第02讲 常用逻辑用语（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点

这是一份第02讲 常用逻辑用语（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点，共48页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要，∀x∈Mpx，∃x∈Mpx等内容，欢迎下载使用。

1. 充分条件、必要条件与充要条件
2. 全称量词与存在量词(1)全称量词与存在量词
(2)全称量词命题与存在量词命题
注意　 1.¬ p ( x )表示 p ( x )不成立.2. 含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.对于省略了量词的命 题，则需要根据命题的含义加上量词，再改写.3. 命题 p 与¬ p ( p 的否定)真假相反.
∀x∈M，¬p(x)　
充分、必要条件与对应集合之间的关系设 A ＝{ x ｜ p ( x )}， B ＝{ x ｜ q ( x )}.(1)若 p 是 q 的充分条件，则 A ⊆ B ；若 p 是 q 的必要条件，则 A ⊇ B . (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A ⫋ B ；若 p 是 q 的必要不充分条件，则 A ⫌ B . (3)若 p 是 q 的充要条件，则 A ＝ B .
易错点1　条件判定不全面而致误
易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误
易错点3　不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错
易错点4　忽视否定的范围而致错
∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解
命题点1　充分条件与必要条件
角度1　充分条件与必要条件的判断例1 (1)[2023天津高考]“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的(　B　)
[解析]　因为“ a 2＝ b 2”⇔“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”， “ a 2＋ b 2＝2 ab ”⇔“ a ＝ b ”，所以本题可以转化为判断“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”与“ a ＝ b ”的关系，又“ a ＝－ b 或 a ＝ b ”是“ a ＝ b ”的必要不充分条件，所以“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分条件.故选B.
(2)[2023全国卷甲]设甲： sin 2α＋ sin 2β＝1，乙： sin α＋ cs β＝0，则(　B　)
[解析]　甲等价于 sin 2α＝1－ sin 2β＝ cs 2β，等价于 sin α＝± cs β，所以由甲不能 推导出 sin α＋ cs β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由 sin α＋ cs β＝0，得 sin α＝ － cs β，两边同时平方可得 sin 2α＝ cs 2β＝1－ sin 2β，即 sin 2α＋ sin 2β＝1，所以 由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B.
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解得 m ≥9，所以实数 m 的取值范围为[9，＋∞).
命题点2　全称量词与存在量词
角度1　全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断例3 (1)[2023辽宁名校联考]已知命题 p ：∃ x ＜－1，2 x － x －1＜0，则¬ p 为(　B　)
[解析]　因为命题 p ：∃ x ＜－1，2 x － x －1＜0，则¬ p ：∀ x ＜－1，2 x － x －1≥0.故 选B.
(2)[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是(　C　)
(2)[2024江苏南通学业质量监测]设命题 p ：∃ x ∈R， ax 2－ x ＋1≤0.写出一个实数 a ＝ ，使得 p 为真命题.
突破双变量“存在性”或“任意性”问题
角度2　双变量“存在性”或“任意性”的不等式问题
2.[2024湖北部分重点中学联考]设 m ∈R， a ＝( m ，1)， b ＝(4， m )， c ＝ (1，－2)，则 b ⊥ c 是 a ∥ b 的(　A　)
[解析]　若 b ⊥ c ，则4－2 m ＝0，得 m ＝2，即 b ⊥ c ⇔ m ＝2；若 a ∥ b ，则 m 2＝ 4，得 m ＝±2，即 a ∥ b ⇔ m ＝±2.因为 m ＝2是 m ＝±2的充分不必要条件，所以 b ⊥ c 是 a ∥ b 的充分不必要条件，故选A.
3. [2024福建南平模拟]若命题 p ：∃ x ＞0， x 2－3 x ＋2＞0，则命题 p 的否定为 (　C　)
[解析]　命题 p ：∃ x ＞0， x 2－3 x ＋2＞0是存在量词命题，其否定是全称量词命 题，所以命题 p 的否定为∀ x ＞0， x 2－3 x ＋2≤0.故选C.
4. [2024河南名校联考]若直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的倾斜角为α，则“α不是钝角” 是“ A · B ＜0”的(　B　)
5. [2024长春市质量监测(一)]“ a ＞ b ＞1”是“lg a 2＜lg b 2”的(　A　)
6. [2024江苏镇江模拟]命题“∀ x ∈[0，3]， x 2－2 x － a ≤0”为真命题的一个充分不 必要条件是(　A　)
[解析]　由∀ x ∈[0，3]， x 2－2 x － a ≤0，得 a ≥ x 2－2 x 在 x ∈[0，3]恒成立. y ＝ x 2 －2 x 的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1，则其在[0，3]上的最大值为32－2×3＝ 3，则 a ≥3，结合选项可知， a ≥3的充分不必要条件为 a ≥4，故选A.
7. [2024山东聊城模拟]若存在 x ∈(0，2]，使不等式 ax 2－2 x ＋3 a ＜0成立，则实数 a 的取值范围是(　A　)
9. [2024江西分宜中学、临川一中等校联考]已知{ an }是等比数列，则“ a 2＜ a 1＜ 0”是“{ an }为递减数列”的(　A　)
10. [2024湖南模拟]已知“ a ≤ x ≤ a 2＋1”是“－2≤ x ≤5”的充分不必要条件，则 实数 a 的取值范围是(　C　)
11. [多选/2024江苏省高邮一中模拟]若“∀ x ∈ M ，｜ x ｜＞ x ”为真命题， “∃ x ∈ M ， x ＞3”为假命题，则集合 M 可以是(　AB　)
[解析]　“∀ x ∈ M ，｜ x ｜＞ x ”为真命题，则 x ＜0，“∃ x ∈ M ， x ＞3”为假命 题，则“∀ x ∈ M ， x ≤3”为真命题.因此集合 M 的元素均为负数，故选AB.
12.[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题 p ：∃ x ∈R， x 2＋1＜2 x ；命题 q ：若 mx 2 － mx －1≠0恒成立，则－4＜ m ＜0.则(　BC　)
[解析]　对于命题 p ：因为 x 2－2 x ＋1＝( x －1)2≥0，所以 x 2＋1≥2 x ，即不存在 x ，使 x 2＋1＜2 x ，故命题 p 是假命题，则命题 p 的否定是真命题.对于命题 q ：若 mx 2－ mx －1≠0恒成立，则当 m ＝0时，－1≠0，原不等式恒成立；当 m ≠0时，Δ＝ m 2＋4 m ＜0，得－4＜ m ＜0.综合得－4＜ m ≤0，故命题 q 是假命题，则命题 q 的否定是真命题.综上所述，选项A错误、B正确、C正确、D错误.故选BC.
13. [多选/2024广东广州模拟]下列命题中为真命题的是(　CD　)