第二十一章 一元二次方程（人教版）解析版试卷

这是一份第二十一章 一元二次方程（人教版）解析版试卷，共23页。

第二十一章 一元二次方程 （人教版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）A． B． C． D．2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）A． B． C． D．3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A． B． C． D．4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ）A． B．C． D．5．若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ）A． B．C． 且 D．且6．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）A． B．C． D．7．若是关于的一元二次方程的一个根．则的值为（    ）A．2019 B．2020 C．2022 D．20238．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（    ）步？A．15 B．12 C．20 D．69．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（    ）支小分支．A．6 B．7 C．8 D．910．随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（   ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．方程的解是 ．12．已知方程的一个根是，则m的值为 ．13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．14．矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于 ．15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．三、解答题 （共75分）16．（8分）（1）计算：（2）解方程：17．（8分）（1）先化简，再求值：，其中（2）先化简，再求值：，其中满足18．（8分）沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题余项精彩活动． 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客万人次，据统计，我市某景点去年月份接待游客人数为万人，今年月份接待游客人数5.76万人．求今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率．19．（8分）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．(1)求原计划每天摊铺沥青多少米．(2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．20．（9分）（1）某纸箱厂用一块边长为的正方形纸片制作成一个没有盖的长方体水果盒；可先在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形（边缘损耗忽略不计）（如图①），然后把四边折合起来（如图②），若做成的盒子的底面积为时，则剪去的小正方形的边长为．（2）已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个，市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为2400元？21．（9分）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．  (1)　　，　　，　　， （用含t的代数式表示）；(2)为多少时，四边形的面积为；(3)为多少时，点和点的距离为．22．（12分）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：．解：原式再如：求代数式的最小值．解：，当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)分解因式：（应用配方法）(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．23．（13分）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．第二十一章 一元二次方程 （人教版） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程”进行逐一判断即可．【详解】解：A、，是一元一次方程，本选项不符合题意；B、，是一元二次方程，本选项符合题意；C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意；故选：B．2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项进行解答．【详解】解：方程的二次项系数是2、一次项系数是、常数项，故选：A．3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；∵，∴方程由两个相等的实数根，故该选项不符合题意；∵ ，∴方程没有实数根，故该选项符合题意；∵ ，∴方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；故选：C．4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．【详解】解：，，，，故选：D．5．若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ）A． B．C． 且 D．且【答案】C【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，解得：且，故选：C．6．某社区为改善环境，加大对绿化的投入，4月对绿化投入25万元，计划6月绿化投入49万元，5月、6月绿化投入的月平均增长率相同．设这两月绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用计划6月绿化投入金额月绿化投入金额这两月绿化投入的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故选：A．7．若是关于的一元二次方程的一个根．则的值为（    ）A．2019 B．2020 C．2022 D．2023【答案】C【分析】把代入，得到a，b的等式，转化为求代数式的值问题即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．【详解】把代入，得，故，∴故选C．8．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（    ）步？A．15 B．12 C．20 D．6【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为x步，则长为步，根据面积建立方程即可求解．【详解】解：设宽为x步，则长为步，由题意得：，解得：，当时，长为24，不合题意，舍去，∴，则长为（步），则长比宽多（步）；故选：B．9．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（    ）支小分支．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），故每个支干长出6个小分支，故选A．10．随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用，折线统计图；设该品牌汽车的销售量月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：该品牌汽车的销售量月平均增长率为，依题意得，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．方程的解是 ．【答案】，【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可．【详解】解：∵，，，或，解得：．故答案为：，．12．已知方程的一个根是，则m的值为 ．【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入，得，解得m的值，即可作答．【详解】解：∵方程的一个根是，∴把代入，得，解得，故答案为：4．13．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ．【答案】且【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果．【详解】解：由题意得：且，即且，解得：且，故答案为：且．14．矩形中，，，点为上一点，连接，以点为圆心长为半径作弧与以点为圆心长为半径所作的弧交于另一点，射线交于点，当四边形的面积等于矩形面积的一半时，的长度等于 ．【答案】1或3【分析】过点E作交于点H，首先求出矩形面积，然后根据题意得到，求出，然后证明出，得到，然后证明出四边形是矩形，设，则，，然后在中利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，过点E作交于点H，∵矩形中，，，∴矩形面积，∵四边形的面积等于矩形面积的一半，∴∴，即∵∴∵根据题意得，，，∴∴∴∴∵∴四边形是矩形∴设，∴，，∴在中，∴整理得，解得，∴的长度等于1或3．故答案为：1或3．【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．【答案】2或3【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设运动时间为t 秒，则，，∵，∴，整理得：，解得：，，∴2或3秒时，的面积是．故答案为：2或3．三、解答题16．（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）；（2），【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，化简二次根式：（1）先化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】解：（1）原式；（2）∵∴，，，∴，，，．17．（1）先化简，再求值：，其中（2）先化简，再求值：，其中满足【答案】（1）；3；（2）；6【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可．【详解】解：（1），把代入得：原式．（2），解方程得：，，∵，，∴原式．18．沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题余项精彩活动． 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客万人次，据统计，我市某景点去年月份接待游客人数为万人，今年月份接待游客人数5.76万人．求今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率．【答案】今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为．【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为，根据题意列出方程，然后求解即可，根据题意列出方程是解题的关键．【详解】解：设今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为，由题意得：，即，解得：（不合题意，舍去），，答：今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为．19．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．(1)求原计划每天摊铺沥青多少米．(2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．【答案】(1)原计划每天铺设轨道80米(2)镶上的木质框架的宽为0.2米【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键．（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解；（2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据题意得：，解得：，答：原计划每天铺设轨道80米；（2）设镶上的木质框架的宽为y米，由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：镶上的木质框架的宽为0.2米．20．（1）某纸箱厂用一块边长为的正方形纸片制作成一个没有盖的长方体水果盒；可先在纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形（边缘损耗忽略不计）（如图①），然后把四边折合起来（如图②），若做成的盒子的底面积为时，则剪去的小正方形的边长为．（2）已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个，市场调研发现：如果以10元/个销售，每天可以售出200个．为了减少库存，厂家决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20个，在尽可能减少库存的情况下，该厂家将售价定为多少元时，每天的销售利润为2400元？【答案】（1）15；（2）该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系，熟练利用一元二次方程解决销售利润问题是解本题的关键．（1）根据题意设截去的小正方形长为，并由题意列方程与解出方程即可；（2）首先设每个售价为x元，利用销售量×每个利润元列出方程求解，在解出x的值后，要考虑尽可能减少库存进行取舍．【详解】解：（1）设截去的小正方形的边长为，则：，解得或，当时，，不符合题意，舍去；小正方形的边长为，故答案为：15；（2）设每个售价为元，则销售量为个，则，整理得：，解得：，，但是要尽可能减少库存，∴不符合题意，取，答：该厂家将售价定为每个7元时，每天的销售利润为2400元．21．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．  (1)　　，　　，　　， （用含t的代数式表示）；(2)为多少时，四边形的面积为；(3)为多少时，点和点的距离为．【答案】(1)；；；(2)当为5时，四边形的面积为(3)当t为或时，点P和点Q的距离为【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度；（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；（3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：（1）当运动时间为时，，，，．故答案为：；；；．（2）依题意得：，整理得：，解得：答：当为5时，四边形的面积为．（3）过点作于点，则，如图所示．依题意得：，即，解得：，．答：当为或时，点和点的距离为．  22．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：．解：原式再如：求代数式的最小值．解：，当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)分解因式：（应用配方法）(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．【答案】(1)(2)当时，多项式有最大值，最大值是7(3)，【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式．（1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可；（2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可；（3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：，，当时，多项式有最大值，最大值是7；（3）解：，，，，，解得，．23．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元任务三；（1）；（2）8；（3）不能【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可； 任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可．【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，解得，，经检验，是原分式方程的解，∴，∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元；任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，解得，，，∵，∴当时，总费用最少，元，∴购买这批劳动工具的最少费用为元；任务三；（1）解：依题意得，的长是（），故答案为：；（2）解：由题意知，，解得，，依题意得，，解得，或（舍去），∴的值为8；（3）解：令，整理得，，∵，∴方程无实数解，故答案为：不能．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键．东北育才学校生态园年春季规划素材一市场调研，两种型号的劳动工具价格．（1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元．（2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．素材二计划购买，两种型号的劳动工具（1），两种型号的劳动工具共个．（2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．素材三新规划一块矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，  问题解决任务一求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．任务二求购买这批劳动工具的最少费用．任务三设苗圃的一边长为．（1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________；（2）若苗圃的面积为，求的值；（3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）东北育才学校生态园年春季规划素材一市场调研，两种型号的劳动工具价格．（1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元．（2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．素材二计划购买，两种型号的劳动工具（1），两种型号的劳动工具共个．（2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．素材三新规划一块矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，  问题解决任务一求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．任务二求购买这批劳动工具的最少费用．任务三设苗圃的一边长为．（1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________；（2）若苗圃的面积为，求的值；（3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）