线段AD的长度最小为a−b【分析】（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质，证明△BCE≅△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD；（2）与（1）的思路方法一样，证明△BCE≅△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE=AD； （3）根据前面的旋转得到当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，则此时旋转的角度为180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD长度最小，等于a−b，旋转的角度0°或360°．【详解】（1）解：BE=AD，理由如下：∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转25°，∴∠BCE=∠ACD=25°，∵△ABC与△C'DE等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，在△BCE和△ACD中，CA=CB∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≅△ACD，∴BE=AD；（2）BE=AD，理由如下：∵△C'DE绕点C按顺时针方向旋转a，∴∠BCE=∠ACD=a，∵△ABC与△C'DE等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，在△BCE和△ACD中，CA=CB∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≅△ACD，∴BE=AD；（3）由题意可知：当点D旋转到CA的反向延长线上时，此时线段AD的长度最大，等于a+b，所以α=180°，当点D旋转后重新回到AC边上时，此时线段AD的长度最小，最小值a−b，所以α=0°或α=360°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．【变式5-2】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③∠AOB=60°；④△CPQ是等边三角形；⑤BQ=AB．恒成立的是 ． 【答案】①②③④【分析】由等边三角形的性质可证明△ACD≌△BCE，则可得①正确；由△ACD≌△BCE可得∠CAP=∠CBO，由∠APC=∠BPO，则由三角形内角和可得∠AOB=∠ACB=60°，则可得③正确；证明△ACP≌△BCQ，可得CP=CQ，由∠PCQ=60°可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；由△ACP≌△BCQ知，BQ=AP≠AB，即可判定⑤不正确，从而可确定答案．【详解】解：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=ED，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=180°−∠DCE=180°−∠ACB=∠DCE，∴△ACD≌△BCE，故①正确；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBO，∵∠APC=∠BPO，∴由三角形内角和得：∠AOB=∠ACB=60°，故③正确；∵∠BCQ=180°−∠ACB−∠DCE=60°即∠ACB=∠BCQ=60°，∵AC=BC，∠CAP=∠CBO，∴△ACP≌△BCQ，∴CP=CQ，∵∠PCQ=60°，∴△CPQ是等边三角形，故④正确；∵△CPQ是等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故②正确；∵△ACP≌△BCQ，∴BQ=AP，当点P位于△ABC的边BC上时，始终有AP
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