初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除教案

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第1课时 分式的乘除
●类比导入
1．复习分数的乘除法法则
观察下列算式：
(1) eq \f(2,3) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(2×4,3×5) ＝ eq \f(8,15) ；
(2) eq \f(5,7) × eq \f(2,9) ＝ eq \f(5×2,7×9) ＝ eq \f(10,63) ；
(3) eq \f(10,63) ÷ eq \f(5,7) ＝ eq \f(10,63) × eq \f(7,5) ＝ eq \f(10×7,63×5) ＝ eq \f(2,9) .
写出分数的乘除法法则：
乘法法则：__用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母__.
除法法则：__把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘__.
2．类比得出分式的乘除法法则
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的__分子__，分母的积作为积的__分母__.
即 eq \f(a,b) · eq \f(c,d) ＝ eq \f(a·c,b·d) .
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的__分子、分母颠倒位置__后，与被除式__相乘__.
即 eq \f(a,b) ÷ eq \f(c,d) ＝ eq \f(a,b) · eq \f(d,c) ＝ eq \f(a·d,b·c) .
【教学与建议】教学：利用“数、式通性”“类比转化”的思想方法引发学生猜测、归纳分式乘除法的运算法则．建议：教师教学中要使学生经历分式的乘除运算规律的发现过程，培养归纳能力．
●置疑导入
问题1：一个长方体容器的容积为V，底面积为S，当容器内的水占容积的 eq \f(m,n) 时，求水高．列算式为__ eq \f(V,S) × eq \f(m,n) __．
问题2：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍．列算式为__ eq \f(a,m) ÷ eq \f(b,n) __．

问题3：观察下列运算：
eq \f(2,3) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(2×1,3×5) ， eq \f(3,7) × eq \f(4,9) ＝ eq \f(3×4,7×9) ， eq \f(2,3) ÷ eq \f(1,5) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(5,1) ＝ eq \f(2×5,3×1) ， eq \f(3,7) ÷ eq \f(4,9) ＝ eq \f(3,7) × eq \f(9,4) ＝ eq \f(3×9,7×4) .
猜一猜： eq \f(a,b) × eq \f(d,c) ＝？ eq \f(b,a) ÷ eq \f(d,c) ＝？
【教学与建议】教学：通过具体实际问题情境导入新课，探索总结分式乘除的运算法则．建议：经过列式观察、类比，发现分式乘除的运算法则．
命题角度1 分式的乘法运算
当分式的分子、分母是多项式时，应先将分子、分母中的多项式分解因式，再按照分式的乘法法则进行计算．
【例1】(1)计算： eq \f(3b,4a) · eq \f(16b,9a2) 的结果是(B)
A． eq \f(48b2,36a3) B． eq \f(4b2,3a3) C． eq \f(27a,64) D． eq \f(4b,3a)
(2)计算：①(a－4)· eq \f(16－a2,a2－8a＋16) ＝__－a－4__；
② eq \f(ab2,2c2) · eq \f(4cd,－3a2b2) ＝__－ eq \f(2d,3ac) __．
命题角度2 分式的除法运算
分式的除法运算：先把除法转变为乘法；再把除式的分子、分母颠倒位置(除式是整式时，把整式看作分子，分母看作1，然后按分式除法计算)．
【例2】(1)化简 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) ÷ eq \f(1,x2＋x) 的结果是(A)
A．－x－1 B．－x＋1 C．－ eq \f(1,x＋1) D． eq \f(1,x＋1)
(2)计算：①－3xy÷ eq \f(2y2,3x) ＝__－ eq \f(9x2,2y) __；②(xy－x2)÷ eq \f(x－y,xy) ＝__－x2y__．
命题角度3 分式乘除法的应用
理清题意，正确列式，再按照分数乘除法计算法则求解．
【例3】(1)一艘船顺流航行n km用了m h，如果逆流航速是顺流航速的 eq \f(p,q) 倍，那么这艘船逆流航行t h走了__ eq \f(npt,mq) __km.
(2)由甲地到乙地的一条铁路长度为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路长度为这条铁路长度的m倍，汽车全程运行时间为b h．那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
解：火车速度为 eq \f(s,a) km/h，汽车速度为 eq \f(ms,b) km/h， eq \f(s,a) ÷ eq \f(ms,b) ＝ eq \f(s,a) · eq \f(b,ms) ＝ eq \f(b,am) .
答：火车的速度是汽车速度的 eq \f(b,am) 倍．
高效课堂 教学设计
1．通过类比的方法理解和掌握分式乘除法的法则．
2．熟练运用分式的乘除法运算法则进行计算．
3．熟悉“数、式通性”“类比、转化”的数学思想方法，学数学思考方法．
▲重点
分式乘除法的法则及其应用．
▲难点
分子、分母是多项式的分式的乘除法运算．
◆活动1 新课导入
1．化简：
(1) eq \f(－2ac2,14a2bc) ＝__－ eq \f(c,7ab) __；(2) eq \f(a2－4,a2＋2a) ＝__ eq \f(a－2,a) __．
2．分数的乘除法法则：
分数的乘法法则：用__分子的积__作为积的分子，用__分母的积__作为积的分母．
分数的除法法则：把除数的__分子__、__分母__颠倒位置后，与被除数__相乘__.
◆活动2 探究新知
教材P135 问题1、问题2及思考．
提出问题：
(1)分数的乘除法法则是什么？
(2)如何计算 eq \f(V,ab) · eq \f(m,n) 与 eq \f(a,m) ÷ eq \f(b,n) ？
(3)类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为__积的分子__，分母的积作为__积的分母__，即 eq \f(a,b) · eq \f(c,d) ＝__ eq \f(a·c,b·d) __．
2．除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母__颠倒__位置后，与被除式__相乘__，即 eq \f(a,b) ÷ eq \f(c,d) ＝__ eq \f(a,b) · eq \f(d,c) __＝__ eq \f(a·d,b·c) __．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P136 例1.
例2 教材P136 例2.
例3 教材P136 例3.
例4 先化简，再求值：
eq \f(a＋b,2ab2) ÷ eq \f(a2－b2,ab2) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a－2b))) eq \s\up12(2) ，其中a＝－5，b＝2.
解：原式＝2(a－b).当a＝－5，b＝2时，原式＝－14.
练习
1．教材P137～138 练习第1，2，3题．
2．下列各式中，计算结果正确的有(B)
① eq \f(3x,x2) · eq \f(x,3x) ＝ eq \f(1,x) ；②a÷b＝ eq \f(b,a) ；③ eq \f(x2y2,z3) ÷ eq \f(－2x2y2,3z) ＝－ eq \f(3,2z2) ；④8a2b÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3a,4b2))) ＝－6a2b；⑤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,b))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b2,a))) ＝ab.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．使式子 eq \f(x＋2,x－3) ÷ eq \f(x＋1,x－2) 有意义的x应满足(D)
A．x≠3且x≠2 B．x≠3且x≠－1
C．x≠2且x≠－2 D．x≠－1，x≠2且x≠3
4．若 eq \f(x＋1,x) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x2－1,x))) 的值为 eq \f(1,3) ，则x的值为__－2__．
5．先将式子 eq \f(x＋3,x＋2) ÷ eq \f(x2－9,x＋2) 化简，再从－2，2，3，－3四个数中选取一个适当的数作为x的值代入求值．
解：原式＝ eq \f(1,x－3) .当x＝2时，原式＝－1.(注意：本题中的x不能取－2，3，－3，当x＝－2，3，－3时，原式无意义)
◆活动5 课堂小结
1．分式的乘法、除法法则．
2．分式乘法、除法法则的运用．
1．作业布置
(1)教材P146 习题15.2第1，2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思