第18讲导数与函数的极值、最值（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

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这是一份第18讲导数与函数的极值、最值（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共31页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，极大值点，极小值点，极小值，fx0，极值点等内容，欢迎下载使用。

1.函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个　　　　 ,且f(x)在x0处取　　　值. 　　　　　　与　　　　　　　都称为极值点,　　　　　　与　　　　　　都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小. 一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有　　　　　　.
2.函数的导数与极值一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　,那么此时x0是f(x)的极大值点. (2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有　　　　　,对于x0右侧附近的任意x,都有　　　　　,那么此时x0是f(x)的极小值点. (3)如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为　　　　(或均为　　　　),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
3.函数的最值(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个　　　　　　; (2)如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在最值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是　　　　　　　　　　　　　　　,要么是　　　　　　.
1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点
3.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:不等式f(x)>g(x),即f(x)-g(x)>0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.
命题点1　导函数图象的应用
根据函数图象判断极值的方法(1)由 y ＝ f '( x )的图象与 x 轴的交点，可得函数 y ＝ f ( x )的可能极值点.(2)由 y ＝ f '( x )的图象可以看出 y ＝ f '( x )的值的正负，从而可得函数 y ＝ f ( x )的单调性，进而求得极值(点).注意　要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
例1 [浙江高考]函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝ f '( x )的图象如图所示，则函数 y ＝ f( x ) 的图象可能是(　D　)
[解析]　根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数 f ( x )在这些零点处取得极值，根据 f ( x )有两个极小值和一个极大值可排除A，C；记导函数 f '( x )的零点从左到右分别为 x 1， x 2， x 3，又在(－∞， x 1)上 f '( x )＜0，在( x 1， x 2)上 f '( x )＞0，所以函数 f ( x )在(－∞， x 1)上单调递减，在( x 1， x 2)上单调递增，由 x 2＞0排除B. 故选D.
命题点2　利用导数研究函数的极值角度1　求函数的极值
求可导函数 f ( x )的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数 f '( x )；(2)求方程 f '( x )＝0的根；(3)判断 f '( x )在方程 f '( x )＝0的根附近的左右两侧的符号；(4)求出极值.
例2 [全国卷Ⅱ]若 x ＝－2是函数 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1的极值点，则 f ( x )的极小值为(　A　)
[解析]　因为 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1，所以 f '( x )＝(2 x ＋ a )e x －1＋( x 2＋ ax －1)e x －1＝[ x 2＋( a ＋2) x ＋ a －1]e x －1.因为 x ＝－2是函数 f ( x )＝( x 2＋ ax －1)e x －1的极值点，所以－2是 x 2＋( a ＋2) x ＋ a －1＝0的根，将 x ＝－2代入解得 a ＝－1，所以 f ( x )＝( x 2＋ x －2)e x －1＝( x ＋2)( x －1)e x －1.令 f '( x )＞0，解得 x ＜－2或 x ＞1，令 f '( x )＜0，解得－2＜ x ＜1，所以 f ( x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当 x ＝1时， f ( x )取得极小值，且 f ( x )极小值＝ f (1)＝－1，故选A.
角度2　已知函数的极值(点)求参数
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
注意　若函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )上存在极值点，则 y ＝ f ( x )在( a ， b )上不是单调函数，即函数 y ＝ f '( x )在区间( a ， b )内存在变号零点.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a ＞0且 a ≠1)的极小值点和极大值点.若 x 1＜ x 2，则 a 的取值范围是 ⁠.
[解析]　由题意，f'( x )＝2 ax ln a －2e x ，根据 f ( x )有极小值点 x ＝ x 1和极大值点 x ＝ x 2可知， x ＝ x 1， x ＝ x 2为f'( x )＝0的两个不同的根，又 x 1＜ x 2，所以易知当 x ∈(－∞， x 1)，( x 2，＋∞)时，f'( x )＜0；当 x ∈( x 1， x 2)时，f'( x )＞0.由f'( x )＝0可得 ax ln a ＝e x .
命题点3　利用导数研究函数的最值角度1　求函数的最值
求函数 f ( x )在[ a ， b ]上的最值的方法(1)若函数 f ( x )在区间[ a ， b ]上单调递增(递减)，则 f ( a )为最小(大)值， f ( b )为最大 (小)值；(2)若函数 f ( x )在区间( a ， b )内有极值，则要先求出函数在( a ， b )内的极值，再与 f ( a )， f ( b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数 f ( x )在区间( a ， b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cs x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　D　)
角度2　已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .(1)讨论 f ( x )的单调性.
(2)是否存在 a ， b ，使得 f ( x )在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出 a ， b 的所有值；若不存在，说明理由.
所以 x ＝2为极小值点，极小值为0
对A，当 x ∈[－2，0]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故A满足条件；
对C，当 x ∈[0，2]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故C满足条件；
对D，当 x ∈[－1，2]时，由图象可知， f ( x )∈[0，1]，故D满足条件.
3. [多选/2024福州市一检]已知函数 f ( x )＝ x 3－3 ax ＋2有两个极值点，则(　ACD　)

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