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第07讲 函数的单调性与最值(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）
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这是一份第07讲 函数的单调性与最值(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共32页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，上升的，下降的，函数的最值，fx≤fx0，fx≥fx0等内容，欢迎下载使用。
1.函数的单调性函数单调性及单调区间的定义
f(x1)
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 在I上恒成立; (2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 在I上恒成立. 一般地,当x1≠x2时,称 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率.
函数单调性的常用结论:
易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错
易错点2 忽略分段函数的分界点而致错
命题点1 确定函数的单调性(单调区间)
例1 (1)[2023北京高考]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( C )
(2)[全国卷Ⅱ]函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的单调递增区间是( D )
[解析] 由 x 2－2 x －8＞0，得 x ＜－2或 x ＞4.因此，函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的定 义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞).(先求函数 f ( x )的定义域)易知函数 y ＝ x 2－2 x －8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，函数 y ＝ln t 为(0，＋∞)上的增函数，由复合函数的单调性知， f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的 单调递增区间是(4，＋∞).故选D.
命题点2 函数单调性的应用
对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
例2[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数 f ( x )的定义域为(0，＋∞)，对于∀ x ， y ∈(0，＋∞)， f ( xy )＝ f ( x )＋ f ( y )，且当 x ＞1时， f ( x )＜0.则 a ＝ f ( sin 3)， b ＝ f(ln 3)， c ＝ f (21.5)的大小关系是( A )
例3[全国卷Ⅰ]函数 f ( x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若 f (1)＝－1，则 满足－1≤ f ( x －2)≤1的 x 的取值范围是( D )
[解析] ∵函数 f ( x )为奇函数，且 f (1)＝－1，∴ f (－1)＝－ f (1)＝1，由－1≤ f ( x － 2)≤1，得 f (1)≤ f ( x －2)≤ f (－1)，(将常数转化为函数值)又函数 f ( x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤ x －2≤1，∴1≤ x ≤3.故选D
角度3 已知函数单调性求参数的值或取值范围
例4[2023新高考卷Ⅰ]设函数 f ( x )＝2 x ( x － a )在区间(0，1)单调递减，则 a 的取值范 围是( D)
命题点3 与函数的最值(值域)有关的问题
1.[2024河北省唐山市第二中学模拟]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( CC )
[解析] 因为 y ＝e x 是增函数， y ＝e－ x 是减函数，所以 f ( x )＝e x －e－ x 在(0，＋∞) 上单调递增，且 f ( x )＞0.又 f ( x )＝－ x 2在(－∞，0]上单调递增，且 f ( x )≤0，所以 f ( x )在R上单调递增.又 c ＝lg20.9＜0，0＜ b ＝lg32＜1， a ＝50.01＞1，即 a ＞ b ＞ c ，所以 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c ).
4.[多选/2024福建上杭一中模拟]高斯是德国著名数学家，有“数学王 子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[ x ]表示不超过 x 的最 大整数，则 y ＝[ x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是 ( ACD )
5.[2024河南郑州模拟]函数 f ( x )＝4 x －2 x ＋1－1的值域是 .
[解析] 由题知 f ( x )＝(2 x )2－2·2 x －1，令2 x ＝ t ( t ＞0)，得 m ( t )＝ t 2－2 t －1＝( t － 1)2－2( t ＞0)，由于 m ( t )＝( t －1)2－2( t ＞0)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单 调递增，所以 m ( t )≥ m (1)＝－2，故 f ( x )的值域为[－2，＋∞).
6. [2023贵州安顺模拟]若定义在R上的函数 f ( x )，对任意 x 1≠ x 2，都有 x 1 f ( x 1)＋ x 2 f ( x 2)≥ x 1 f ( x 2)＋ x 2 f ( x 1)，则称 f ( x )为“ H 函数”.现给出下列函数，其中是“ H 函数”的有 .(填上所有正确答案的序号)
① f ( x )＝ x 2－2 x ＋3；
② f ( x )＝2 x －1；
③ f ( x )＝lg( x －1)；
1.函数的单调性函数单调性及单调区间的定义
f(x1)
(1)y=f(x)在I上是增函数的充要条件是 在I上恒成立; (2)y=f(x)在I上是减函数的充要条件是 在I上恒成立. 一般地,当x1≠x2时,称 为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1
函数单调性的常用结论:
易错点1 忽略含参函数的分类讨论而致错
易错点2 忽略分段函数的分界点而致错
命题点1 确定函数的单调性(单调区间)
例1 (1)[2023北京高考]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( C )
(2)[全国卷Ⅱ]函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的单调递增区间是( D )
[解析] 由 x 2－2 x －8＞0，得 x ＜－2或 x ＞4.因此，函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的定 义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞).(先求函数 f ( x )的定义域)易知函数 y ＝ x 2－2 x －8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，函数 y ＝ln t 为(0，＋∞)上的增函数，由复合函数的单调性知， f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的 单调递增区间是(4，＋∞).故选D.
命题点2 函数单调性的应用
对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.
例2[2024吉林长春东北师大附中校考改编]函数 f ( x )的定义域为(0，＋∞)，对于∀ x ， y ∈(0，＋∞)， f ( xy )＝ f ( x )＋ f ( y )，且当 x ＞1时， f ( x )＜0.则 a ＝ f ( sin 3)， b ＝ f(ln 3)， c ＝ f (21.5)的大小关系是( A )
例3[全国卷Ⅰ]函数 f ( x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若 f (1)＝－1，则 满足－1≤ f ( x －2)≤1的 x 的取值范围是( D )
[解析] ∵函数 f ( x )为奇函数，且 f (1)＝－1，∴ f (－1)＝－ f (1)＝1，由－1≤ f ( x － 2)≤1，得 f (1)≤ f ( x －2)≤ f (－1)，(将常数转化为函数值)又函数 f ( x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤ x －2≤1，∴1≤ x ≤3.故选D
角度3 已知函数单调性求参数的值或取值范围
例4[2023新高考卷Ⅰ]设函数 f ( x )＝2 x ( x － a )在区间(0，1)单调递减，则 a 的取值范 围是( D)
命题点3 与函数的最值(值域)有关的问题
1.[2024河北省唐山市第二中学模拟]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( CC )
[解析] 因为 y ＝e x 是增函数， y ＝e－ x 是减函数，所以 f ( x )＝e x －e－ x 在(0，＋∞) 上单调递增，且 f ( x )＞0.又 f ( x )＝－ x 2在(－∞，0]上单调递增，且 f ( x )≤0，所以 f ( x )在R上单调递增.又 c ＝lg20.9＜0，0＜ b ＝lg32＜1， a ＝50.01＞1，即 a ＞ b ＞ c ，所以 f ( a )＞ f ( b )＞ f ( c ).
4.[多选/2024福建上杭一中模拟]高斯是德国著名数学家，有“数学王 子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[ x ]表示不超过 x 的最 大整数，则 y ＝[ x ]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是 ( ACD )
5.[2024河南郑州模拟]函数 f ( x )＝4 x －2 x ＋1－1的值域是 .
[解析] 由题知 f ( x )＝(2 x )2－2·2 x －1，令2 x ＝ t ( t ＞0)，得 m ( t )＝ t 2－2 t －1＝( t － 1)2－2( t ＞0)，由于 m ( t )＝( t －1)2－2( t ＞0)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单 调递增，所以 m ( t )≥ m (1)＝－2，故 f ( x )的值域为[－2，＋∞).
6. [2023贵州安顺模拟]若定义在R上的函数 f ( x )，对任意 x 1≠ x 2，都有 x 1 f ( x 1)＋ x 2 f ( x 2)≥ x 1 f ( x 2)＋ x 2 f ( x 1)，则称 f ( x )为“ H 函数”.现给出下列函数，其中是“ H 函数”的有 .(填上所有正确答案的序号)
① f ( x )＝ x 2－2 x ＋3；
② f ( x )＝2 x －1；
③ f ( x )＝lg( x －1)；
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