第17讲 导数与函数的单调性(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第17讲 导数与函数的单调性(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共30页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，大于0，小于0等内容，欢迎下载使用。

导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　　　　　　　,曲线呈　　　　状态,因此f(x)在(a,b)上是　　函数; (2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都　　　　　　,曲线呈　　　　状态,因此f(x)在(a,b)上是　　函数. 问题思考:如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?
提示 f(x)在这个区间内是常数函数.
1.在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.(1)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在区间[a,b]上恒成立.(2)可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在区间[a,b]上恒成立.(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f'(x)在该区间上不变号.
命题点1　不含参函数的单调性
利用导数求函数单调区间的思路：解不等式 f '( x )＞0或 f '( x )＜0求出单调区间.若导函数对应的不等式不可解，则令导函数为新函数，借助新函数的导数求解.注意　 (1)求函数的单调区间，要在函数的定义域内进行；(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
命题点2　含参函数的单调性
求解含参函数的单调性的技巧一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，主要是：(1)讨论 f '( x )＝0是否有根；(2)讨论 f '( x )＝0的根是否在定义域内；(3)讨论根的大小关系.注意　 若导函数是二次函数的形式，一般还要讨论二次项系数的正负及是否为0，判别式Δ的正负等.
命题点3　函数单调性的应用角度1　已知函数的单调性求参数
已知函数的单调性求参数的解题技巧(1)若可导函数 f ( x )在区间 D 上单调递增(或递减)，则 f '( x )≥0(或 f '( x )≤0)对 x ∈ D 恒成立问题.注意　 “＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.(2)若可导函数 f ( x )在某一区间上存在单调区间，则 f '( x )＞0(或 f '( x )＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.(3)若 f ( x )在区间 D 上不单调，则函数 f '( x )在区间 D 上存在变号零点.也可先求出 f ( x )在区间 D 上单调时参数的取值范围，然后运用补集思想得解.(4)若已知 f ( x )在区间 I (含参数)上的单调性，则先求出 f ( x )的单调区间，然后令 I 是 其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.
例3 [2023新高考卷Ⅱ]已知函数 f ( x )＝ a e x －ln x 在区间(1，2)单调递增，则 a 的最 小值为(　C　)
角度2　利用函数的单调性比较大小
角度3　利用函数的单调性解不等式
方法技巧利用函数的单调性比较大小或解不等式的思路：利用导数判断已知或构造的函数的单调性，由单调性比较大小或解不等式.
1.[2024重庆南开中学模拟]已知函数 f ( x )＝ x sin x ＋ cs x ， x ∈[0，2π]，则 f( x )的单调递减区间是(　B　)
3.[2024安徽模拟]设函数 f ( x )＝ sin ( x －1)＋e x －1－e1－ x － x ＋4，则满足 f ( x )＋ f (3 －2 x )＜6的 x 的取值范围是(　B　)
4.[2023广州二模]已知偶函数 f ( x )与其导函数 f '( x )的定义域均为R，且 f '( x )＋e－ x ＋ x 也是偶函数，若 f (2 a －1)＜ f ( a ＋1)，则实数 a 的取值范围是(　B　)
[解析]　因为 f ( x )为偶函数，所以 f ( x )＝ f (－ x )，等式两边求导可得 f '( x )＝－ f '(－ x )　①，(易错：对等式 f ( x )＝ f (－ x )两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了)
因为函数 f '( x )＋e－ x ＋ x 为偶函数，所以 f '( x )＋e－ x ＋ x ＝ f '(－ x )＋e x － x 　②，
5.[2024湖南模拟]已知实数 a ， b ， c ∈(0，1)，e为自然对数的底数，且 a e2＝2e a ， b e3＝3e b ，2 c ＝e c ln 2，则(　A　)
6. [2023山东泰安二模]已知奇函数 f ( x )在R上单调递减， g ( x )＝ xf ( x )，若 a ＝ g (－lg25.1)， b ＝ g (3)， c ＝ g (20.8)，则 a ， b ， c 的大小关系为(　D　)
[解析]　因为 f ( x )为奇函数且在R上单调递减，所以 f (－ x )＝－ f ( x )，且当 x ＞0 时， f ( x )＜0.因为 g ( x )＝ xf ( x )，所以 g (－ x )＝－ xf (－ x )＝ xf ( x )＝ g ( x )，故 g ( x )为偶函数.g'( x )＝ f ( x )＋ xf '( x )，当 x ＞0时，因为 f ( x )＜0， f '( x )≤0，所以g'( x )＜0，所以 g ( x )在(0，＋∞)上单调递减. a ＝ g (－lg25.1)＝ g (lg25.1)，因为3＝lg28＞lg25.1＞lg24＝2＞20.8＞0，所以 g (3)＜ g (lg25.1)＜ g (20.8)，即 b ＜ a ＜ c .故选D.
8.[多选/2024湖北武汉模拟]已知实数 a ， b 满足 a e a ＝ b ln b ＝3，则(　AD　)
[解析]　因为 a e a ＝3，所以 a ＞0.令 f ( x )＝ x e x ， x ＞0，则 f '( x )＝e x ( x ＋1)＞0在 (0，＋∞)上恒成立，所以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增. a e a ＝3，即 f ( a )＝3，又 f (1)＝e＜3， f (2)＝2e2＞3，所以1＜ a ＜2.因为 b ln b ＝3，所以 b ＞1.令 F ( x )＝ x ln x ( x ＞1)，则F'( x )＝ln x ＋1＞0，所以 F ( x )在(1，＋∞)上单调递增，又 F (e)＝e＜3，F (3)＝3ln 3＞3，所以e＜ b ＜3.对A，因为 a e a ＝ b ln b ＝ln b ·eln b ，所以 f ( a )＝ f (ln b )，因为 a ＞0，ln b ＞0，且 f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，所以 a ＝ln b ，选项A正确.对B，因为 b ln b ＝3， a ＝ln b ，所以 ab ＝3，选项B错误.