高一数学同步课堂《初阶•中阶•高阶》三阶题型专练(人教A版必修第一册)第一章集合与常用逻辑用语测试卷(高阶)原卷版+解析

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集合与常用逻辑用语测试卷（本卷共22小题，满分150分，时间：120分钟） 姓名:___________班级:______ 得分:______1．若命题“时，”是假命题，则的取值范围 （  ）A． B． C． D．2．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为 ( 　 ) A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对3．下列命题错误的是 （  ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．若“且”为真命题，则，均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件4．设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩(∁UB)是 (　　) A．{2,4,6,8,9} B．{2,4,6,8,9,10} C．{1,2,6,8,9,10} D．{4,6,8,10}5．已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 （ ）A．12 B．21 C．102 D．2016．设，，若，则实数组成的集合的子集个数为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．87. 已知集合A＝{m|2≤m≤6}，B＝{n|t-2≤n≤2t}(t>-2). 若∀m∈A，∃n∈B，使得m < n成立，则实数t的取值范围是 （ ）A．t>1 B．t>3 C．t>4 D．t>88．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是 （  ）A． B． C． D．9．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是 （    ） A． B． C． D．10．已知集合A中的元素都是正整数，且满足条件：对任意正整数x、y，若x+y∈A，则xy∈A. 已知4∈A，则A中元素个数不可能是 （ ） A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个. 11．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且. 下列四个选项中，正确的有 （    ） A．若，则 B．若，则C． D．12．非空集合，当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是 （     ）A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1C．若，则 D．若n=1，则13．命题“”为真，则实数a的范围是 14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则∁R(M∩N)＝ .15．设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 16．已知集合A={1，2，3，4，5，6}, 则集合A的所有非空子集中所有元素的和为 .17．（本题共12分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．18．（本题共12分）已知全集小于的正整数，，，且，，.（1）求集合与；（2）求（其中为实数集，为整数集）.19．（本题共11分）已知全集，，（1）若，求的取值范围；（2）若，，求20．（本题共12分）已知全集，非空集合，．（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．21．（本题共12分）设集合．(1)若、，证明：．(2)如果集合整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．22. （本题共11分）已知集合A={(m, n)│n(2m+n+1)2=102022, m∈N,n∈N*}，求A中元素的个数.得分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）得分二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）得分三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）得分四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）集合与常用逻辑用语测试卷解析1．若命题“时，”是假命题，则的取值范围（    ）A． B． C． D．1．D【解析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．【详解】解：若命题“，时，”是假命题，则命题“，时，”是真命题,则，设，当时，,则.故选：D．2．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为(　　)A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对2．C【详解】当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1.故k＝0或k＝1.选C.3．下列命题错误的是（    ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．若“且”为真命题，则，均为真命题D．“”是“”的充分不必要条件3．B【分析】根据逆否命题的概念，准确改写，可判定A正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B不正确；根据复合命题的真假判定方法，可判定C是正确的；根据充要条件的判定方法，可判定D正确.【详解】对于A中，根据逆否命题的概念，可得命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确的；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”，所以B不正确；对于C中，根据复合命题的真假判定方法，若“且”为真命题，则，均为真命题，所以C是正确的；对于D中，不等式，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确.综上可得，命题错误为选项B.故选：B.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到四种命题的改写，全称命题与存在性命题的关系，以及复合命题的真假判定和充分条件、必要条件的判定等知识的综合应用，属于基础题.4．设U＝{不大于10的正整数}，A＝{10以内的素(质)数}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩(∁UB)是(　　)A．{2,4,6,8,9} B．{2,4,6,8,9,10}C．{1,2,6,8,9,10} D．{4,6,8,10}4．D【分析】由题意，求得集合A，再分别求得，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A＝{2,3,5,7}，则∁UA＝{1,4,6,8,9,10}和集合∁UB＝{2,4,6,8,10}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,8,10}，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中正确求解，再根据集合的交集，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则（ ）A．12 B．21 C．102 D．2015．D【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值.【详解】由得的取值情况如下：当时，，或，，此时不满足条件；当时，或此时不满足条件；当时，此时不满足条件；当时，此时满足条件；综上得，代入.【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏.6．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）A．2 B．3 C．4 D．86．D【分析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.7. 已知集合A＝{m|2≤m≤6}，B＝{n|t-2≤n≤2t}(t>-2). 若∀m∈A，∃n∈B，使得m < n成立，则实数t的取值范围是（ ）A．t>1 B．t>3 C．t>4 D．t>87. B【详解】(1)“若∀m∈A，∃n∈B，使得m3 (2)“若∃m∈A，∀n∈B，m4 (3)“若∃m∈A，∃n∈B，使得m1 (4)“若∀m∈A，∀n∈B，m8 8．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（    ）A． B． C． D．8．D【解析】按所含元素的个数分为“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别求出相应的“互斥子集组”数.【详解】①若、中各含一个元素时，“互斥子集组”数：个②若含一个、含两个元素时，“互斥子集组”数:个③若含一个、含三个元素时，“互斥子集组”数:个④若、中各含两个元素时，“互斥子集组”数：个.综上共有“互斥子集组”数50个.故选:D【点睛】此题关键在于恰当分类，属于中档题.9．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．9．BD【分析】求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.【详解】命题“"等价于，即命题“”为真命题所对集合为，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于，显然只有，{4},所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD10．已知集合A中的元素都是正整数，且满足条件：对任意正整数x、y，若x+y∈A，则xy∈A. 已知4∈A，则A中元素个数不可能是 （ ） A. 2个 B. 3 个 C. 4个 D. 5个. 10．ABD【详解】一方面，可将4逆向拆成1+3，或2+2，或3+1； 由已知1+3∈A，得1×3=3∈A；由3=1+2，得1×2=2∈A； 由2=1+1∈A，得1×1=1∈A. 故A中至少有四个元素.另一方面，对于选项D，若A中还有第5个元素m，则m≥5， 因为m可拆成2+(m-2), 且2(m-2)-m=m-4≥1，所以2(m-2)∈A， 故A中将会出现第6个元素2(m-2). 与选项D自身矛盾！ 故选：ABD.11．对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫做集合M与N的“差集”，记作，即，且；把集合M与N中所有不属于的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差集”，记作，即，且.下列四个选项中，正确的有（    ）A．若，则 B．若，则C． D．11．ACD【分析】根据集合的新定义得到A正确，当时，，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.【详解】若，则，A正确；当时，，B错误；，且，C正确；和均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.12．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ）A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1C．若，则 D．若n=1，则12．BC【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C: 若，有，解得：，故C正确；对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.13．命题“”为真，则实数a的范围是 13．【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.【详解】由题意知：不等式对恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析的情况；（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.14．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则∁R(M∩N)＝ .14．{x|x<－2或x≥1}【分析】根据题意，求解集合，再根据集合的补集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则MN＝{x|－2≤x<1},所以∁R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.【点睛】本题主要考查了集合的交集与补集的运算，其中解答中熟记集合的交集和集合的补集的概念及运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 15．17【分析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：A0＝{5，10，15，20，25，30，35}，则card(A0)＝7A1＝{1，6，11，16，21，26，31，36}，则card(A1)＝8A2＝{2，7，12，17，22，27，32，37}，则card(A2)＝8A3＝{3，8，13，18，23，28，33}，则card(A3)＝7A4＝{4，9，14，19，24，29，34}，则card(A4)＝7A中的任何两个数之和不能被5整除，故A1和A4，A2和A3中不能同时取数，且A0中最多取一个∴最多的取法是取A1∪A2和A0中的一个元素，故n的最大值为17故答案为：17【点睛】本题考查了集合的并集运算并求元素个数，应用抽屉原理结合余数对集合元素作分类，进而通过不同的取数组合，讨论在任意两数之和不可被5整除的条件下使目标集合元素最多的情况，并应用集合运算求集合，并确定元素个数16．已知集合A={1，2，3，4，5，6}, 则集合A的所有非空子集中所有元素的和为 .16．672 【分析】分别累加显然不合适，利用补集的一一对应这一性质.【详解】如果正面考虑，子集太多，且元素多少不等； 视A为全集，根据M与СUM一一对应原理，我们先进行对偶处理：1）每一对M与СUM所含元素之和为： 1+2+3+4+5+6=21; 然后再考虑有多少对M与СUM：2）A共有64个子集，故M与СUM有32对； 所以所有子集中所有元素的和为21×32=672 【点睛】利用了补集的属性：集合与其补集是成对的，它们的交集为空集，它们的并集为全集.17．已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．17．（1）详见解析；（2）；（3）或【分析】（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.【详解】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【点睛】本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.18．已知全集小于的正整数，，，且，，.（1）求集合与；（2）求（其中为实数集，为整数集）.18．（1），；（2）.【分析】（1）作出韦恩图，分析各集合中的元素，可求得集合与；（2）利用交集、补集和并集的定义可求得集合.【详解】（1）由，知，且，.由，知、、且、、.由，知、是集合与的公共元素.因为，所以、.画出图，如图所示.由图可知，；（2）由补集的定义可得，由并集的定义可得.【点睛】本题考查利用韦恩图求解集合，同时也考查了交集、并集和补集的混合运算，考查计算能力以及数形结合思想的应用，属于中等题.19．已知全集，，（1）若，求的取值范围；（2）若，，求19．（1）；（2）.【分析】（1）由集合为空集，转化为方程无根，从而求得参数取值范围.（2）由交并补集的运算，分别求得p，q的值，从而求得.【详解】（1）若，则方程无实数解，，则.（2）∵，∴方程的一个根为4，则，方程另一个根为3.∴.∵，∴方程的一个根为2，则，方程另一个根为3.∴∴【点睛】关键点点睛：由交并补集的运算求得相关参数值.20．已知全集，非空集合，．（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．20．（1）；（2）．【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.【详解】（1）∵时，，，全集，∴或．∴．（2）∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．∵，∴，∵，，∴，解得或，故实数的取值范围．【点睛】本题主要考查了集合的运算及求参问题，涉及必要条件的转化，属于基础题.21．设集合．(1)若、，证明：．(2)如果集合整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．21．(1)证明见解析(2)存在满足条件的，使得x与均属于集合B【分析】（1）令，，其中、、、，直接计算，然后根据计算结果进行判断即可.（2）设，计算，然后根据，可得，结合m、n互素，所以可得结果.（1）因为、，所以可设，，其中、、、．则．由、、、，可知，，因此．（2）设，则（m、n互素）．于是．若，则与是互素的整数．又m与n互素，可得．因此，当m、n互素，且时，且．如取，，得，．因此，存在满足条件的，使得x与均属于集合B．22.已知集合A={(m, n)│n(2m+n+1)2=102022, m∈N,n∈N*}，求A中元素的个数.22. 1012【详解】首先， n(2m+n+1)=2×102022=21012×51011; 其次，由于n与(2m+n+1)一奇一偶，故n与(2m+n+1)中的奇数只能是50，51，52，，51011，共1012种拆分形式，每一种拆分中比较小的数为n，m也随之唯一确定 . 所以A中元素个数为1012.【点睛】奇偶分析，是解决有关自然数不定方程常用的方法