第09讲 函数的对称性(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第09讲 函数的对称性(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共37页。PPT课件主要包含了知识梳理，常用结论，易混易错练，考点分类练，最新模拟练等内容，欢迎下载使用。

1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称
易错点　未综合考虑奇(偶)函数图象的对称性而致错
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 成轴对称.
命题点1.　轴对称问题
【例1】(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于A.－2 B.2 C.0 D.－4
定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
【变式1】(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是A.f(－1)因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥ 时，f(x)＝lg2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为A.2 B.3 C.4 D.－1
那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，
命题点2.中心对称问题
【例2】(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是A.f(x)＝f(－x)B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0C.f(－x)＝－f(x＋4)D.f(x＋2)＝f(x－2)
因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝ ＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为_____.
因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
【变式2】(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于A.点(－2,0)对称 B.直线x＝－2对称C.点(2,0)对称 D.直线x＝2对称
∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称.
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数.
命题点2.两个函数图象的对称
【变式3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称
设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
【变式3-2】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于直线x＝1对称D.关于直线y＝1对称
A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误.
1.（2024广东模拟）若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)=-f(-x2)，则下列结论一定正确的为( ____ )A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于点(1，0)对称D.f(x)的图象关于直线x=1对称
【解析】解：由f(x2)=-f(-x2)得，f(x2)+f(-x2)=0，由奇函数的定义可得，f(x)为奇函数，故关于原点对称；故选：A．
【解析】解：对于A，因为g(x+1)为奇函数，所以g(1-x)=-g(x+1)，可知g(x)的图象关于(1，0)中心对称；又因为f'(x)=g'(x+1)，所以f(x)+a=g(x+1)+b,a、b为常数，由f(x+2)-g(1-x)=2，得f(x)-g(3-x)=2，即g(3-x)+2+a=g(x+1)+b,令x=1，得g(2)+a+2=g(2)+b,可得a+2=b,所以g(3-x)=g(x+1)，即f(x)=g(x+1)+2，因此可得g(x)关于x=2对称，得到f(0)=g(3)+2=g(1)+2=2，可知f(x)一定不是奇函数，故A错误；对于B，因为g(1-x)=-g(x+1)，两边求导得g'(1+x)-g'(1-x)=0，即g'(1+x)=g'(1-x)，所以g'(x)的图象关于x=1对称，故B错误；
4.[多选/2024南昌市模拟] f ( x )是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'( x )，下 列说法中正确的是(　ACD　)
[解析]　对于A： f ( x )＝ f (－ x )两边对 x 求导，得f'( x )＝－f'(－ x )，故A正确.
对于B： f ( x )＝ f ( x ＋ T )＋ C ( C 为常数)⇔f'( x )＝f'( x ＋ T )，则 C ≠0时，B错误.
对于C： f ( x )的图象有对称中心( a ， b )⇒ f ( a － x )＋ f ( a ＋ x )＝2 b ，两边对 x 求 导，得－f'( a － x )＋f'( a ＋ x )＝0，即f'( a － x )＝f'( a ＋ x )⇒f'( x )的图象关于直线 x ＝ a 对称，C正确.
6.（2024河北模拟）已知函数f(x)=esinx-csx+ecsx-sinx，则( ________ )A.f(x)的图像是中心对称图形 B.f(x)的图像是轴对称图形C.f(x)是周期函数 D.f(x)存在最大值与最小值
【解析】解：因为g(3-x)+g(1+x)=0，所以y=g(x)的图象关于点(2，0)对称，所以g(2-x)=-g(x+2)，因为g(x)+f(x-4)=6，所以g(x+2)+f(x-2)=6，即g(x+2)=6-f(x-2)，因为f(x)-g(2-x)=4，所以f(x)+g(x+2)=4，代入得f(x)+[6-f(x-2)]=4，即f(x)-f(x-2)=-2，A正确；由f(x)-g(2-x)=4，得f(0)-g(2)=4，即f(0)=4，f(2)=-2+f(0)=2．因为g(x)+f(x-4)=6，所以g(x+4)+f(x)=6，又因为f(x)-g(2-x)=4，相减得g(x+4)+g(2-x)=2，所以g(x)的图象关于点(3，1)中心对称，B错误；因为定义域为R的函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，所以g(2)=0，C正确；