沪科版八年级数学上册精品专练12.5一次函数的应用【八大题型】(学生版+解析)

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专题12.5 一次函数的应用【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6321" 【题型1 分配方案问题】  PAGEREF _Toc6321 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc508" 【题型2 最大利润问题】  PAGEREF _Toc508 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc24455" 【题型3 行程问题】  PAGEREF _Toc24455 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14930" 【题型4 工程问题】  PAGEREF _Toc14930 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc20637" 【题型5 调运问题】  PAGEREF _Toc20637 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc22246" 【题型6 体积问题】  PAGEREF _Toc22246 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc28932" 【题型7 平面几何图形问题】  PAGEREF _Toc28932 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc17004" 【题型8 分段收费问题】  PAGEREF _Toc17004 \h 12【题型1 分配方案问题】【例1】（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购买“云VIP”，每次另行额外收费．设王先生“云健身”次数为x（次)，按照方案一所需费用为y1（元)，且y1=kxx(k1≠0)；按照方案二所需费用为y2 （元)，且y2=k2x+b(k2≠0)．其函数图象如图所示．(1)k1=　　；购买“云VIP”需 　　元；(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 　　（选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 　　（选填“一”或“二” ) 可以获得更多的次数．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？【变式1-2】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．(1)用含x的代数式填写下表：(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?【变式1-3】（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价之和为200元，购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元．(1)求A、B两种礼盒的单价；(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？【题型2 最大利润问题】【例2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）某公司有100个工人生产A、B、C三种型号的产品，每个工人每天只能生产一种型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个A、B、C型号产品获利情况如下表所示．每天生产A、B、C三种型号产品共1240个．设安排x(名)工人生产A型号产品，安排y (名)工人生产B型号产品．公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)．(1)分别求出y与x及w与x的函数关系式．(2)若生产A、B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案．(3)若要使每天获利最大，应采用哪种安排方案？求出最大利润．【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级统考期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污水时y与x的函数关系式；(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明．【变式2-2】（2023春·全国·八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清明前生产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元．(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？(2)该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？(3)将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（020时，y与x的函数表达式． （2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：小明家第二季度共用水多少立方米？【变式8-2】（2023春·云南玉溪·八年级统考期末）我市水利资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足，某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x(KWt)与应交电费y(元)之间的函数图象如图所示．（1）填空，月用电量为100(KWt)时，应交电费______元（2）当x≥100时，求y与x的函数关系式．（3）月用电量为260(KWt)时，应交电费多少元？【变式8-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）作为网红城市的重庆，五一节小长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费．小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题（1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为　 　；（2）请求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式；（3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程．专题12.5 一次函数的应用【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6321" 【题型1 分配方案问题】  PAGEREF _Toc6321 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc508" 【题型2 最大利润问题】  PAGEREF _Toc508 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc24455" 【题型3 行程问题】  PAGEREF _Toc24455 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc14930" 【题型4 工程问题】  PAGEREF _Toc14930 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc20637" 【题型5 调运问题】  PAGEREF _Toc20637 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc22246" 【题型6 体积问题】  PAGEREF _Toc22246 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc28932" 【题型7 平面几何图形问题】  PAGEREF _Toc28932 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc17004" 【题型8 分段收费问题】  PAGEREF _Toc17004 \h 40【题型1 分配方案问题】【例1】（2023春·河南商丘·八年级校联考期末）2022年河南省全民健身（线上）运动会最终各奖项于12月20日公布，此次盛会充分展示疫情防控常态化下我省全民健身开展情况，某健身房于此推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动．活动方案如下：方案一：不购买“云VIP”，每次收费10元；方案二：购买“云VIP”，每次另行额外收费．设王先生“云健身”次数为x（次)，按照方案一所需费用为y1（元)，且y1=kxx(k1≠0)；按照方案二所需费用为y2 （元)，且y2=k2x+b(k2≠0)．其函数图象如图所示．(1)k1=　　；购买“云VIP”需 　　元；(2)两种方案的函数图象交于点A，请求出点A的坐标并解释点A的实际意义；(3)若王先生准备“云健身”25次，选择方案 　　（选填“一”或“二” )所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 　　（选填“一”或“二” ) 可以获得更多的次数．【答案】(1)10，120(2)点A的坐标为(20,200)；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元(3)二；一【分析】（1）分别根据题意和函数的图象求解；（2）先根据待定系数法求出两个函数的解析式，再求出交点坐标，结合实际说出A点的意义；（3）根据图象可知，次数大于20次时，方案二的费用较少，费用小于200时，方案一次数较多，由此求解．【详解】（1）解：由题意得：y1=10x，由图象得：当x=0时，y2=120，即购买“云VIP”需 120元，故答案为：10，120；（2）由题意得：y1=10x，∵ (0,120)，(10,160)在y2=k2x+b 上，∴ b=120160=10k2+b，解得：k2=4b=120，∴y2=4x+120，令10x=4x+120，解得x=20，∴10x=200，∴点A的坐标为(20,200)；点A的实际意义为：当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元；（3）由图象得：王先生准备“云健身”25次，选择方案二所需费用较少；若王先生准备180元进行“云健身”，选择方案 一可以获得更多的次数；故答案为：二；一．【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．(1)参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？(2)某公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；学校计划租用A、B两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？【答案】(1)参加活动的八年级学生有670人，老师有30人(2)共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元【分析】（1）设带队老师有x人，则学生有210x+35人，根据“八年级学生和带队老师共700人参加研学活动”，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据表格中的数据和题意，可以写出费用和租用A种型号车辆数的函数关系，再根据题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的租车方案，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的租车费用．【详解】（1）解：设带队老师有x人，则学生有210x+35人，由题意可得：x+210x+35=700，解得：x=30，∴210x+35=2×10×30+35=670，答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；（2）解：设租用A种型号的客车a辆，则租用B种型号的客车16−a辆，总费用为w元，由题意可得：w=900a+120016−a=−300a+19200，∵w=−300<0，∴w随a的增大而减小，∵每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，∴−300a+19200≤1620040a+5516−a≥700，解得：10≤a≤12，∵a为整数，∴a=10或11或12，即共有三种租车方案，∴当a=12时，w取得最小值，此时w=15600，答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程、不等式组，写出相应的函数，利用一次函数的性质求最值．【变式1-2】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．(1)用含x的代数式填写下表：(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?【答案】(1)28−x，27−x，x−3，0.328−x，0.527−x，0.2x−3(2)y=−0.2x+21.3（3≤x≤27）(3)两种，分别是方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台；方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台；调运方案二的总耗资最少．【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数列出相关代数式即可；（2）利用x就可以表示出A省、B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，即可得到函数解析式；（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式求解即可．【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从A省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地；从A省向甲地需耗资0.4x万元，到乙地耗资0.328−x万元；从B省向甲地需耗资0.527−x万元，到乙地耗资0.2x−3万元，则填表如下：故答案为：28−x，27−x，x−3，0.328−x，0.527−x，0.2x−3（2）解：由（1）可知27−x≥0x−3≥0，则3≤x≤27由题意得：y=0.4x+0.328−x+0.527−x+0.2x−3即：y=−0.2x+21.3（3≤x≤27），故y与x之间的函数关系式为：y=−0.2x+21.3（3≤x≤27）．（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，解得：x≥25.5，又∵3≤x≤27，且x为整数，∴x＝26或27．∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），∵15.9＜16.1．∴调运方案二的总耗资最少．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、列函数解析式、列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．【变式1-3】（2023春·江苏苏州·八年级校联考期中）母亲节前夕，某工艺品店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价之和为200元，购进2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元．(1)求A、B两种礼盒的单价；(2)若该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数据不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？(3)已知销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使A、B两种礼盒全部售出后所有方案获利均相同，m的值应是多少？此时店主获利多少元？【答案】(1)A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元(2)共有三种方案(3)m=3，此时店主获利1200元【分析】1利用A、B两种礼盒的单价和为200元，2个A种礼盒和3个B种礼盒共花费520元，得出等式即可求A、B两种礼盒的单价；2利用两种礼盒恰好用去9600元，结合1中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；3首先表示出店主获利，进而利用a，b关系得出符合题意的答案即可．【详解】（1）解：设A种礼盒单价为x元，B种礼盒单价为200−x元，依据题意得：2x+3200−x=520，解得：x=80，则200−80=120(元)，答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：80a+120b=9600a≤36b≤2a，解得：30≤a≤36，∵a，b的值均为整数，∴a的值为：30、33、36，∴共有三种方案；（3）设店主获利为w元，则w=10a+18−mb，由80a+120b=9600，得：a=120−32b，则w=3−mb+1200，∵要使2中方案获利都相同，∴3−m=0，∴m=3，此时店主获利1200元．【点睛】此题主要考查了一次函数与对应的一元一次不等式及方程的应用，根据题意得出正确数量关系是解题关键．【题型2 最大利润问题】【例2】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）某公司有100个工人生产A、B、C三种型号的产品，每个工人每天只能生产一种型号的产品，每个工人每天生产三种型号产品的数量及每个A、B、C型号产品获利情况如下表所示．每天生产A、B、C三种型号产品共1240个．设安排x(名)工人生产A型号产品，安排y (名)工人生产B型号产品．公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)．(1)分别求出y与x及w与x的函数关系式．(2)若生产A、B、C每种都不小于27人，人数安排方案有几种？写出所有安排方案．(3)若要使每天获利最大，应采用哪种安排方案？求出最大利润．【答案】(1)y=−2.5x+120，w=120x+22800(2)人数安排有3种方案，分别是A型号32人，B型号40人，C型号28人；A型号34人，B型号35人，C型号31人；A型号36人，B型号30人，C型号34人(3)当x取得最大值36时，w的值最大，w的最大为：27120元【分析】（1）根据题意中的数量关系列方程即可；（2）根据生产A、B、C每种都不小于27人，列不等式组，根据（1）中的y与x的函数解析式即可求解；（3）根据（1）中w与x的函数关系式，由一次函数图像的性质可知，w随x的增大而增大，当x取得最大值，当x=36时，w的值最大，由此即可求解．【详解】（1）解：每个工人每天只能生产一种型号的产品，每天生产A、B、C三种型号产品共1240个，安排x(名)工人生产A型号产品，安排y (名)工人生产B型号产品，则安排了(100−x−y)名工人生产C型号产品，∴15x+12y+10100−x−y=1240，整理的，y=−2.5x+120，∵每个A产品的获利为18元，每个B产品的获利为20元，每个C产品的获利为30元，公司生产A、B、C三种型号产品每天获总利w (元)，∴w=18×15x+20×12y+30×10100−x−y，整理得，w=120x+22800．（2）解：生产A、B、C每种都不小于27人，∴x≥27y≥27100−x−y≥27，∵y=−2．5x+120，∴x≥27−2．5x+120≥27100−x+2．5x−120≥27，解此不等式组得解集为∶3113≤x≤37．2， 又∵y=−2．5x+120，∴x必须是偶数，即x的值是：32，34，36，①当x=32(人)时，y=−2．5x+120=−2.5×32+120=40(人)，100−x−y=100−32−40=28(人)；②当x=34(人)时，y=−2．5x+120=−2.5×34+120=35(人)，100−x−y=100−34−35=31(人)；③当x=36(人)时，y=−2．5x+120=−2.5×36+120=30(人)，100−x−y=10−36−30=34(人)；综上所述，人数安排有3种方案，分别是A型号32人，B型号40人，C型号28人；A型号34人，B型号35人，C型号31人；A型号36人，B型号30人，C型号34人．（3）解：∵w=120x+22800，k=120>0，∴w随x的增大而增大，∴当x取得最大值，由（2）可知，x的最大值是36，∴当x=36时，w的值最大，w的最大为：120×36+22800=27120(元)．【点睛】本题主要考查一次函数，一元一次不等式的实际运用，掌握一次函数图像的性质，不等式的性质解不等式组，不等式组的取值方法等知识是解题的关键．【变式2-1】（2023春·河北邢台·八年级统考期中）某工厂生产某种产品，每件产品的成本价为25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生0.5立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理．方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元．方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)设工厂每月生产x件产品，每月的利润为y元，分别求出按方案1，方案2处理污水时y与x的函数关系式；(2)工厂每月生产多少件产品时，采用两种方案所获利润相同？请说明理由；(3)工厂每月生产6000件产品时，采用何种方案才能使工厂所获利润最大？请通过计算加以说明．【答案】(1)方案1：y1=24x−30000x≥0；方案2：y2=18xx≥0(2)工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同，见解析(3)工厂采用方案1时所获利润更大，见解析【分析】（1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：50x，成本费为25x，产生的污水总量为0.5x，按方案一处理污水应花费：0.5x×2+30000，按方案二处理应花费：0.5x×14．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系；（2）令y1=y2，解方程即可；（3）根据（1）中得到的x与y的关系，将x=6000代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多．【详解】（1）按方案1处理污水时，y1=50x−25x−0.5x×2−30000=24x−30000（x≥0）．按方案2处理污水时，y2=50x−25x−0.5x×14=18x（x≥0）；（2）工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同，理由：当24x−30000=18x时，解得x=5000，所以工厂生产5000件产品时，采用两种方案所获利润相同；（3）当x=6000时，y1=24×6000−30000=114000；y2=18×6000=108000．因为y1＞y2，所以工厂采用方案1时所获利润更大．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键根据题干信息找出题中存在的等式关系，然后依照等式关系列出函数关系式．【变式2-2】（2023春·全国·八年级期末）“平遥古城三件宝，漆器牛肉长山药．”平遥推光漆器因其历史悠久和独特的制作工艺，和福州脱胎漆器、扬州漆器、成都漆器并称为中国四大漆器．某漆器厂清明前生产A、B两种首饰盒，若生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元．(1)每件A，B首饰盒的生产成本分别是多少元？(2)该厂准备用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍，问共有几种生产方案？(3)将漆器供应给商场后，每件A首饰盒可获利100元，每件B首饰盒可获利40元，在（2）的前提下，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【答案】(1)每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．(2)共有4种生产方案．(3)生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．【分析】（1）设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，根据“生产10件A首饰盒和20件B首饰盒，共需投入成本3100元；若生产20件A首饰盒和10件B首饰盒，共需投入成本3800元”列二元一次方程组，求解即可；（2）设该厂生产B首饰盒m件，根据用不超过12900元的资金生产这两种首饰盒共100件，且要求生产A首饰盒数量不少于B首饰盒数量的2倍列一元一次不等式组，求解即可；（3）设该厂总获利w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定获利最大时的生产方案．【详解】（1）解：设每件A首饰盒的生产成本是x元，每件B首饰盒的生产成本是y元，根据题意，得10x+20y=310020x+10y=3800，解得x=150y=80，答：每件A首饰盒的生产成本是150元，每件B首饰盒的生产成本是80元．（2）设该厂生产B首饰盒m件，根据题意，得100−m≥2m150100−m+80m≤12900，解得30≤m≤1003，∴m取正整数：30，31，32，33，∴共有4种生产方案．（3）设该厂总获利w元，根据题意，得w=100100−m+40m=−60m+10000，∵−60<0，∴w随着m的增大而减小，∴当m=30时，w取最大值，最大利润=−60×30+10000=8200 元 ，100−30=70（件），∴生产A首饰盒70件，B首饰盒30件时总获利最大，最大利润为8200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意建立关系式是解题的关键．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（00时，y随x的增大而增大，∴当x=150时，y有最大值150n−2+3600，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤150，利润都是3600．【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．【题型3 行程问题】【例3】（2023春·全国·八年级期中）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的910继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②OA//CD；③点D的坐标为65,27500；④图中a的值是4703，其中正确的结论有（　　）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程=速度×时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求OA与CD解析式可判断②，先求出点C货车的时间，用轿车修车20分钟-BC段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点D的坐标可判断③；求出轿车速度2000×910=1800（米/分），到x=a时轿车追上货车两车相遇，列方程（a-65）×（1800-1500）=27500，解得a=4703可判断④．【详解】解：由图象可知，当x=10时，轿车开始出发；当x=45时，轿车开始发生故障，则x=45-5=40（分钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，设货车速度为x米/分，轿车故障前的速度为y米/分，根据题意，得：10x=40−10y−x45−40y−x=2500，解得：x=1500y=2000，∴货车的速度为1500米/分，轿车故障前的速度是2000米/分，故①货车的速度为1500米/分正确；∵A(10,15000)设OA解析式：y=kx+b过点O（0，0）与点A，代入坐标得b=010k+b=15000解得b=0k=1500∴OA解析式：y=1500x点C表示货车追上轿车，从B到C表示货车追及的距离是2500，货车所用速度为1500，追及时间为25001500=53分点C（1403，0）CD段表示货车用20-53=553分钟行走的路程，D点的横坐标为45+20=65分，纵坐标1500×553=27500米，∴D（65,27500）故③点D的坐标为65,27500正确；设CD解析式为y=k1x+b1，代入坐标得1403k1+b1=065k1+b1=27500解得k1=1500b1=-70000∴CD解析式为y=1500x-70000∵OA与CD解析式中的k相同，∴OA∥CD，∴②OA//CD正确；D点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的910，即此时轿车的速度为：2000×910=1800（米/分），到x=a时轿车追上货车两车相遇，∴（a-65）×（1800-1500）=27500，解得a=65+2753=4703，即图中a的值是4703；故④图中a的值是4703正确，正确的结论有4个．故选择D．【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中获取信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想，方程思想解答．【变式3-1】（2023春·安徽芜湖·八年级统考期末）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A、B两地之间的距离是　 　米，乙的步行速度是　 　米/分；(2)图中a=　 　，b=　 　，c=　 　；(3)求线段MN的函数解析式．【答案】(1)1200；60(2)900；800；15(3)y=−20x+120015≤x≤20【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到A、B两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得乙的步行速度；（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；（3）设线段MN的函数解析式为y=kx+n，将点M，N的坐标代入解析式，解关于k，n的二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由图象知：当x=0时，y=1200，∴A、B两地之间的距离是1200米，由图象知：乙经过20分钟到达A，∴乙的速度为1200÷20=60（米/分），故答案为：1200；60；（2）由图象知：当x=607时，y=0，∴甲、乙二人的速度和为：1200÷607=140（米/分），由（1）知：乙的速度为60米/分，∴甲的速度为140−60=80（米/分），∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，∴c=1200÷80=15（分钟），∴a=60×15=900（米），∵点N的实际意义是经过20分钟乙到达A地，∴b=900−80−60×5=800（米），故答案为：900；800；15；（3）由题意得：M15,900，N20,800，设线段MN的函数解析式为y=kx+n，∴15k+n=90020k+n=800，解得：k=−20n=1200，∴线段MN的函数解析式为y=−20x+120015≤x≤20．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象上点的坐标的实际意义是解题的关键．【变式3-2】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF−FM−MN为折线段．请结合图像回答下列问题：  (1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或395【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为450÷9=50(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：3x=50×3+90，解得x=80，甲机器人行走的总路程为：450+90=540(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：50×2=100(米)，∴m=540−320−100=120，故答案为：120．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当t=6时，甲乙两机器人的距离为：80×4+50×6−4−90+50×6=30（米），当甲到达终点C时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t=9（分）当6≤t≤9时，y乙=−50t+450当6≤t≤7.5时，y甲=−80t+600当7.53，此种情况不符合题意；②当36时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180−240x−1−1200=60x−180，解得：x=6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240x−1−1200−180=60x−180，解得：x=8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，行程问题的数量关系的运用，注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用．【题型4 工程问题】【例4】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的1.5倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？【答案】(1)甲工程队每天修路0.9千米，乙工程队每天修路0.6千米(2)共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱．【分析】（1）设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路1.5x千米，根据乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可；（2）设甲工程队修路a天，根据修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，列出不等式组，求出a的取值范围，确定方案，设花费的总费用为w，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，即可得出结论．【详解】（1）解：设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路1.5x千米，由题意，得：36x−20=361.5x，解得：x=0.6，经检验x=0.6，是原方程的解，1.5x=0.9；答：甲工程队每天修路0.9千米，乙工程队每天修路0.6千米；（2）解：设甲工程队修路a天，由题意，得∶a+36−0.9a0.6≤5525×0.9a+20×36−0.9a≤820，解得：10≤a≤2009，∵a为整数，∴a可以取：10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22；∴共有13种方案；设共需花费w万元，由题意，得：w=25×0.9a+20×36−0.9a=4.5a+720，∵4.5>0，w随着a的增大而增大，∴当a=10时，w的值最小，即：甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱．答：共有13种方案，其中甲单独干10天，剩下的乙单独修完，最省钱．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程，不等式组．【变式4-1】（2023春·重庆·八年级重庆八中校考期中）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作10天可完成；若甲工程队先单独施工5天，再由乙工程队单独施工20天也可完成．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了m天，每天需付施工费3万元，乙工程队做另一部分工程用了n天，每天需付施工费1.4万元，若m，n都是正整数，乙工程队做的时间不到17天，求出此项工程总施工费用的最小值．【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天(2)此项工程总施工费用的最小值为43.4万元【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为1x，乙工程队的工作效率为110−1x，依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）依题意，115m+130n=1，得出m=15−n2，设此项工程总施工费用为y，依题意可函数关系，根据一次函数的性质，求得最小值即可求解．【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为1x，乙工程队的工作效率为110−1x，依题意得，5x+110−1x×20=1，解得：x=15，经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，∴乙工程队需要：1÷110−115=1÷330−230=30（天），答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．（2）解：依题意，115m+130n=1，∴2m+n=30，即m=15−n2，设此项工程总施工费用为y，则y=m×3+n×1.4=3m+1.4n=315−0.5n+1.4n= 45−0.1n ，∵−0.1<0，y随n的增大而减小，又n<17，当n=16时，y取得最小值，y=45−0.1×16=45−1.6=43.4(万元)，∴此项工程总施工费用的最小值为43.4万元．【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考期中）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1440米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一任务，已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该工程的工期不超过12天，工程分配给甲工程队m米，写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，施工时，每天需要支付甲工程队1520元，每天需要支付乙工程队1200元，完成这项工程的总支出为y元，写出y关于m的函数解析式，并利用函数的性质，说明如何设计施工方案所支付的总费用最少？【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设80米和60米；（2）720≤m≤1440；（3）y＝﹣m＋28800；工程全部分配给甲工程队支出的总费用最少．【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x−20）米，根据甲工程队铺设480米所用的天数与乙工程队铺设360米所用的天数相同，列方程求解；（2）设分配给甲工程队m米，则分配给乙工程队（1440−m）米，根据总工期不超过12天，列不等式，解不等式即可；（3）设完成这项工程的总支出为y元，根据题意得到y＝m80×1520＋1440-m60×1200＝−m＋28800，根据一次函数的性质即可求得．【详解】解：（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．根据题意得480x＝360x−20，解得：x＝80，经检验：x＝80是原分式方程的解，且符合题意，则x﹣20＝60，答：甲、乙工程队每天分别能铺设80米和60米；（2）设分配给甲工程队m米，则分配给乙工程队（1440﹣m）米，由题意，得m80＋1440−m60≤12，解得：m≥720，∵m≤1440，∴720≤m≤1440；（3）设完成这项工程的总支出为y元，y＝m80×1520＋1440−m60×1200＝19m＋28800﹣20m＝﹣m＋28800，∵﹣1＜0，∴y随m的增大而减小，∵720≤m≤1440，∴m＝1440时，y的值最小，支出的总费用最少，∴工程全部分配给甲工程队支出的总费用最少．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．【变式4-3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）某市计划修建一条长60千米的地铁，根据甲，乙两个地铁修建公司标书数据发现：甲，乙两公司每天修建地铁长度之比为3：5；甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要多用240天．（1）求甲，乙两个公司每天分别修建地铁多少千米？（2）该市规定：“该工程由甲，乙两个公司轮流施工完成，工期不超过450天，且甲公司工作天数不少于乙公司工作天数的56”．设甲公司工作a天，乙公司工作b天．①请求出b与a的函数关系式及a的取值范围；②设完成此项工程的工期为W天，请求出W的最小值．【答案】（1）甲公司每天修建地铁110 千米，乙公司每天修建地铁16千米；（2）①b=−35a+360(200≤a≤225)；②W最小值为440天【分析】（1）甲公司每天修3x千米，乙公司每天修5x千米，根据题意列分式方程解答即可；（2）①由题意得110a+16b=60，再根据题意列不等式组即可求出a的取值范围；②写出W与a、b之间的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设甲公司每天修3x千米，乙公司每天修5x千米，根据题意得，603x−605x=240，解得x=130，经检验，x=130为原方程的根，∴ 3x=110，5x=16，答：甲公司每天修建地铁110千米，乙公司每天修建地铁16千米；（2）①由题意得，110a+16b=60，∴ b=−35a+360，又∵ a+b⩽450a⩾56b，∴200⩽a⩽225；②由题意得W=a+b，∴W=a+(−35a+360)，即W=25a+360，∵a=25>0，∴W随x的增大而增大，又∵200⩽a⩽225，∴a=200时，W最小值为440天．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出数量关系并利用该数量关系求解．【题型5 调运问题】【例5】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）厦门市同安区A、B两村生产龙眼，A村生产的龙眼重量为200吨，B村生产的龙眼重量为300吨．现将这些龙眼运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可存储240吨，D仓库可存储260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元设从A村运往C仓库的龙眼重量为x吨，A、B两村运往两仓库的龙眼运输费用的分别为yA元和yB元(1)当x为何值时，A村和B村的运输费用相等；(2)考虑到B村的经济承受能力，B村的龙眼运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎么样调运，才能使两村运费之和最小?求出这个最小值．【答案】(1)当x＝40时，两村费用相等；(2)从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【分析】（1）由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，故运往D仓库为（200﹣x）吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，由从A村运往C、D两厂的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两厂的费用分别为每吨15元和18元，由表格中的代数式分别求得yA、yB与x之间的函数关系式；令yA=yB时，x＝40，即可解答；（2）由B村的龙眼运费不得超过4830元得出不等式，求出自变量的取值范围，再由两个函数和，根据自变量的取值范围，利用一次函数的性质求得最值．【详解】（1）解：由A村共有龙眼200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x）＝（60+x）吨，∴yA＝20x+25（200﹣x）＝5000﹣5x，yB＝15（240﹣x）+18（60+x）＝3x+4680，令yA＝yB时，5000﹣5x＝3x+4680，解得：x＝40，∴当x＝40时，两村费用相等；（2）由yB≤4830，得3x+4680≤4830，解得x≤50，设A、B两村运费之和为y，则y＝yA+yB＝5000﹣5x+3x+4680＝﹣2x+9680，∵﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小，又0≤x≤50，∴当x＝50时，y有最小值，最小值是y＝﹣2×50+9680＝9580（元），200﹣50＝150，240﹣50＝190，60+50＝110．答：从A村运往C仓库的龙眼重量为50吨，运往D仓库的龙眼重量为150吨，从B村运往C仓库的龙眼重量为190吨，运往D仓库的龙眼重量为110吨才能使两村所花运费之和最小，最少总运费是9580元．【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽滁州·八年级校考期末）甲，乙两厂积极生产某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）(1)求甲，乙两厂各生产了这批物资多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．【答案】(1)甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨(2)甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；【详解】（1）解：设甲厂生产这批物资a吨，乙厂生产这批物资b吨；由题意，得a+b=5002a−b=100，解得，a=200b=300，所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨．（2）解：∵y=20240−x+25260−300−x+15x+24300−x=−4x+11000，∵x≥0240−x≥0300−x≥0x−40≥0，∴40≤x≤240，∵k=−4<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=240时运费最小．所以总运费的方案要是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．【变式5-2】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调动一台机器到C村和D村的运费分别是100元和200元，从B市调动一台机器到C村和D村的运费分别是90元和150元．(1)设完成该任务所需总运费为y元，A市运往C村机器x台，求总运费y关于x的函数关系式，并指出x有哪些可取值；(2)若要求总运费不超过2400元，共有几种不同的调运方案；(3)求出最低总费用，并把总运费最低时候的调运方案的数据写出来．【答案】(1)y=2700−40x(2)共有3种调配方案(3)最低费用是2300元．从A市支援C市10台，则支援D市2台，B市支援C市0台，支援D市6台【分析】（1）设出A支援C的数量，然后根据A，B两市的库存量，和C，D两市的需求量，分别表示出B支援C，D的数量，再根据调用的总费用=A支援C市的运费+A支援D市的运费+B支援C市的运费+B支援D市的运费，列出函数关系式．（2）中总费用不超过2400元，让函数值小于2400求出此时自变量的取值范围，然后根据取值范围来得出符合条件的方案；（3）根据（1）中的函数式以及自变量的取值范围即可得出费用最小的方案．【详解】（1）设从A市支援C市x台，则支援D市12−x台，B市支援C市10−x台，支援D市x−4台，总运费y元．∵从A市调运一台机器到C市的运费为100元，到D市的运费为200元；从B市调运一台机器到C市的运费为90元，到D市的运费为150元．∴y=100x+20012−x+9010−x+150[8−12−x]=2700−40x；（2）∵y≤2400∴2700−40x≤2400∴x≥7.5∵x≤10∴x=8，9，10∴共有3种调配方案；（3）由y=2700−40x可知，当x=10时，总运费最低，最低费用是2300元．从A市支援C市10台，则支援D市2台，B市支援C市0台，支援D市6台．【点睛】本题重点考查函数模型的构建，考查利用一次函数的有关知识解答实际应用题，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．【变式5-3】（2023春·天津和平·八年级统考期末）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元，设从A调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．(1)用含x的代数式填写下表：(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)若总耗资不超过16.2万元，共有哪几种调运方案?【答案】(1)28−x，27−x，x−3，0.328−x，0.527−x，0.2x−3(2)y=−0.2x+21.3（3≤x≤27）(3)两种，分别是方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台；方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台；调运方案二的总耗资最少．【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数列出相关代数式即可；（2）利用x就可以表示出A省、B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，即可得到函数解析式；（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式求解即可．【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从A省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地；从A省向甲地需耗资0.4x万元，到乙地耗资0.328−x万元；从B省向甲地需耗资0.527−x万元，到乙地耗资0.2x−3万元，则填表如下：故答案为：28−x，27−x，x−3，0.328−x，0.527−x，0.2x−3（2）解：由（1）可知27−x≥0x−3≥0，则3≤x≤27由题意得：y=0.4x+0.328−x+0.527−x+0.2x−3即：y=−0.2x+21.3（3≤x≤27），故y与x之间的函数关系式为：y=−0.2x+21.3（3≤x≤27）．（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，解得：x≥25.5，又∵3≤x≤27，且x为整数，∴x＝26或27．∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），∵15.9＜16.1．∴调运方案二的总耗资最少．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、列函数解析式、列代数式、一元一次不等式的应用等知识点，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲地后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．【题型6 体积问题】【例6】（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．  (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm2（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积．【答案】(1)20，140(2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同(3)21000mm3【分析】（1）借助图像可知折线A−B−C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案；（2）分别求出线段AB、DE的解析式，然后联立解方程组即可解题；（3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题．【详解】（1）解：由图像可知，折线A−B−C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是20mm，铁块的高度是140mm；故答案为：20，140．（2）设线段AB的解析式为：y=kx+b，将点0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，k=30b=20∴ y=30x+20设线段DE的解析式为：y=mx+n，将点0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，m=−20n=120∴ y=−20x+120，令30x+20=−20x+120，解得x=2，∴注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同．（3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm，当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm．设铁块的底面积为a mm2．∵匀速注水，∴1分钟非水量是相等的．乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为：30×900−amm3不放铁块时，1分钟注水的体积为：25×900mm3，∴ 30×900−a=25×900，解得a=150，∴铁块的体积为：150×140=21000mm3．【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．【变式6-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？【答案】（1）2；（2）y＝2x+30；（3）10【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度；（2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式；（3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案．【详解】解：（1）36-30=6（cm）,6÷3=2（cm）故答案为：2；（2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36），代入得：b=303k+b=36，解得k=2b=30，即y＝2x+30；（3）由2x+30＞49，得x＞9.5，即至少放入10个小球时有水溢出．【点睛】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．【变式6-2】（2023春·江西赣州·八年级统考期末）我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫升的量筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒中水的体积如下表（精确到1ml）：    （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点；（2）量筒中的水量Vml是否为时间ts的函数？如果是，试求出一个符合表中数据的函数解析式；（3）若水费为3.6元/m3，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要浪费多少钱？（1m3=106ml，结果保留整数）．【答案】（1）见解析；（2）是，V=3t(0⩽t⩽10)1.5t+15(t>10)；（3）14元【分析】（1）（1）描点、连线，画出函数图象；（2）由图象可知y与t近似成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；（3）根据一个月30天、一天24小时、一小时60分钟，1分钟=60秒，可将一个月时间转化为秒，将其代入（2）的函数关系式中可求出漏水的体积，再结合水的密度，即可得出结论．【详解】解：（1）描点、连线，画出函数图象，如图所示：  （2）量筒中的水量V(ml)是时间t(s)的函数，当0≤t≤10时，V=3t；当t>10时．设V=kt+b，则10k+b=3030k+b=60，解得k=1.5b=15，∴V=1.5t+15，∴ V=3t(0≤t≤10)1.5t+15(t>10)；（3）(1.5×30×24×60×60+15)÷1000000×3.6≈14（元)．答：这个水龙头一个月(30天）要浪费14元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、函数图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出一个月的漏水量．【变式6-3】（2023春·浙江·八年级期末）将一块a×b×ca0，即−12x+12>0，则x<24，∵x>0，∴010，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；（3）设A团有n人，则B团的人数为（60-n），然后分0≤n≤10与n>10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解解即可.【详解】解：（1）a=6   b=8（2）y1=60xy2=100x1≤x≺1080x+200(x≻10) （3）设A团有n人，B团有60−n人，当0≤n≤10时，100n+6060−n=4600解得：n=25（不合题意，故舍去）当n>10时，80n+200+6060−n=4600解得：n=4060−n=60−40=20（人）答：A，B两个团队各有40人和20人.【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和从图表获取必要的信息是解答本题的的关键.【变式8-1】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过20m3时，按2.5元/ m3计费；月用水量超过20m3时，其中20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.2元/ m3计费，设每户家庭月用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别写出0≤x≤20和x>20时，y与x的函数表达式． （2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：小明家第二季度共用水多少立方米？【答案】（1）当0≤x≤20时y1=2.5x，当x＞20时y2=3.2x−14；（2）56立方米【分析】（1）根据题意写出收费和用水量的函数关系式；（2）根据每月用水量20m³时收费50元，然后根据四、五月份收费小于50元和六月份大于50元分别代入y=2.5x 和y=3.2x-14中求出x，再相加即可．【详解】（1）当0≤x≤20时，y1=2.5x； 当x>20时，y2=2.5×20+3.2x−20=3.2x−14；2当x=20时，y1=50∵40<50,45<50,56.4>50∴四、五月份的月用水量比20m3少，六月份的月用水量比20m3多令y1=40，得x=16令y1=45，得x=18令y2=56.4，得x=2216+18+22=56（立方米）∴第二季度共用水56立方米【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意题意写出y与x的函数关系式．【变式8-2】（2023春·云南玉溪·八年级统考期末）我市水利资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足，某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x(KWt)与应交电费y(元)之间的函数图象如图所示．（1）填空，月用电量为100(KWt)时，应交电费______元（2）当x≥100时，求y与x的函数关系式．（3）月用电量为260(KWt)时，应交电费多少元？【答案】（1）40；（2）y=15x+20；（3）应交电费72元．【分析】（1）直接根据图象上点的坐标意义可知：月用电量为100（KWt）时，应交电费40元；（2）设y=kx+b，把点（100，40），（200，60）代入可得k=15，b=20．即所求解析式为y=15x+20；（3）实质是求：当x=260时，y=15×260+20=72．【详解】解：（1）从图象上可以看出，月用电量为100（KWt）时，应交电费40元；故答案为：40；（2）设y=kx+b把点（100，40），（200，60）代入得100k+b＝40200k+b＝60 解得，k=15b=20 所求解析式为y=15x+20；（3）当x=260时，y=15×260+20=72答：用电量为260（KWt）时，应交电费72元．【点睛】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．【变式8-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）作为网红城市的重庆，五一节小长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费．小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题（1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为　 　；（2）请求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式；（3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程．【答案】（1）46；（2）y＝2x+4；（3）小李支付车费37元，其打车的路程为20千米．【分析】（1）根据图象求出打车里程超过9千米时的y与x的函数关系式，依据关系式求出答案即可，（2）用待定系数法求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式，（3）将y＝37元代入（1）中的函数关系式中，可求出打车的路程．【详解】（1）设车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝kx+b（x>6)，把（6，16），（9，20.5）代入得：6k+b=169k+b=20.5，解得：k＝1.5，b＝7，∴y＝1.5x+7，当x＝26时，y＝1.5×26+7＝46元，故答案为46；（2）当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝kx+b，把（3，10），（6，16）代入得：3k+b=106k+b=16，解得：k＝2，b＝4，∴y＝2x+4，答：当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝2x+4；（3）把y＝37元代入y＝1.5x+7得，1.5x+7＝37，解得：x＝20，答：小李支付车费37元，其打车的路程为20千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是根据题意，利用待定系数法，分段求出解析式，运用解析式解题．A型号客车B型号客车载客量（人辆）4055租金（元/辆）9001200运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省ABC每个工人每天生产数量/个151210每个产品获利/元182030商品进价售价丘乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52目的地生产厂AB甲2025乙1524运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省时间ts102030405060量筒中的水量Vml3045607590105月份四月份五月份六月份交费金额40元45元56.4元A型号客车B型号客车载客量（人辆）4055租金（元/辆）9001200运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省x28−xB省27−xx−3运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4x0.328−xB省0.527−x0.2x−3ABC每个工人每天生产数量/个151210每个产品获利/元182030商品进价售价丘乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52目的地生产厂AB甲2025乙1524运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省xB省运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4xB省运往甲地（单位：台）运往乙地（单位：台）A省x28−xB省27−xx−3运往甲地耗资（单位：万元）运往乙地耗资（单位：万元）A省0.4x0.328−xB省0.527−x0.2x−3时间ts102030405060量筒中的水量Vml3045607590105月份四月份五月份六月份交费金额40元45元56.4元