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人教A版（2019）必修第二册期末考测试(提升)(原卷版+解析)
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这是一份人教A版（2019）必修第二册期末考测试(提升)(原卷版+解析)，共26页。
期末考测试（提升）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022春·广西玉林）已知复数（i是虚数单位），则（ ）A． B． C． D．22．（2023·全国·高一专题练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（ ）分A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，703．（2023·陕西西安）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等4．（2023陕西西安）在中，若，，，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2023春·四川广安）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）A． B． C． D．– 36．（2023·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A． B． C． D．7．（江西省赣州市2023）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（ ）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足10．（2023·广东揭阳）2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（ ）A．2022年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元11．（2022·浙江宁波）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）A．事件A与事件C互斥B．事件B与事件C互斥C．事件A与事件B相互独立D．事件B与事件C相互独立12．（2023河北衡水）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．14．（2022秋·山东潍坊）如图，正方体棱长为2，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹长度为____________________15．（2023·江西南昌）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．16．（2022·海南）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023贵州）（10分）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．18．（2023·安徽）（12分）在△ABC中，已知，，．(1)求a和c的值；(2)求b的值．19．（2023·广西）（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．20．（2023·山东临沂）（12分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的取值范围．21．（2023四川）（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；(2)求证：平面PCD；(3)求点P到面ACD的距离．22．（2023·四川南充）（12分）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，M，N分别为BA，BE的中点，平面．(1)证明：M，N，F，C四点共面，且平面平面；(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 期末考测试（提升）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022春·广西玉林）已知复数（i是虚数单位），则（ ）A． B． C． D．2【答案】D【解析】，则故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（ ）分A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，70【答案】B【解析】由题意知众数为因为，，所以中位数位于，设中位数为x，则，解得，平均数为.故选：B.3．（2023·陕西西安）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等【答案】C【解析】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为 ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，因此，甲最终获得冠军的概率为；（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；（3）丙获得冠军，概率为，由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，故选∶C．4．（2023陕西西安）在中，若，，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据三角形面积公式可得，即；由余弦定理可知，可得；由正弦定理可得.故选：B5．（2023春·四川广安）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）A． B． C． D．– 3【答案】C【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：C.6．（2023·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为.设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，当且仅当时等号成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，当且仅当时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.7．（江西省赣州市2023）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设，分别为棱，的中点，则三棱锥与三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；设外接圆半径为，在中，由正弦定理故外接圆半径，设三棱柱外接球半径为，由勾股定理， 则三棱锥外接球的表面积.故选：D8．（2023·全国·高一专题练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：则，，设，则有，，，，，化简得，由，当时，有最大值6.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（ ）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足【答案】AC【解析】由得，则对于A,，故A正确，对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，对于C, ,故是的复数根，故C正确，对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，故选：AC10．（2023·广东揭阳）2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（ ）A．2022年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元【答案】BC【解析】对于选项A，图中信息体现的是平均数的差别，没有提供中位数的信息，不能作出判断，故选项A错误；对于选项B，设2022年城镇居民占全国居民的比重为x，则有，解得，故选项B正确；2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费支出占总消费的比例分别为30%，24%，故选项C正确；2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出为（元），且，故选项D错误.故选：BC.11．（2022·浙江宁波）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）A．事件A与事件C互斥B．事件B与事件C互斥C．事件A与事件B相互独立D．事件B与事件C相互独立【答案】ACD【解析】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A与事件C互斥，故A正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；对C，，所以C正确；对D，，所以D正确；故选：ACD．12．（2023河北衡水）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．【答案】【解析】由，得．又与的夹角为钝角，∴，得，若，则，即．当时，与共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为，故答案为：．14．（2022秋·山东潍坊）如图，正方体棱长为2，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹长度为____________________【答案】【解析】如图，设与交点为O，取中点，连接，因为是中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，因为，所以，所以，因为正方体棱长为2，则，因为，所以，在正方形内，点到点的距离为，其轨迹是以为圆心的半圆，所以，点的轨迹长度为.故答案为：15．（2023·江西南昌）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．【答案】【解析】将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f，从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为，共9个样本点，记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”，则，共2个样本点，故，故答案为：16．（2022·海南）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．【答案】【解析】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．由数量积的几何意义，可得，．依题意有，即．同理，即．将两式相加得，所以．故答案为: .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023贵州）（10分）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．【答案】(1)，86(2)【解析】（1）因为，所以，设知识竞赛成绩的第80百分位数为，由的频率为0.65，的频率为0.9，则位于，则，解得，则知识竞赛成绩的第80百分位数为86．（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为，，在内选取4人，记为，，，．从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，共8种．所以所求概率为．18．（2023·安徽）（12分）在△ABC中，已知，，．(1)求a和c的值；(2)求b的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于，所以为锐角，所以，由正弦定理得，所以，结合可得.（2）由余弦定理得.19．（2023·广西）（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）设表示甲队在第场比赛获胜．则事件甲队获胜可表示为，所以事件甲队获胜的概率，所以．（2）设表示甲队在第场比赛获胜，则事件乙队在第四场比赛后获胜可表示为，所以事件乙队在第四场比赛后获胜的概率为，所以所以，20．（2023·山东临沂）（12分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由已知及正弦定理得：，即有，即，而，，则， 所以．（2）在中，由余弦定理得：，因此，即，当且仅当时取等号，又，所以面积的取值范围是．21．（2023四川）（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；(2)求证：平面PCD；(3)求点P到面ACD的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1）证明：连接BD，易知，． 又由，故．又因为平面，平面．所以平面．（2）证明：取棱PC的中点N，连接DN． 为等边三角形，得．又因为平面⊥平面，平面∩平面，所以平面，又平面，故，又已知，．平面，所以平面．（3）由平面，，，，设点P到面ACD的距离为，由，，，，点P到面ACD的距离为.22．（2023·四川南充）（12分）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，M，N分别为BA，BE的中点，平面．(1)证明：M，N，F，C四点共面，且平面平面；(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：∵M、N分别为AB、BE的中点，∴，∵为正三棱柱，∴,∴,∴M、N、F、C四点共面，∵为正三棱柱，∴平面平面，为等边三角形，∵为的中点，∴，又平面平面，平面，∴平面，∵平面平面，平面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）取的中点，过点作的垂线交于，连接，由题可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，∴，∵，，平面，∴平面，∴为平面与平面所成二面角的平面角，∵，，∴，．由（1）可得四边形为平行四边形，∴，∴，又，，由得：，所以，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
期末考测试（提升）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022春·广西玉林）已知复数（i是虚数单位），则（ ）A． B． C． D．22．（2023·全国·高一专题练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（ ）分A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，703．（2023·陕西西安）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等4．（2023陕西西安）在中，若，，，则的值为（ ）A． B． C． D．5．（2023春·四川广安）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）A． B． C． D．– 36．（2023·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A． B． C． D．7．（江西省赣州市2023）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（ ）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足10．（2023·广东揭阳）2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（ ）A．2022年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元11．（2022·浙江宁波）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）A．事件A与事件C互斥B．事件B与事件C互斥C．事件A与事件B相互独立D．事件B与事件C相互独立12．（2023河北衡水）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．14．（2022秋·山东潍坊）如图，正方体棱长为2，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹长度为____________________15．（2023·江西南昌）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．16．（2022·海南）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023贵州）（10分）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．18．（2023·安徽）（12分）在△ABC中，已知，，．(1)求a和c的值；(2)求b的值．19．（2023·广西）（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．20．（2023·山东临沂）（12分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的取值范围．21．（2023四川）（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；(2)求证：平面PCD；(3)求点P到面ACD的距离．22．（2023·四川南充）（12分）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，M，N分别为BA，BE的中点，平面．(1)证明：M，N，F，C四点共面，且平面平面；(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 期末考测试（提升）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022春·广西玉林）已知复数（i是虚数单位），则（ ）A． B． C． D．2【答案】D【解析】，则故选：D2．（2023·全国·高一专题练习）某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试成绩的众数、中位数、平均数分别是（ ）分A．70，70，70 B．70，70，68 C．70，68，70 D．68，70，70【答案】B【解析】由题意知众数为因为，，所以中位数位于，设中位数为x，则，解得，平均数为.故选：B.3．（2023·陕西西安）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等【答案】C【解析】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为 ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，因此，甲最终获得冠军的概率为；（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；（3）丙获得冠军，概率为，由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，故选∶C．4．（2023陕西西安）在中，若，，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据三角形面积公式可得，即；由余弦定理可知，可得；由正弦定理可得.故选：B5．（2023春·四川广安）如图，在边长为4的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）A． B． C． D．– 3【答案】C【解析】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，.故选：C.6．（2023·河南）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为.设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，当且仅当时等号成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，当且仅当时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.7．（江西省赣州市2023）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，设，分别为棱，的中点，则三棱锥与三棱柱外接球相同.在中，，由余弦定理，所以；设外接圆半径为，在中，由正弦定理故外接圆半径，设三棱柱外接球半径为，由勾股定理， 则三棱锥外接球的表面积.故选：D8．（2023·全国·高一专题练习）已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系：则，，设，则有，，，，，化简得，由，当时，有最大值6.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（ ）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足【答案】AC【解析】由得，则对于A,，故A正确，对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，对于C, ,故是的复数根，故C正确，对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，故选：AC10．（2023·广东揭阳）2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（ ）A．2022年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元【答案】BC【解析】对于选项A，图中信息体现的是平均数的差别，没有提供中位数的信息，不能作出判断，故选项A错误；对于选项B，设2022年城镇居民占全国居民的比重为x，则有，解得，故选项B正确；2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费支出占总消费的比例分别为30%，24%，故选项C正确；2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出为（元），且，故选项D错误.故选：BC.11．（2022·浙江宁波）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）A．事件A与事件C互斥B．事件B与事件C互斥C．事件A与事件B相互独立D．事件B与事件C相互独立【答案】ACD【解析】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A与事件C互斥，故A正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误；对C，，所以C正确；对D，，所以D正确；故选：ACD．12．（2023河北衡水）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）A．“为锐角三角形”是“”的充分不必要条件B．若，则为等腰三角形C．命题“若，则”是真命题D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】对于A项，若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确；对于B项，由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C项，若，则，由正弦定理，可得即成立，故C正确：对于D项，根据余弦定理可得，解得（舍去负值），则符合条件的只有一个，故D错误．故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．【答案】【解析】由，得．又与的夹角为钝角，∴，得，若，则，即．当时，与共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为，故答案为：．14．（2022秋·山东潍坊）如图，正方体棱长为2，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹长度为____________________【答案】【解析】如图，设与交点为O，取中点，连接，因为是中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，因为，所以，所以，因为正方体棱长为2，则，因为，所以，在正方形内，点到点的距离为，其轨迹是以为圆心的半圆，所以，点的轨迹长度为.故答案为：15．（2023·江西南昌）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．【答案】【解析】将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a、b、c，《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d、e、f，从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为，共9个样本点，记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”，则，共2个样本点，故，故答案为：16．（2022·海南）已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．【答案】【解析】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．由数量积的几何意义，可得，．依题意有，即．同理，即．将两式相加得，所以．故答案为: .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2023贵州）（10分）凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．【答案】(1)，86(2)【解析】（1）因为，所以，设知识竞赛成绩的第80百分位数为，由的频率为0.65，的频率为0.9，则位于，则，解得，则知识竞赛成绩的第80百分位数为86．（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为，，在内选取4人，记为，，，．从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，共8种．所以所求概率为．18．（2023·安徽）（12分）在△ABC中，已知，，．(1)求a和c的值；(2)求b的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于，所以为锐角，所以，由正弦定理得，所以，结合可得.（2）由余弦定理得.19．（2023·广西）（12分）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率；(2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）设表示甲队在第场比赛获胜．则事件甲队获胜可表示为，所以事件甲队获胜的概率，所以．（2）设表示甲队在第场比赛获胜，则事件乙队在第四场比赛后获胜可表示为，所以事件乙队在第四场比赛后获胜的概率为，所以所以，20．（2023·山东临沂）（12分）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，由已知及正弦定理得：，即有，即，而，，则， 所以．（2）在中，由余弦定理得：，因此，即，当且仅当时取等号，又，所以面积的取值范围是．21．（2023四川）（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；(2)求证：平面PCD；(3)求点P到面ACD的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】（1）证明：连接BD，易知，． 又由，故．又因为平面，平面．所以平面．（2）证明：取棱PC的中点N，连接DN． 为等边三角形，得．又因为平面⊥平面，平面∩平面，所以平面，又平面，故，又已知，．平面，所以平面．（3）由平面，，，，设点P到面ACD的距离为，由，，，，点P到面ACD的距离为.22．（2023·四川南充）（12分）如图，在正三棱柱中，为上的点，为上的点，M，N分别为BA，BE的中点，平面．(1)证明：M，N，F，C四点共面，且平面平面；(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：∵M、N分别为AB、BE的中点，∴，∵为正三棱柱，∴,∴,∴M、N、F、C四点共面，∵为正三棱柱，∴平面平面，为等边三角形，∵为的中点，∴，又平面平面，平面，∴平面，∵平面平面，平面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）取的中点，过点作的垂线交于，连接，由题可得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，∴，∵，，平面，∴平面，∴为平面与平面所成二面角的平面角，∵，，∴，．由（1）可得四边形为平行四边形，∴，∴，又，，由得：，所以，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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