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初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性学案
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这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性学案，共34页。学案主要包含了知识点归纳，知识点一，要点提示，知识点二，题型展示与方法点拨，中考链接与拓展延伸等内容，欢迎下载使用。
【知识点一】线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；
2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
3.线段的垂直平分线的性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
【知识点二】角的轴对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
（3）角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线的性质定理
【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【题型2】角平分线的判定定理
【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，，则的长为 ．
【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【题型3】尺规作图——作角平分线
【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．
求证：__________．
请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．
【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点E．
已知，，则的面积为（ ）
A．5B．7C．9D．14
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【题型4】线段垂直平分线的性质定理
【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ．
【题型5】线段垂直平分线的判定定理
【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．
求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．
【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线
【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
【题型7】轴对称的综合变换
【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．
【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
【例2】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
专题2.3 线段、角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；
2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
3.线段的垂直平分线的性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
【知识点二】角的轴对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
（3）角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线的性质定理
【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
如图所示，作于点，根据角平分线的性质可得，根据中点的性质可得，再根据全等三角形的判定可得，，由此可得，，由此即可求解．
解：证明：如图所示，作于点，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
过点作垂线交于点，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：过点作垂线交于点，
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
故选：B．
【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案．
解：在中，于E，于F，为的平分线，
，
的面积是，
，即，
，
，
故答案为：．
【题型2】角平分线的判定定理
【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，，则的长为 ．
【答案】(1)详见解析 (2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题；
（2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题．
解：（1）证明：如图，连接，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
于点，于点，
平分；
（2）解：，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答．
解：如图：过点D作
∵
∴
∵
∴
∴是的角平分线
∴
∵，
∴
∴的度数为
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
【题型3】尺规作图——作角平分线
【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．
求证：__________．
请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．
【分析】本题考查尺规作图—角平分线，全等三角形的判定与性质，命题与证明，根据命题可知求证：点在的平分线上．过点作，证明可得，即可得到结论．
解：完成作图如图所示．
求证：点在的平分线上．
证明：过点作，如图所示．
是的角平分线，
．
，
又，
．
，即点在的平分线上．
【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点E．
已知，，则的面积为（ ）
A．5B．7C．9D．14
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
解：由基本作图得到平分B，
∴点E到和的距离相等，
∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为，
∴．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【题型4】线段垂直平分线的性质定理
【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
解：（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长的周长，即可得结论．
解： 以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D，
是的中垂线，
，
，
的周长，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案．
解：由作图可知是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为，
，
的周长为，
的周长比的周长大，
，
，
的周长为，
故答案为：8．
【题型5】线段垂直平分线的判定定理
【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．
求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；
（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明；
（2）根据垂直平分线的判定证明即可．
解：（1）证明：∵，平分，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
解：以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
【变式2】 （22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
解：如图所示，取的中点F，连接，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴三点共线，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线
【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置．
解：如图：（1）做出的角平分线；
（2）连接，作的垂直平分线；
（3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M．
【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．
解：在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
【答案】/厘米
【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．
解：由画图可知：
是的垂直平分线，
，，
的周长为，即，
，
的周长为，即，
，
故答案为：．
【题型7】轴对称的综合变换
【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．
【答案】，理由见解析
【分析】由题意根据对称性可得，，进而利用线段间的等量代换得出进行计算即可．
解：，理由如下：
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
，．
，，，
，，．
．
【点拨】本题考查对称问题，熟练掌握利用线段间的等量代换进行分析是解题的关键．
【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．
解：将关于对称至点，连接 ，
∴，
∴，
∴，
∵，，，且，
∴是中点，
∴．
∴
故选：B
【点拨】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．
【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝AC＝2，
∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：C．
【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
解：连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，
根据角平分线的性质和可得，再根据三角形的外角定理分别求出，，进而可求解
解：如图所示：交于点E，
由题意可知：
平分，平分，
，
，
，
即，
，
，
是的一个外角，
是的一个外角，
,
故答案为：36
【例2】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
解：（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
【知识点一】线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；
2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
3.线段的垂直平分线的性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
【知识点二】角的轴对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
（3）角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线的性质定理
【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【题型2】角平分线的判定定理
【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，，则的长为 ．
【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【题型3】尺规作图——作角平分线
【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．
求证：__________．
请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．
【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点E．
已知，，则的面积为（ ）
A．5B．7C．9D．14
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【题型4】线段垂直平分线的性质定理
【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ．
【题型5】线段垂直平分线的判定定理
【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．
求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．
【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线
【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
【题型7】轴对称的综合变换
【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．
【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
【例2】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
专题2.3 线段、角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；
2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
3.线段的垂直平分线的性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
【知识点二】角的轴对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
（3）角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线的性质定理
【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
如图所示，作于点，根据角平分线的性质可得，根据中点的性质可得，再根据全等三角形的判定可得，，由此可得，，由此即可求解．
解：证明：如图所示，作于点，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等．
过点作垂线交于点，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：过点作垂线交于点，
∵平分，，，
∴，
∴的面积为．
故选：B．
【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，， ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案．
解：在中，于E，于F，为的平分线，
，
的面积是，
，即，
，
，
故答案为：．
【题型2】角平分线的判定定理
【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，，则的长为 ．
【答案】(1)详见解析 (2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题；
（2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题．
解：（1）证明：如图，连接，
于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
于点，于点，
平分；
（2）解：，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答．
解：如图：过点D作
∵
∴
∵
∴
∴是的角平分线
∴
∵，
∴
∴的度数为
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
【答案】/84度
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
【题型3】尺规作图——作角平分线
【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．
求证：__________．
请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．
【分析】本题考查尺规作图—角平分线，全等三角形的判定与性质，命题与证明，根据命题可知求证：点在的平分线上．过点作，证明可得，即可得到结论．
解：完成作图如图所示．
求证：点在的平分线上．
证明：过点作，如图所示．
是的角平分线，
．
，
又，
．
，即点在的平分线上．
【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；
②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；
③作射线，交于点E．
已知，，则的面积为（ ）
A．5B．7C．9D．14
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．
解：由基本作图得到平分B，
∴点E到和的距离相等，
∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为，
∴．
故选：B．
【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．
解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【题型4】线段垂直平分线的性质定理
【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
解：（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长的周长，即可得结论．
解： 以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D，
是的中垂线，
，
，
的周长，
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案．
解：由作图可知是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为，
，
的周长为，
的周长比的周长大，
，
，
的周长为，
故答案为：8．
【题型5】线段垂直平分线的判定定理
【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．
求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；
（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明；
（2）根据垂直平分线的判定证明即可．
解：（1）证明：∵，平分，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线．
【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
解：以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
【变式2】 （22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
解：如图所示，取的中点F，连接，
∵，
∴在的垂直平分线上，
∴三点共线，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∵平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线
【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置．
解：如图：（1）做出的角平分线；
（2）连接，作的垂直平分线；
（3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M．
【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．
解：在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
【答案】/厘米
【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．
解：由画图可知：
是的垂直平分线，
，，
的周长为，即，
，
的周长为，即，
，
故答案为：．
【题型7】轴对称的综合变换
【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．
【答案】，理由见解析
【分析】由题意根据对称性可得，，进而利用线段间的等量代换得出进行计算即可．
解：，理由如下：
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
，．
，，，
，，．
．
【点拨】本题考查对称问题，熟练掌握利用线段间的等量代换进行分析是解题的关键．
【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．
解：将关于对称至点，连接 ，
∴，
∴，
∴，
∵，，，且，
∴是中点，
∴．
∴
故选：B
【点拨】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．
【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；
解：由作法得MN垂直平分AB，
∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝AC＝2，
∴AD＝6，
∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，
∴PB+PD的最小值为6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：C．
【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．
【答案】/18度
【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答．
解：连接，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵在正五边形中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
【答案】36
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理，
根据角平分线的性质和可得，再根据三角形的外角定理分别求出，，进而可求解
解：如图所示：交于点E，
由题意可知：
平分，平分，
，
，
，
即，
，
，
是的一个外角，
是的一个外角，
,
故答案为：36
【例2】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分
（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
解：（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
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