第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）（解析版）

这是一份第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）（解析版），共15页。
第21章 一元二次方程（B卷·拔高培优卷）一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）1．一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ）A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．2．定义运算：．例如：．则方程的根为（    ）A．， B．，C．， D．，3．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）A． B．2021 C．2025 D．20254．给出下列说法，其中正确的是（ ）①关于的一元二次方程，若，则方程一定没有实数根；②关于的一元二次方程，若，则方程必有实数根；③若是方程的根，则；④若，，为三角形三边，方程有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形．A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④5．如图，若将如图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成如图2所示的长方形，设，则b的值为（　　）A． B． C． D．6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ）A．2或6 B．2或8 C．2 D．67．设a，b为正数，并且一元二次方程，均有等根，则的值是（    ）A． B． C． D．8．已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　）A．0 B．7 C．13 D．69．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　A． B． C． D．10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．A． B． C． D．二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上）11．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，若该快递店每天揽件的增长率相同，则增长率为 ．（用百分数表示）12．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是 ．13．关于的一元二次方程的两个实数根为、，且有，则实数的取值范围为 ．14．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ．15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么的值为 ．16．方程的实数根是 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：(1)(2)18．（8分）已知是关于x的一元二次方程．的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若，直接写出c的值；(3)若，直接写出c的值．19．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．(1)求的取值范围；(2)若，满足，求实数的值．20．（8分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?21．（8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根(1)直接写出m的取值范围(2)若满足，求m的值．22．（10分）（1）若一元二次方程的两根之比为，求证：；（2）若一元一次方程的两根之比为，能否将（1）的结论予以推广？若能，试证明你的结论；若不能，请说明理由．23．（10分）关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值．24．（12分）已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．第21章 一元二次方程（B卷·培优卷）一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．下列关于一元二次方程的各项系数说法正确的是（ ）A．二次项系数为 B．一次项系数为 C．常数项为 D．以上说法都不对【答案】D【详解】解：方程x2-3x+1=0的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为1，故选：D．2．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由，得，配方，得，即，故选：B．3．一元二次方程x2+6x﹣7＝0的解为（　　）A．x1＝1，x2＝7 B．x1＝﹣1，x2＝7C．x1＝﹣1，x2＝﹣7 D．x1＝1，x2＝﹣7【答案】D【详解】（x+7）（x–1）=0，x+7=0或x–1=0，所以x1=–7，x2=1．故选D．4．嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，因式分解得，∴ 或，∴，，∴ 他漏掉的解是．故选：A．5．若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（    ）A．x+y+5 B．x+3y+2 C．2x﹣6y﹣3 D．﹣2x+6y+3【答案】D【详解】解：由题意可得：，即A、，值不一定为，不符合题意；B、，值不一定为，不符合题意；C、，值不为，不符合题意；D、，值为，符合题意；故选：D6．已知实数x满足，则的值为（　　　）A．6 B．-2或6 C．-2 D．12【答案】A【详解】设，则方程变形为：，即，，即；当时， 此方程无实数根 当时， 满足题意．故选：A．7．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】C【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为C.8．三角形的两边的夹角为且满足方程，则第三边长的长是( )A． B． C． D．【答案】A【详解】解方程可，如图所示，在Rt△ACD中，CD=，，，所以AB=,故选A.9．今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（  ）A．2.3 （1+x）2=1.2 B．1.2（1+x）2=2.3C．1.2（1﹣x）2=2.3 D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.3【答案】B【详解】如果每天的增长率都为x，利用第一天到第三天的人数关系，列出方程：1.2（1+x）2=2.3.故选：B．10．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（  ）A．x(x－10)＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10)＝200【答案】C【详解】解：∵花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，∴长为(x＋10)米．∵花圃的面积为200，∴可列方程为x(x＋10)＝200．故选：C．11．如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；根据题意即可得出方程为：，、整理得：，故选：C.12．下列说法正确的是（ ）． ①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．A．①③ B．①②③ C．②④ D．②③④【答案】A【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；②：有两实数根，:原方程是一元二次方程．，故②说法错误；③设这个多边形的边数为n，则解得n=11或0(舍去）:这个多边形是11边形．:这个多边形的内角和为：(11-2)×180°=9×180°=1620°．故③说法正确；一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．故选：A．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）13．已知方程是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是 ．【答案】m≠－1【详解】根据题意得：≠0，解得：m≠－1．故答案为m≠－1．14．已知、满足，，则的值等于 ．【答案】或．【详解】解：时，、满足，，、是关于的方程的两根，，，则当时，原式的值等于或．故答案为：或．15．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为 ．【答案】2【详解】当关于x的一元二次方程ax2+bx+5a＝0有两个正的相等的实数根时，，即，解得b＝﹣2a或b＝2a（舍去），原方程可化为ax2﹣2ax+5a＝0，则这两个相等实数根的和为．故答案为：2．16．解方程时，的值为 ．【答案】17【详解】把方程化为,故a=2,b=9,c=8,=92-4×2×8=17，故填：17.17．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率是 ．【答案】5%【详解】设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1−x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．故答案为：5%．18．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 ．   【答案】4【详解】解：，∵阴影部分的面积为64，∴，设，则，同理：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，故答案为：4．三、解答题（本大题共7题，共66分）19．用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：原方程可化为∴，；（2）原方程可化为a=3，b=-2，c=-4∴∴，．20．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x12+x22=x1x2+10，求实数m的值．【答案】（1）m≤﹣；（2）m=﹣2．【详解】试题分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）利用根与系数的关系可以得到x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，再把x12+x22=x1x2+10利用完全平方公式变形为（x1+x2）2﹣3x1•x2=10，然后代入计算即可求解．试题解析：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≤﹣，所以实数m的取值范围是m≤﹣；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1，∵x12+x22=x1x2+10，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=x1x2+10，∴（2m﹣1）2﹣3（m2+1）=10，∴2m2+9m﹣5=0，解得m1=6，m2=﹣2，∵m≤﹣，∴m=6舍去，∴m=﹣2．21．已知是一元二次方程的二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，写出这个一元二次方程．【答案】【详解】解：∵，且，，，∵是二次项系数，是一次项系数，是常数项，∴关于x的一元二次方程为．22．关于x的一元二次方程有实根. （1）求k的最大整数值； （2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.【答案】（1）（2）【详解】（1）；（2）．解：（1）根据题意知△=，       ∵       ∴        解得：        ∴k的最大整数值为4.（2）∵    ∴方程为    则解得方程的根为；     把代入方程得，∴．23．某校教学楼在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为9000平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，求矩形绿地的长和宽．【答案】长和宽各是100米，90米【详解】设宽为x米，则长为米，依题意列方程：，解方程得：，（舍去）．（米．答：绿地的长和宽各是100米，90米．24．某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？【答案】（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）答：每次降价的百分率是10%；（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．解得a＝3．所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．25．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长，下底长，上下底相距在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少米（结果保留小数点后两位）？（可利用梯形的中位线求解．梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半）【答案】甬道的宽约为【详解】解：设甬道的宽为，由题意，得，整理，得，（舍去），答：甬道的宽约为