第21讲 利用导数研究函数的零点(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

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利用函数性质研究函数的零点利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
一、利用函数性质研究函数的零点利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．二、数形结合法研究函数的零点含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．三、构造函数法研究函数的零点涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围
对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解
命题点1　根据函数零点个数求参数
已知函数零点个数求参数的方法(1)数形结合法：先根据函数的性质画出图象，再根据函数零点个数的要求数形结合 求解；(2)分离参数法：由 f ( x )＝0分离出参数 a ，得 a ＝φ( x )，利用导数求函数 y ＝φ( x )的 单调性、极值和最值，根据直线 y ＝ a 与 y ＝φ( x )的图象的交点个数得参数 a 的取值 范围；(3)分类讨论法：先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合 题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的范围
(1)当 a ＝0时，求 f ( x )的最大值；
(2)若 f ( x )恰有一个零点，求 a 的取值范围.
2.[2022全国卷乙]已知函数 f ( x )＝ln(1＋ x )＋ ax e－ x .(1)当 a ＝1时，求曲线 y ＝ f ( x )在点(0， f (0))处的切线方程；
(2)若 f ( x )在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求 a 的取值范围.
∵ f (0)＝0，∴ f ( x 1)＞ f (0)＝0，当 x →－1时， f ( x )＜0，∴ f ( x )在(－1， x 1)上存在一个零点，即 f ( x )在(－1，0)上存在一个零点.∵ f (0)＝0，当 x →＋∞时， f ( x )＞0，∴ f ( x )在( x 2，＋∞)上存在一个零点，即 f ( x )在(0，＋∞)上存在一个零点.综上， a 的取值范围是(－∞，－1).
命题点2　探究函数零点个数
探究函数零点个数的方法(1)图象法：通过导数研究函数的单调性、极值、最值， 确定函数 f ( x )的图象草图， 判断图象与横轴的交点个数，一般要结合函数零点存在定理处理.(2)分离法：设 f ( x )＝ g ( x )－ h ( x )，则 f ( x )的零点个数⇔ g ( x )与 h ( x )图 象的交点个数.
例 1.[全国卷Ⅰ]已知函数 f ( x )＝ sin x －ln(1＋ x )， f '( x )为 f ( x )的导数，证明：
(2) f ( x )有且仅有2个零点.
(iv)当 x ∈(π，＋∞)时，ln( x ＋1)＞1，所以 f ( x )＜0，从而 f ( x )在(π，＋∞) 上没有零点.综上， f ( x )有且仅有2个零点.
(2)设 x 0是 f ( x )的一个零点，证明曲线 y ＝ln x 在点 A ( x 0，ln x 0)处的切线也是曲线 y ＝e x 的切线.
1. [2024安徽六校联考]已知函数 f ( x )＝ a e x － x (e是自然对数的底数).(1)讨论函数 f ( x )的单调性；
[解析]　(1)由已知，得 f '( x )＝ a e x －1.
①当 a ≤0时， f '( x )＜0， f ( x )在R上单调递减；
②当 a ＞0时，令 f '( x )＝0，得 x ＝－ln a ，当 x ∈(－∞，－ln a )时， f '( x )＜0，所以 f ( x )在(－∞，－ln a )上单调递减，当 x ∈(－ln a ，＋∞)时， f '( x )＞0，所以 f ( x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增.
(2)若 g ( x )＝ a e x ( x －1)－ln x ＋ f ( x )有两个零点，求实数 a 的取值范围.
[解析]　 (2)原问题等价于 g ( x )＝ ax e x －(ln x ＋ x )＝ ax e x －ln( x e x )( x ＞0)有两个零点，
令 t ＝ x e x ( x ＞0)，则易得 t ＞0，
又当 t → 0时， h ( t )→－∞，当 t →＋∞时， h ( t )→ 0，
所以 h ( t )的大致图象如图，
(1)若 b ＝ c ＝0，讨论 f ( x )的单调性；
①若 a ≤0，则f'( x )＜0，所以 f ( x )在(0，＋∞)上单调递减；
(2)已知 x 1， x 2是 f ( x )的两个零点，且 x 1＜ x 2，证明： x 2( ax 1－1)＜ b ＜ x 1( ax 2－1).
综上可得： x 2( ax 1－1)＜ b ＜ x 1( ax 2－1).
[解析]　 f '( x )＝1＋ a cs x .